Crank-Nicolson/sinc方法求解帶弱奇異核的偏積分微分方程

羅曼 徐大 吳珍珍

摘? ?要： 帶弱奇異核的偏積分微分方程能夠表征記憶材料等新材料的機(jī)理和特性。采用Crank-Nicolson/sinc組合方法，利用Crank-Nicolson方法的高收斂精度，結(jié)合sinc配置方法的指數(shù)收斂，在時(shí)間方向采用Crank-Nicolson方法，在空間方向采用sinc配置方法，對(duì)帶弱奇異核的偏積分微分方程進(jìn)行離散，得到全離散格式，進(jìn)而推導(dǎo)出相應(yīng)的矩陣形式。全離散格式在時(shí)間方向上能達(dá)到1.5階收斂，相比歐拉方法高0.5階;在空間方向上也能達(dá)到比線性收斂更快速的收斂速度。Crank-Nicolson/sinc組合方法可推廣到分?jǐn)?shù)階偏微分方程等更加復(fù)雜的方程的求解，以推動(dòng)記憶類新材料等研發(fā)技術(shù)探索。

關(guān)鍵詞： 弱奇異核;偏積分微分方程;sinc配置方法;Crank-Nicolson方法;全離散格式;指數(shù)收斂

中圖分類號(hào)：O241.82? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? 文章編號(hào)：2095-8412 （2020） 05-081-05

工業(yè)技術(shù)創(chuàng)新 URL： http：//gyjs.cbpt.cnki.net? ? DOI： 10.14103/j.issn.2095-8412.2020.05.015

引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人類發(fā)現(xiàn)了具有記憶功能的材料。這種材料在高溫下表現(xiàn)出粘彈性或流變性，這些性質(zhì)可由拋物與雙曲耦合的偏積分微分方程或方程組來(lái)表征。

帶弱奇異核的上述偏積分微分方程的求解更是一大難題。對(duì)這類偏積分微分方程進(jìn)行研究，將為記憶材料的機(jī)理和特性研究提供更準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)依據(jù)，大幅推動(dòng)新材料科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。

專家學(xué)者對(duì)這類方程作了大量的研究，如陳傳淼等[1]在時(shí)間上采用向后歐拉格式，在空間上采用有限元方法，對(duì)這類方程進(jìn)行了數(shù)值離散，并實(shí)現(xiàn)了空間方向上的4階超收斂;徐大[2]采用有限元方法，考察了這類方程在Crank-Nicolson格式、Euler格式下的帶權(quán)誤差估計(jì);羅曼等[3]采用擬小波方法對(duì)方程進(jìn)行了離散;Yan等[4]在空間上采用正交樣條配置方法，也實(shí)現(xiàn)了方程的4階收斂;Pani[5]采用H1-Galerkin混合有限元方法對(duì)方程進(jìn)行了數(shù)值求解。

鑒于sinc配置方法（以下簡(jiǎn)稱“sinc方法”）能實(shí)現(xiàn)指數(shù)收斂，本文探討如下形式的帶弱奇異核的偏積分微分方程：

首先介紹關(guān)于sinc方法的理論知識(shí);然后聯(lián)合采用Crank-Nicolson格式和sinc方法（本文稱之為“Crank-Nicolson/sinc方法”），對(duì)式（1）和式（2）進(jìn)行離散;最后給出數(shù)值算例，驗(yàn)證該離散格式的高精度收斂性。

1? sinc方法理論知識(shí)

sinc函數(shù)的表達(dá)式為

當(dāng)該級(jí)數(shù)收斂時(shí)，一般采用有限項(xiàng)來(lái)逼近函數(shù)。

定義2? 令為內(nèi)解析函數(shù)的集合，且滿足，其中，且在邊界上滿足。將定義為所有滿足以下條件的集合：存在一個(gè)常數(shù)，使得（其中對(duì)）且解析的函數(shù)的集合。

根據(jù)上述定理，可以推導(dǎo)出式（1）和式（2）在空間方向的離散格式。以下再給出離散格式中需要的關(guān)于sinc函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值的引理。

2? 離散格式構(gòu)建與矩陣運(yùn)算轉(zhuǎn)換

2.1? 離散格式構(gòu)建

繼續(xù)考慮式（1）和式（2）。在時(shí)間上采用Crank-Nicolson格式，積分項(xiàng)采用拉格朗日兩點(diǎn)插值公式，則有

2.2? 矩陣計(jì)算轉(zhuǎn)換

通過(guò)式（11）的矩陣計(jì)算可以求得式（1）和式（2）的數(shù)值解。

3? 數(shù)值算例

本章通過(guò)數(shù)值算例來(lái)驗(yàn)證離散方法的可行性。本章規(guī)定代表時(shí)間方向的網(wǎng)格剖分?jǐn)?shù);代表空間方向的網(wǎng)格剖分?jǐn)?shù);代表空間方向步長(zhǎng)，;代表時(shí)間方向步長(zhǎng);有待求解。

若，則式（1）和式（2）有精確解相對(duì)應(yīng)。表1給出了和時(shí)在時(shí)間節(jié)點(diǎn)處的和誤差，由此可知計(jì)算精度很高，且當(dāng)越大時(shí)，誤差越小，收斂速度越快。圖1給出了當(dāng)，，時(shí)的數(shù)值解和精確解的比較結(jié)果。由圖1可知，聯(lián)合采用Crank-Nicolson格式和sinc方法計(jì)算得到的數(shù)值解是非常接近精確解的。

4? 結(jié)論與展望

本文采用Crank-Nicolson/sinc聯(lián)合方法，研究了一類帶弱奇異項(xiàng)的偏積分微分方程。根據(jù)計(jì)算結(jié)果可知，數(shù)值解非常接近精確解，尤其當(dāng)M=64，N=100時(shí)，L2誤差可以低至3.418 01e-06，從側(cè)面反映了sinc函數(shù)指數(shù)收斂的優(yōu)越性。

總之，Crank-Nicolson方法和sinc方法相結(jié)合，不僅可以用于求解簡(jiǎn)單的偏積分微分方程，也對(duì)帶弱奇異核的這類方程的求解有巨大的幫助。今后可以將這種方法推廣到分?jǐn)?shù)階偏微分方程等更加復(fù)雜的方程中去，進(jìn)一步推動(dòng)新材料等科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。

基金項(xiàng)目

湖南省教育廳科研項(xiàng)目支持（項(xiàng)目編號(hào)：17C0795，17C0797）

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作者簡(jiǎn)介：

羅曼（1987—），通信作者，女，湖南益陽(yáng)人，博士，講師。主要研究方向：偏微分方程數(shù)值解。

E-mail： lmlwlx@163. com

徐大（1960—），男，湖南株洲人，碩士，教授。主要研究方向：偏微分方程數(shù)值解。

吳珍珍（1981—），女，湖南婁底人，碩士，講師。主要研究方向：計(jì)算機(jī)應(yīng)用。

（收稿日期：2020-07-28）