2個(gè)數(shù)學(xué)模型下的銅期權(quán)定價(jià)比較*

王晚生，莫 英，鄧丹丹，郭永紅

(1.長(zhǎng)沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410114；2.上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，上海 200234)

由于銅期貨市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)大、有一定的保證金要求，同時(shí)期貨交易將風(fēng)險(xiǎn)與收益完全捆綁，因此無(wú)法滿足所有投資客戶的需求.相較于傳統(tǒng)的銅期貨市場(chǎng)，銅期權(quán)是一種成本更低、操作更簡(jiǎn)便和風(fēng)險(xiǎn)更易控的金融工具.銅期權(quán)于2018年9月21日上市，成為市場(chǎng)上第4個(gè)期權(quán)品種，同時(shí)也是國(guó)內(nèi)誕生的首個(gè)工業(yè)品期權(quán).銅期權(quán)的推出不但為銅相關(guān)企業(yè)提供更多元化、精細(xì)化的避險(xiǎn)工具，而且有利于提升我國(guó)在世界金融市場(chǎng)中銅的定價(jià)權(quán).因?yàn)殂~期權(quán)上市時(shí)間短，學(xué)者們對(duì)其研究相對(duì)較少，所以筆者擬利用Black-Scholes模型[1]和Merton跳-擴(kuò)散模型[2]計(jì)算得到銅期權(quán)理論價(jià)格，并將理論價(jià)格與實(shí)際期權(quán)價(jià)格進(jìn)行對(duì)比，以選擇適合銅期權(quán)的定價(jià)模型.

1 2個(gè)數(shù)學(xué)模型

1.1 Black-Scholes模型

Black-Scholes模型中的期權(quán)價(jià)格由標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、行權(quán)價(jià)、到期日、利率和波動(dòng)率等變量共同決定.該模型的5個(gè)基本假設(shè)如下[3]:(1)資產(chǎn)價(jià)格是連續(xù)的，股票價(jià)格隨機(jī)波動(dòng)且服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，價(jià)格變化遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)；(2)在期權(quán)合約有效期內(nèi)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、股票資產(chǎn)期望收益變量和價(jià)格波動(dòng)率是常數(shù)；(3)股票資產(chǎn)在期權(quán)合約有效期內(nèi)不支付紅利；(4)市場(chǎng)無(wú)摩擦，即不需要支付稅收和交易成本；(5)金融市場(chǎng)不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì).

這里σ為標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率.

1.2 Merton跳-擴(kuò)散模型

Black-Scholes模型推出后，很多學(xué)者將其應(yīng)用在實(shí)際情況中.Merton發(fā)現(xiàn)，市場(chǎng)上股票價(jià)格的變化并非連續(xù)波動(dòng)的過(guò)程，而是呈現(xiàn)出間斷的“跳空”現(xiàn)象，于是他提出了股票價(jià)格服從跳躍過(guò)程的Merton跳-擴(kuò)散模型.該模型在幾何布朗運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上加入了跳躍項(xiàng)，將股票價(jià)格的波動(dòng)過(guò)程分為2個(gè)部分：第1個(gè)部分是連續(xù)的波動(dòng)，用布朗運(yùn)動(dòng)描述；第2個(gè)部分是由一些重大信息引起的股票價(jià)格產(chǎn)生的較大波動(dòng)，用泊松過(guò)程描述.Merton跳-擴(kuò)散模型的定價(jià)公式為

這里：

1.3 變量選取和參數(shù)估計(jì)

樣本區(qū)間為2018年9月21日至2019年6月6日，以區(qū)間內(nèi)所有認(rèn)購(gòu)期權(quán)為研究對(duì)象，收集每日收盤價(jià)、利率和銅期權(quán)合約相關(guān)數(shù)據(jù).數(shù)據(jù)來(lái)源于大智慧網(wǎng)站.對(duì)收益率序列的參數(shù)采用異常值檢驗(yàn)的估計(jì)方法，依時(shí)間點(diǎn)滾動(dòng)，每日估計(jì)1組跳躍參數(shù)，這樣能更加準(zhǔn)確地描述收益率的變化情況.Merton跳-擴(kuò)散模型的參數(shù)估計(jì)量為[45]

利用樣本區(qū)間內(nèi)的前168個(gè)時(shí)間點(diǎn)的收益率數(shù)據(jù)，依時(shí)間點(diǎn)滾動(dòng)，對(duì)每個(gè)交易日進(jìn)行參數(shù)估計(jì).2019年5月10日至2019年6月6日每個(gè)交易日的具體參數(shù)估計(jì)結(jié)果見表1.

表1 參數(shù)估計(jì)結(jié)果

2 銅期權(quán)實(shí)證分析

2.1 銅期權(quán)理論價(jià)格的計(jì)算

以2019年6月到期的銅認(rèn)購(gòu)期權(quán)為對(duì)象，選取2019年5月10日至2019年6月6日的交易數(shù)據(jù)，將每個(gè)交易日的跳躍參數(shù)與收盤價(jià)、利率、到期日、執(zhí)行價(jià)格等期權(quán)相關(guān)數(shù)據(jù)代入Merton跳-擴(kuò)散模型，即可計(jì)算出不同行權(quán)價(jià)下每日的銅期權(quán)理論價(jià)格(表2).對(duì)于Black-Scholes模型，運(yùn)用歷史波動(dòng)率公式[5]

得到2019年5月10日至2019年6月6日銅期權(quán)的波動(dòng)率σ=0.005 9.同樣，將各變量數(shù)值代入Black-Scholes模型，可計(jì)算出不同行權(quán)價(jià)下每日的銅期權(quán)理論價(jià)格(表2).

表2 不同行權(quán)價(jià)下2個(gè)模型的銅期權(quán)理論價(jià)格與實(shí)際期權(quán)價(jià)格

2.2 銅期權(quán)理論價(jià)格與實(shí)際期權(quán)價(jià)格的比較

從表3可以看出：當(dāng)K=4.4和K=4.5時(shí)，Black-Scholes模型的相對(duì)誤差均值比Merton跳-擴(kuò)散模型的分別小0.001 6和0.001 7，2個(gè)模型的相對(duì)誤差均值增加的速度基本一致；當(dāng)K=4.6時(shí)，Meron跳-擴(kuò)散模型的相對(duì)誤差均值比Black-Scholes模型的小0.128 4， Merton跳-擴(kuò)散模型的相對(duì)誤差均值增加的速度(0.046 4)小于Black-Scholes模型的相對(duì)誤差均值增加的速度(0.176 5)；當(dāng)K=4.7時(shí)，Meron跳-擴(kuò)散模型的相對(duì)誤差均值比Black-Scholes模型的小0.451 9，Merton跳-擴(kuò)散模型的相對(duì)誤差均值增加的速度(0.091 3)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于Black-Scholes模型的相對(duì)誤差均值增加的速度(0.414 8).

表3 不同行權(quán)價(jià)下2個(gè)模型的銅期權(quán)理論價(jià)格與實(shí)際期權(quán)價(jià)格的相對(duì)誤差

3 結(jié)論

比較Black-Scholes模型和Merton跳-擴(kuò)散模型的銅期權(quán)定價(jià)可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)行權(quán)價(jià)K逐漸增大時(shí)，Meron跳-擴(kuò)散模型的相對(duì)誤差均值最初比Black-Scholes模型的略大，到后來(lái)明顯小于Black-Scholes模型，說(shuō)明Merton跳-擴(kuò)散模型的定價(jià)效果越來(lái)越優(yōu)于Black-Scholes模型；而隨著K的增大，Meron跳-擴(kuò)散模型的相對(duì)誤差均值增加的速度最初與Black-Scholes模型的基本一致，到后來(lái)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于Black-Scholes模型，這說(shuō)明在定價(jià)過(guò)程中，Merton跳-擴(kuò)散模型比Black-Scholes模型更穩(wěn)定.