數(shù)學(xué)猜想及其在教學(xué)中的應(yīng)用

◎鄒琳

根據(jù)中國日報網(wǎng)在10月31日發(fā)布的文章中提到最近全球有多名學(xué)者聲稱證明了黎曼假設(shè)，而黎曼假設(shè)是當(dāng)今世界最著名、最重要的數(shù)學(xué)猜想。許多專家學(xué)者認為，如果這一猜想被證明成立，它將對數(shù)學(xué)乃至科學(xué)的發(fā)展有著極為重要的推動作用?？梢哉f，猜想是當(dāng)今社會科學(xué)經(jīng)濟實力發(fā)展的強大動力之一。但是，伴隨著教育課程改革以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的引進，數(shù)學(xué)學(xué)科的課堂教學(xué)環(huán)節(jié)面臨著新一輪嚴峻的挑戰(zhàn)。同時，數(shù)學(xué)教學(xué)活動的目標指向性也更加的明確，更加重視數(shù)學(xué)探究活動和數(shù)學(xué)建模活動，促進學(xué)生創(chuàng)新意識和應(yīng)用能力的發(fā)展。猜想作為一種數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法，有助于提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。

隨著社會的不斷進步，教育的不斷改革，教學(xué)方法的不斷改進，教學(xué)方式也在不斷做出改變，而作為和創(chuàng)新相關(guān)的“猜想”不斷的出現(xiàn)在人們的視野。數(shù)學(xué)猜想更是被列入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要方法之一，由此可見其重要性。數(shù)學(xué)猜想的方法不只體現(xiàn)在對于教學(xué)方法的改進，它對于學(xué)生的學(xué)習(xí)更有著促進和推動的作用。本文首先介紹了數(shù)學(xué)猜想的含義，把數(shù)學(xué)猜想的類型作了總結(jié)并給出相應(yīng)的實例；最后，我們結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)實踐，探討了數(shù)學(xué)猜想教學(xué)的深遠意義。

何謂數(shù)學(xué)猜想？它是指在現(xiàn)有數(shù)學(xué)理論和方法的指導(dǎo)下，以已知事實、數(shù)學(xué)知識和知識為基礎(chǔ)的預(yù)測推理。它是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)研究中一種特別常見的科學(xué)方法，也是數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的一種重要形式。作為一種手段，猜想的目的是通過推理來驗證猜想的正確性。猜想是一種合理的推斷，它補充了論證中使用的邏輯推理。對于沒有結(jié)論的數(shù)學(xué)問題，猜想的形式有助于問題解決思路的正確歸納；猜測也是我們思考解決問題策略的重要方式。

猜想是在某些思維方法的指導(dǎo)下進行的。數(shù)學(xué)猜想的一些基本方法是構(gòu)成學(xué)生猜想能力的基本要素。在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中，教師為了培養(yǎng)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想能力，有必要幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)猜想的一些基本方法。這里有一些細節(jié)。

一、歸納性猜想

歸納猜想的含義是在特定事物的前提下推導(dǎo)出一般結(jié)論的過程。由于歸納推理通常與人們理解普通事物的方式一致，因此很容易被接受和理解。利用數(shù)學(xué)中的歸納猜想可以發(fā)現(xiàn)和解決一些一般性問題。這里我們所說的歸納法主要是指不完全歸納法。其思維方式主要是：調(diào)查問題，歸納問題，進行合理猜測。例如在數(shù)學(xué)“二項式定理的推導(dǎo)”時，就可以用歸納猜想分析：首先從較為常見的簡單情形著手研究：

它們都是（a+b）n（n ∈ N）的一種情形，那么下面的問題自然就是：它們的展開式具有什么樣共同的屬性呢？怎樣展開（a+b）14？那么一般形式（a+b）n又是如何展開的呢？我們現(xiàn)在經(jīng)過分析得到（a+b）4展開結(jié)果的過程如下：

這個時候，我們可以引導(dǎo)學(xué)生列表觀察，從中尋找出規(guī)律性的東西，同時進行大膽猜測。由此不難歸納猜想出：對于（a+b）14展開后共有15項，它們分別是a14、a13b、a12b2、…、ab13、b14，它們的系數(shù)雖然不能一下子給出，但是我們根據(jù)上面的規(guī)律，一定可以求出。用同樣的方法似乎也可以解決（a+b）n的展開問題，盡管此時還沒有推出二項式定理，但顯然學(xué)生大膽的猜想已經(jīng)獲得了許多重要的成果，這對掌握二項式定理的推導(dǎo)及其性質(zhì)非常關(guān)鍵。

二、類比性猜想

類比是一種思維方式，它基于這樣一個事實：兩個物體之間存在著某些相同或相似的屬性，而且它們也可以具有其他相似的屬性。伊曼努爾·康德曾經(jīng)說過”只要理性缺乏可靠的推理路線，類比就是解決之道?！斑@是我最可靠的老師，”開普勒說，他最強調(diào)類比。因此，在數(shù)學(xué)探索中，通過比較兩個命題的共同性質(zhì)，猜出新命題的方法并不少見。例如，找到任意點P與長度為1的正六邊形之和。我們可以把這個問題和一個類似的正三角形問題聯(lián)系起來：從任意點P到正三角形兩邊的距離之和是一個固定值。我們可以用”面積法”來證明

從P點到每邊做垂直線PD、PE、PF，分別設(shè)為 h1、h2、h3，連接 PA、PB、PC，然后SΔABC=SΔPAB+SΔPBC+SΔPCA。設(shè) ΔABC 的邊長為a，面積為 S，則有 S=12ah1+12ah2+12ah3，故h1+h2+h3=2Sa（定值）。通過將這個問題與關(guān)聯(lián)命題相類比，我們得到一個猜想：正六邊形任意點P到每邊的距離之和是2Sa的固定值，其中S是正六邊形的面積，a是每邊的長度。我們可以通過與上述方法的類比來證明這一猜想，從而很容易地解決上述問題。

三、試驗性猜想

實驗猜測是用實驗的方法來研究，每個實驗可以給人們提供一種信息，然后得出相應(yīng)的猜測。如，計算13+23+33+…+n3的和。我們可以嘗試代入具體數(shù)字，通過實驗來發(fā)現(xiàn)這個式子的規(guī)律：

從以上的測試結(jié)果，我們可以很容易地找到這些公式的共同點：方程的右邊是自然數(shù)的平方，所以我們可以得到如下初步猜測：立方和的第一個n個自然數(shù)是自然數(shù)的平方。為了得出更清晰的結(jié)論，我們將進行下一個測試，并進一步分析這些平 方 數(shù) （ 即 1，3，6，10，15）：1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，15=1+2+3+4+5，因此我們推測了一個更明確的命題：前n個自然數(shù)之和等于n個自然數(shù)之和的平方，即 13+23+33+n3=[n（n+1）/2]2。

四、探索性猜想

探索性猜想是指運用合理性探索的方法，在已有的知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，對此類問題進行研究，進而對結(jié)論的方向首先作出猜測。這一猜測可以不是“一步到位”的，往往需要根據(jù)不斷的修正來探討分析結(jié)論的正確性，以此來增強其合理性和可靠性。探索性猜想的思維方式一般是：合理猜測——不斷修改——再思考。一道例題如下：若△ABC的邊長分別為2，1.5，2.點p是三角形中的一個點。求點p到三角形的最大距離。下面我們來分析一下這道題的思路，設(shè)點P到三邊的距離為x，y，z，f（P）=xyz，考慮用平均值不等式求最大值。因此，我們可以猜測x+y+z是一個固定值。由已知很容易得到，△ABC是直角三角形，只要我們在斜邊所在的高上任取兩點，就可以驗證x+y+z為定值是不可能的。我們再進行進一步猜想：如果x，y，z的若干倍之和為一個定值，則這個問題可以解決。事實上，根據(jù)三角形面積關(guān)系S△PAC+S△PAB+S△PBC=S△ABC便 可 以 得 出3x+4y+5z=6， 于 是 f （P）=xyz=160（3x+4y+5z）≤1/60 （3x+4y+5z/3）3=1/60（6/3）3=2/15，∴ 當(dāng) 3x=4y=5z=2 時 ，即x=2/3，y=1/2，z=2/5時，xyz有最大值為215。數(shù)學(xué)中的一些定點或定值問題可以通過先猜測不動點或定值，然后再驗證猜測值的正確性而較容易地解決。

關(guān)于數(shù)學(xué)猜想的教學(xué)意義，我從閱讀的一些文獻中總結(jié)如出，數(shù)學(xué)猜想可以說是數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的動力，也是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的先導(dǎo)者，數(shù)學(xué)猜想促進了我國數(shù)學(xué)理論的發(fā)展以及對數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)方法的研究。我們可以通過研究過去著名的費馬猜想、哥德巴赫猜想等一些數(shù)學(xué)猜想的發(fā)展史，這些著名猜想對于數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展起到了很大的推波助瀾的作用。我們發(fā)現(xiàn)也正是這些偉大數(shù)學(xué)家的猜想，數(shù)學(xué)科學(xué)才能夠發(fā)展成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)。猜想是解決一般數(shù)學(xué)問題的重要思維方式，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的重要組成部分。同時，我認為知識不是主體對客觀現(xiàn)實的被動反映，而是主動建構(gòu)的過程。學(xué)習(xí)者在構(gòu)建知識系統(tǒng)和理解假設(shè)猜想、推理和驗證的過程中，我們便可以不斷地進行思考，處理和轉(zhuǎn)化各種數(shù)學(xué)信息。因此，我們可以認為假設(shè)是數(shù)學(xué)建構(gòu)中學(xué)科思維的重要關(guān)鍵環(huán)節(jié)，它能夠促進對數(shù)學(xué)知識的同化，加速知識的產(chǎn)生和遷移，有著科學(xué)性、假設(shè)性、批判性、敏捷性等特點。但我國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)過分強調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)科的科學(xué)性和嚴謹性，忽視了猜想等非邏輯思維能力的培養(yǎng)，嚴重阻礙了學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，特別是可持續(xù)發(fā)展能力的培養(yǎng)。