約束條件下固定邊界系統(tǒng)最優(yōu)控制必要條件的研究

吳群妹

（無錫科技職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部，江蘇 無錫 214028）

最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論的重要組成部分［1?2］，國內(nèi)外有關(guān)最優(yōu)控制的研究已經(jīng)有很多，如文獻(xiàn)［3?4］介紹了一類退化半線性橢圓系統(tǒng)最優(yōu)控制的必要條件，文獻(xiàn)［5?6］研究了有分布參數(shù)系統(tǒng)的最優(yōu)控制，文獻(xiàn)［7］研究了固定邊界條件下最優(yōu)控制的必要條件等。用變分法來解決系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題也早已有研究［8?9］。本文研究在固定邊界條件下受條件約束的控制問題，利用古典變分法原理，通過構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，將有條件約束的系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為無條件約束的最優(yōu)控制問題，再根據(jù)拉格朗日方程給出系統(tǒng)達(dá)到最優(yōu)的必要條件及其證明，旨在為受條件約束的固定邊界系統(tǒng)最優(yōu)性能指標(biāo)的求解提供參考。

1 變分法基本引理

引理1［10］設(shè)泛函則

引理 2［10］設(shè)其中F為x，y和y'的函數(shù)，且F(x,y,y')是三階可微的，y(x)的邊界是固定不變的，且y(x1)=y1，y(x2)=y2，則J取得極值的必要條件是

該方程為著名的歐拉方程，也稱為歐拉?拉格朗日方程。

2 約束條件下系統(tǒng)的最優(yōu)控制

系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題即求其在約束條件下的極值問題，以下給出含3 類不同約束條件的系統(tǒng)狀態(tài)方程及其性能指標(biāo)，利用拉格朗日乘數(shù)法，將約束條件的極值問題轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的無條件極值問題。

2.1 整型約束條件的最優(yōu)控制

設(shè)狀態(tài)方程的一般形式為

邊界條件yj(x1)=aj，yj(x2)=bj，其中yj(x)(j= 1,2,…,n)為狀態(tài)變量，u(x)為控制輸入，約束條件為

?i(x)(i= 1,2,…,m)是相互獨(dú)立的，性能指標(biāo)表達(dá)式為

構(gòu)造輔助函數(shù)λi(x)(i= 1,2,…,m;m

此時(shí)系統(tǒng)達(dá)到最優(yōu)的必要條件為

其中λi(x)為m個(gè)任意的待定函數(shù)，根據(jù)歐拉方程可解出λi(x)以及狀態(tài)變量yj(x)。

證明由引理1 可先求性能指標(biāo)J[yj(x)]的變分，又固定邊界條件把每個(gè)括號(hào)里的第二項(xiàng)運(yùn)用分部積分法，得

因?yàn)樽兞縴j由約束條件（2）式聯(lián)系著，所以δyj不全是獨(dú)立的。用λi(x)乘以（2）式并在區(qū)間[x1,x2]上積分，得

對(duì)（7）式求變分，得

由于λi(x)(i= 1,2,…,m)是m個(gè)任意待定的函數(shù)，故可假定它由下面m個(gè)線性方程即

來決定。這里假定?i(x)(i= 1,2,…,m)是相互獨(dú)立的，即至少要有一個(gè)m階函數(shù)行列式不為則可由（10）式求得λi(x)的解。此時(shí)（9）式中剩下的變分項(xiàng)只有δy(m+ 1),δy(m+ 2),…,δyn，共(n?m)項(xiàng)，即

這里的每項(xiàng)都是獨(dú)立的，根據(jù)引理2 可得

將式（10）和式（12）合并，即可得到（5）式。證畢。

2.2 非整型約束條件的最優(yōu)控制

非整型約束條件通常有微分型約束條件和積分型約束條件。狀態(tài)方程為（1）式，性能指標(biāo)為（3）式。

微分型約束條件為

積分型約束條件為

則系統(tǒng)達(dá)到最優(yōu)的必要條件為

證明微分型約束條件下最優(yōu)性能指標(biāo)必要條件的證明與整形約束條件下的證明方法類似，在此從略。下面證明積分型約束條件下性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的必要條件。

令

對(duì)（16）式兩邊求導(dǎo)，得

于是約束條件（14）式就可以用（17）式來代替，即問題轉(zhuǎn)化為性能指標(biāo)在（17）式下的最優(yōu)問題。引入常函數(shù)λi(x)，化性能指標(biāo)為

其中i= 1,2,…,m，m

3 結(jié)語

本文給出3 類受不同條件約束下系統(tǒng)最優(yōu)控制的必要條件及其證明，旨在為受其他條件約束的自然科學(xué)或工程技術(shù)中的系統(tǒng)性能指標(biāo)的計(jì)算提供參考。但本文討論的約束條件下系統(tǒng)達(dá)到最優(yōu)控制是在固定邊界條件下的，今后可對(duì)可動(dòng)邊界條件的同類系統(tǒng)作進(jìn)一步探討。