基于元?jiǎng)幼鲉卧臄?shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)精度映射

周 偉，肖 兵，冉 琰，胡曉波，張根保

(機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(重慶大學(xué)), 重慶 400044)

在機(jī)械產(chǎn)品的生命周期中，精度設(shè)計(jì)與控制是決定產(chǎn)品最終質(zhì)量的關(guān)鍵因素之一[1]. 精度是機(jī)械產(chǎn)品的一個(gè)關(guān)鍵質(zhì)量特性. 其中，對(duì)于精密或者超精密數(shù)控機(jī)床而言，其運(yùn)動(dòng)精度又是影響機(jī)床精度的關(guān)鍵因素. 長(zhǎng)期以來(lái)，我國(guó)機(jī)床企業(yè)傳統(tǒng)的精度設(shè)計(jì)主要依賴于經(jīng)驗(yàn)，沒(méi)有定量的理論值可以參考. 為使數(shù)控機(jī)床精度設(shè)計(jì)有定量的理論數(shù)值供參考，提高數(shù)控機(jī)床的精度，對(duì)機(jī)床精度映射的研究就顯得至關(guān)重要.

對(duì)于運(yùn)動(dòng)精度的研究，Pezeshki等[2]、Ibaraki等[3]、Fan等[4]根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)理論建立了數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，對(duì)數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)誤差進(jìn)行了識(shí)別. 郭世杰等[5]、余永維等[6]對(duì)機(jī)床運(yùn)動(dòng)誤差進(jìn)行了快速識(shí)別與測(cè)量. 張學(xué)波等[7]提出一種基于冗余陣元回波數(shù)據(jù)的運(yùn)動(dòng)誤差補(bǔ)償方法，對(duì)聲吶系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)誤差進(jìn)行補(bǔ)償. 雷楠南[8]對(duì)磨齒機(jī)數(shù)控系統(tǒng)進(jìn)行了螺距誤差補(bǔ)償，提高了機(jī)床精度. 對(duì)于精度等質(zhì)量特性映射的研究，王美清等[9]、安相華等[10]對(duì)客戶需求進(jìn)行映射，得到基于客戶需求的精度等質(zhì)量特性.

分析上述文獻(xiàn)可知，首先現(xiàn)有對(duì)于運(yùn)動(dòng)精度的研究[2-8]主要是在機(jī)床制造生產(chǎn)出來(lái)后對(duì)其運(yùn)動(dòng)精度的識(shí)別、測(cè)量及運(yùn)動(dòng)誤差補(bǔ)償，無(wú)法得到可以供機(jī)床精度設(shè)計(jì)階段參考的運(yùn)動(dòng)精度理論數(shù)值. 其次，現(xiàn)有對(duì)于精度映射的研究[9-10]主要集中在設(shè)計(jì)過(guò)程中用戶需求與精度等質(zhì)量特性之間的映射關(guān)系. 研究的內(nèi)容主要是用戶需求向整機(jī)或者部件映射，其映射的最小單元是整機(jī)或部件，不能為更小單元(零件)的設(shè)計(jì)提供設(shè)計(jì)依據(jù).

針對(duì)上述問(wèn)題，本文從運(yùn)動(dòng)角度對(duì)數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動(dòng)精度進(jìn)行分析，提出了基于元?jiǎng)幼鲉卧倪\(yùn)動(dòng)精度映射模型. 首先，采用“功能-運(yùn)動(dòng)-動(dòng)作”的結(jié)構(gòu)化分解方法得到元?jiǎng)幼鲉卧?；其次，利用多體系統(tǒng)理論并結(jié)合元?jiǎng)幼鞣纸鈽?，描述了?shù)控機(jī)床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，進(jìn)而運(yùn)用旋量理論建立了數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)誤差模型；再次，為使數(shù)控機(jī)床空間運(yùn)動(dòng)誤差表達(dá)更具有幾何意義，運(yùn)用螺旋理論建立了空間運(yùn)動(dòng)誤差螺旋模型，形式化表達(dá)了空間運(yùn)動(dòng)誤差；然后，以制造成本、空間運(yùn)動(dòng)誤差螺旋螺距為設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，構(gòu)建了運(yùn)動(dòng)精度映射模型；最后，利用NSGA-Ⅱ遺傳算法進(jìn)行映射求解，得到映射結(jié)果.

1 基于多體系統(tǒng)理論的數(shù)控機(jī)床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

分析數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)精度首先需要對(duì)數(shù)控機(jī)床結(jié)構(gòu)進(jìn)行準(zhǔn)確描述，準(zhǔn)確、完整的數(shù)控機(jī)床結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型是進(jìn)行數(shù)控機(jī)床相關(guān)工作的基礎(chǔ)，因此建立準(zhǔn)確的數(shù)控機(jī)床結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型是進(jìn)行運(yùn)動(dòng)精度分析的前提. 本文利用多體系統(tǒng)理論并結(jié)合元?jiǎng)幼鲉卧纸鈽洌瑥倪\(yùn)動(dòng)的角度出發(fā)對(duì)數(shù)控機(jī)床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行描述，為建立數(shù)控機(jī)床精度模型提供基礎(chǔ).

1.1 基于多體系統(tǒng)理論的數(shù)控機(jī)床元?jiǎng)幼鞣纸?/h3>

多體系統(tǒng)理論是建立在傳統(tǒng)坐標(biāo)變換理論基礎(chǔ)上的，它對(duì)復(fù)雜的機(jī)械系統(tǒng)有很強(qiáng)的概括能力和獨(dú)特的系統(tǒng)描述方法. 多體系統(tǒng)是指多個(gè)物體通過(guò)一定方式相互連接構(gòu)成的系統(tǒng)，系統(tǒng)中的物體可以是剛體也可以是柔性體，是分析和研究復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的最優(yōu)模式[11].

對(duì)數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動(dòng)精度進(jìn)行分析，需要從運(yùn)動(dòng)的角度對(duì)機(jī)床進(jìn)行結(jié)構(gòu)化分解，傳統(tǒng)的以零部件為最小單元且只考慮零部件之間連接關(guān)系的結(jié)構(gòu)化分解方法對(duì)于分析運(yùn)動(dòng)精度是不適用的. 因此，從運(yùn)動(dòng)角度出發(fā)，結(jié)合多體系統(tǒng)的思想，考慮機(jī)床通過(guò)最小的動(dòng)作來(lái)實(shí)現(xiàn)其功能的過(guò)程，可以通過(guò)“功能(Function)-運(yùn)(Motion)-動(dòng)作(Action)”的分解方法對(duì)其進(jìn)行結(jié)構(gòu)化分解[12]. 結(jié)構(gòu)化分解模型如圖1所示.

圖1 FMA結(jié)構(gòu)化分解模型

由圖1可知，機(jī)電產(chǎn)品要實(shí)現(xiàn)整機(jī)的運(yùn)動(dòng)功能需要相應(yīng)的部件子功能去實(shí)現(xiàn)，部件子功能的實(shí)現(xiàn)依靠相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的實(shí)現(xiàn)又依靠相應(yīng)的動(dòng)作，即“功能-運(yùn)動(dòng)-動(dòng)作，F(xiàn)MA”. 在此，把機(jī)械產(chǎn)品中傳遞運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力的最基本的運(yùn)動(dòng)形式，稱為元?jiǎng)幼?Meta-action, MA)；把實(shí)現(xiàn)某一個(gè)元?jiǎng)幼鞯乃辛慵凑战Y(jié)構(gòu)關(guān)系構(gòu)成的整體，稱為元?jiǎng)幼鲉卧?Meta-action Unit, MU). 將元?jiǎng)幼鲉卧醋鞫囿w系統(tǒng)中的一個(gè)體，即可從運(yùn)動(dòng)的角度對(duì)數(shù)控機(jī)床的結(jié)構(gòu)進(jìn)行描述.

元?jiǎng)幼鲉卧ǔ０ㄒ苿?dòng)單元和轉(zhuǎn)動(dòng)單元兩種，例如油缸中活塞移動(dòng)單元，齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)單元. 對(duì)一個(gè)元?jiǎng)幼鲉卧酝ǔ０瑒?dòng)力輸入件、支撐件、中間件、動(dòng)力輸出件和緊固件五大基本要素. 其中動(dòng)力輸出件定義如下[13]：元?jiǎng)幼鲉卧邢蛳掠卧獎(jiǎng)幼鲉卧敵鲞\(yùn)動(dòng)和動(dòng)力的零件. 例如蝸桿轉(zhuǎn)動(dòng)元?jiǎng)幼鲉卧械奈仐U.

1.2 數(shù)控機(jī)床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是對(duì)多體系統(tǒng)本質(zhì)的高度提煉和概括，是研究多體系統(tǒng)的依據(jù)和基礎(chǔ)，對(duì)多系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)描述，是多體系統(tǒng)理論的基本問(wèn)題[14]. 根據(jù)多體系統(tǒng)理論，將一個(gè)元?jiǎng)幼鲉卧醋饕粋€(gè)體，各元?jiǎng)幼鲉卧g只有單自由度的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，約束類型為移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)，因此數(shù)控機(jī)床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖2所示.

圖2 基于多體系統(tǒng)和元?jiǎng)幼鲉卧臄?shù)控機(jī)床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

Fig.2 CNC machine tool topology based on multi-body system and meta-action units

如圖2所示，在多體系統(tǒng)中，在慣性體B0(一般數(shù)控機(jī)床慣性體為床身)和所有元?jiǎng)幼鲉卧暇⑴c其固定聯(lián)接的右手直角笛卡爾三維坐標(biāo)系，這些坐標(biāo)系稱為廣義坐標(biāo)系. 其中，廣義坐標(biāo)系中慣性體上的坐標(biāo)系稱為慣性參考坐標(biāo)系，各個(gè)元?jiǎng)幼鲉卧鴺?biāo)系稱為子坐標(biāo)系或動(dòng)坐標(biāo)系，每個(gè)坐標(biāo)系中的三個(gè)正交基按右手定則分別設(shè)為X、Y、Z軸. 由于元?jiǎng)幼鲉卧膭?dòng)力輸出件(簡(jiǎn)稱輸出件)的作用是向下游元?jiǎng)幼鲉卧敵鰟?dòng)力和運(yùn)動(dòng)，所以元?jiǎng)幼鲉卧倪\(yùn)動(dòng)精度很大程度取決于輸出件的運(yùn)動(dòng)精度. 因此元?jiǎng)幼鲉卧獎(jiǎng)幼鴺?biāo)系一般建立在動(dòng)力輸出件上. 建立多體系統(tǒng)坐標(biāo)系后，對(duì)于各元?jiǎng)幼鲉卧g的相對(duì)運(yùn)動(dòng)分析就可以轉(zhuǎn)換為對(duì)各動(dòng)坐標(biāo)系之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)分析.

2 基于旋量理論的數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)誤差建模

2.1 旋量理論

在三維歐式空間R3中設(shè)S為參考坐標(biāo)系，T為固定在剛體上的物體坐標(biāo)系，剛體相對(duì)于參考坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)(位姿)可由下式描述[15]：

SE(3)={(R,t)R∈SO(3),t∈R3}.

(1)

式中：SE(3)為特殊歐式群；R為3×3姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣；t為位置向量；SE(3)為特殊正交群.

根據(jù)歐拉旋轉(zhuǎn)定理，對(duì)于剛體的每一個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，都有一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣R(R∈SO(3))與之對(duì)應(yīng)，設(shè)ω表示旋轉(zhuǎn)軸方向的單位矢量，θ為轉(zhuǎn)角，則R可寫成ω和θ的函數(shù)：

(2)

根據(jù)指數(shù)映射關(guān)系，可得

(3)

根據(jù)Chasles定理[16]，任意剛體運(yùn)動(dòng)都可以通過(guò)螺旋運(yùn)動(dòng)即通過(guò)繞某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)與沿該軸移動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn). 也就是說(shuō)剛體運(yùn)動(dòng)與螺旋運(yùn)動(dòng)是等價(jià)的. 因此剛體運(yùn)動(dòng)變換可以用旋量指數(shù)積形式表示為

(4)

式中：ω表示螺旋軸方向的單位矢量；υ表示沿螺旋軸移動(dòng)的位移矢量；θ表示轉(zhuǎn)角. 將式中的υ和θ分別用移動(dòng)誤差矢量和轉(zhuǎn)動(dòng)誤差代替即可得到運(yùn)動(dòng)誤差變換矩陣.

2.2 相鄰元?jiǎng)幼鲉卧\(yùn)動(dòng)誤差矩陣

當(dāng)某一元?jiǎng)幼鲉卧鄬?duì)于其相鄰元?jiǎng)幼鲉卧哪骋惠S運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)在六個(gè)自由度方向上產(chǎn)生六項(xiàng)運(yùn)動(dòng)誤差，其幾何意義如圖3所示.

圖3 相鄰元?jiǎng)幼鲉卧鄬?duì)運(yùn)動(dòng)示意圖

Fig.3 Schematic diagram of relative motion of meta-action units

(5)

同理可得到Y(jié)、Z方向螺旋運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)誤差矩陣：

相鄰元?jiǎng)幼鲉卧\(yùn)動(dòng)誤差矩陣為三個(gè)方向螺旋運(yùn)動(dòng)誤差矩陣相乘，當(dāng)Δαjk、Δβjk、Δγjk較小時(shí)，忽略高階無(wú)窮小，相鄰元?jiǎng)幼鲉卧`差矩陣為

gjk=gXgYgZ=

(6)

2.3 元?jiǎng)幼鲉卧溂罢麢C(jī)空間運(yùn)動(dòng)誤差矩陣

圖4 元?jiǎng)幼鲉卧溈臻g運(yùn)動(dòng)誤差形成過(guò)程

Fig.4 Meta-motion unit chain space motion error formation process

利用式(6)的運(yùn)動(dòng)誤差矩陣描述元?jiǎng)幼鲉卧溨邢噜徳獎(jiǎng)幼鲉卧g的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，定義元?jiǎng)幼鲉卧溈臻g運(yùn)動(dòng)誤差矩陣為元?jiǎng)幼鲉卧溨懈飨噜徳獎(jiǎng)幼鲉卧倪\(yùn)動(dòng)誤差矩陣相乘. 則Ei為

Ei=g01g12…gq-2,q-1gq-1,q.

(7)

數(shù)控機(jī)床整機(jī)誤差是由各條元?jiǎng)幼鲉卧湹倪\(yùn)動(dòng)誤差綜合累積而成，定義整機(jī)空間運(yùn)動(dòng)誤差矩陣為各條元?jiǎng)幼鲉卧溤倪\(yùn)動(dòng)誤差矩陣相乘，當(dāng)Δαjk、Δβjk、Δγjk較小時(shí)，忽略高階無(wú)窮小，整機(jī)誤差特征矩陣簡(jiǎn)化形式如下：

(8)

式中：n為元?jiǎng)幼鲉卧湐?shù)目；Δx、Δy、Δz表示整機(jī)誤差沿參考坐標(biāo)系的X、Y、Z軸的移動(dòng)誤差分量；Δα、Δβ、Δγ表示整機(jī)誤差沿參考坐標(biāo)系的X、Y、Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)誤差分量. 由式(8)可以看出，空間運(yùn)動(dòng)誤差由六個(gè)分量組成，但是在實(shí)際中對(duì)于精度的衡量指標(biāo)并沒(méi)有分為六個(gè)分量，往往是六個(gè)分量的綜合. 例如機(jī)床加工精度為0.002 mm，0.002 mm這個(gè)數(shù)值并不表示加工精度的某個(gè)分量的值，而是表示由六個(gè)分量誤差綜合作用后形成的最終誤差. 因此為了使空間運(yùn)動(dòng)誤差更具有幾何意義，利用螺旋理論來(lái)綜合空間運(yùn)動(dòng)誤差的六個(gè)分量.

根據(jù)文獻(xiàn)[17]中關(guān)于螺旋理論的定義可知，螺旋是指繞特定軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)和沿改軸線的移動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)，空間中任意運(yùn)動(dòng)都可以合成為一個(gè)螺旋運(yùn)動(dòng). 該軸線稱為螺旋軸線，且利用Plücker坐標(biāo)表示單位螺旋如下：

(9)

(10)

(11)

根據(jù)式(8)～(11)，空間運(yùn)動(dòng)誤差螺旋定義為

(12)

(13)

其中，mE表示空間運(yùn)動(dòng)誤差螺旋大小，SE表示空間運(yùn)動(dòng)誤差單位螺旋矢量，hE表示空間運(yùn)動(dòng)誤差螺旋螺距. 一般情況下可以用hE作為空間運(yùn)動(dòng)誤差的綜合值.

3 數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)精度映射模型

精度與零部件的制造成本之間存在一定的關(guān)系：零部件精度越高，越能滿足設(shè)計(jì)要求，但是制造成本較高；零部件精度越低，制造成本越低，但生產(chǎn)出的產(chǎn)品質(zhì)量越差[18]. 因此，在對(duì)精度質(zhì)量特性進(jìn)行映射時(shí)，必須考慮成本問(wèn)題.

3.1 運(yùn)動(dòng)精度映射模型

3.1.1 運(yùn)動(dòng)精度-成本函數(shù)

在設(shè)計(jì)階段，通常還不能定出成本數(shù)值，因此一般不可能建立制造成本的精確數(shù)值，但是可以定性或相似的估計(jì). 根據(jù)文獻(xiàn)[19]提出的成本估計(jì)模型，精度成本函數(shù)近似計(jì)算模型如下：

(14)

其中，a，b為待定常數(shù)，一般根據(jù)各個(gè)企業(yè)的經(jīng)驗(yàn)取值；xi為第i個(gè)元?jiǎng)幼鲉卧倪\(yùn)動(dòng)精度值，由公式(12)計(jì)算；n為元?jiǎng)幼鲉卧膫€(gè)數(shù).

3.1.2 運(yùn)動(dòng)精度映射模型

設(shè)數(shù)控機(jī)床預(yù)定的精度值為ΔE，為不使機(jī)床精度超過(guò)預(yù)定的值，一般情況下要讓機(jī)床空間運(yùn)動(dòng)誤差螺旋大小mE小于預(yù)定的精度值，即約束條件為

mE≤ΔE.

(15)

精度映射問(wèn)題可以看作是滿足產(chǎn)品性能要求且制造成本最低的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題. 根據(jù)式(12)～(15)，以空間運(yùn)動(dòng)誤差螺旋大小為約束，以空間運(yùn)動(dòng)誤差螺距最小和制造成本最低為目標(biāo)，構(gòu)建運(yùn)動(dòng)精度多目標(biāo)優(yōu)化映射模型如下：

(16)

式中:f1、f2為優(yōu)化目標(biāo)；mE為約束條件；xi為設(shè)計(jì)變量，即各個(gè)元?jiǎng)幼鲉卧倪\(yùn)動(dòng)精度值；n為設(shè)計(jì)變量數(shù).

3.2 基于NSGA-Ⅱ算法的精度映射方法

為解決上述多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，采用NSGA-Ⅱ算法進(jìn)行運(yùn)動(dòng)精度映射求解. NSGA-Ⅱ是由K.Ded和S.Agrawala[20]提出，是非支配排序遺傳算法NSGA的改良版. 映射方法步驟如下：

1) 建立數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)精度映射模型. 以根據(jù)公式(16)以空間運(yùn)動(dòng)誤差螺旋大小為約束，以空間運(yùn)動(dòng)誤差螺距最小和制造成本最低為目標(biāo)，構(gòu)建運(yùn)動(dòng)精度多目標(biāo)優(yōu)化映射模型.

2) 初始化種群. 隨機(jī)初始化個(gè)體數(shù)為N的種群Pt，并將所有各體按非支配關(guān)系排序且計(jì)算適應(yīng)度值.

3) 利用遺傳操作選擇、交叉和變異產(chǎn)生新種群Qt.

4) 對(duì)種群Pt和種群Qt進(jìn)行合并得到種群Rt.

5) 非支配排序. 采用快速非劣排序算法將種群Rt中的各體劃分成不同的非劣級(jí)別.

6)產(chǎn)生新種群Pt+1.

7) 判斷是否滿足遺傳算法約束條件，若滿足則退出算法，并得到Pareto最優(yōu)解；否則繼續(xù)執(zhí)行步驟3). 計(jì)算流程如圖5所示.

圖5 遺傳算法中精度映射計(jì)算流程圖

Fig.5 Flow chart of precision mapping calculation in genetic algorithm

4 實(shí) 例

以國(guó)產(chǎn)某機(jī)床廠設(shè)計(jì)生產(chǎn)的某型號(hào)精密臥式加工中心為例，說(shuō)明運(yùn)動(dòng)精度映射過(guò)程. 由于臥式加工中心分解后得到的元?jiǎng)幼鲉卧獢?shù)目較多，限于篇幅原因，這里只以托盤交換架為例，說(shuō)明映射過(guò)程. 托盤交換架的功能是交換已加工工件和待加工工件的位置，其運(yùn)動(dòng)精度的大小直接影響工件的加工位置，進(jìn)而影響整機(jī)加工精度，其回轉(zhuǎn)部分結(jié)構(gòu)如圖6所示.

根據(jù)圖6托盤交換架回轉(zhuǎn)部分結(jié)構(gòu)，按照元?jiǎng)幼鲉卧@取步驟對(duì)托盤交換架進(jìn)行分解,得到液壓電磁閥閥門開合、回轉(zhuǎn)油缸活塞移動(dòng)、齒條移動(dòng)、齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)、托架轉(zhuǎn)動(dòng)5個(gè)元?jiǎng)幼鲉卧? 由于液壓電磁閥閥門開合運(yùn)動(dòng)對(duì)托盤交換架的運(yùn)動(dòng)精度影響較小，因此這里不作討論. 交換架回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)單元結(jié)構(gòu)化分解如圖7所示，其元?jiǎng)幼鲉卧溔鐖D8所示.

圖6 托盤交換架回轉(zhuǎn)部分結(jié)構(gòu)圖

圖7 交換架回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)單元結(jié)構(gòu)化分解

Fig.7 Structured decomposition of exchange frame rotary motion unit

圖8 元?jiǎng)幼鲉卧?/p>

根據(jù)式(8)空間運(yùn)動(dòng)誤差模型，以元?jiǎng)幼鲉卧倪\(yùn)動(dòng)精度(如活塞移動(dòng)元?jiǎng)幼鲉卧囊苿?dòng)精度、齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)元?jiǎng)幼鲉卧霓D(zhuǎn)動(dòng)精度)為設(shè)計(jì)變量，最小化制造成本和最小化空間運(yùn)動(dòng)誤差螺距為目標(biāo)函數(shù)，空間運(yùn)動(dòng)誤差螺旋大小為約束構(gòu)建精度質(zhì)量特性映射模型.

1)運(yùn)動(dòng)精度設(shè)計(jì)變量. 由圖6托盤交換架回轉(zhuǎn)部分結(jié)構(gòu)圖可知，相鄰元?jiǎng)幼鲉卧g只有單自由度的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，因此設(shè)計(jì)變量為

x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11,x12,x13,x14,x15,x16,

x17,x18,x19,x20,x21,x22,x23,x24).

根據(jù)公式(6)、(7)，求得空間運(yùn)動(dòng)誤差矩陣為：

E=g01g12g23g34=

為減小篇幅，定義：

tx=x1x4+x7x10+x13x16+x19x22，

ty=x2x5+x8x11+x14x17+x20x23，

ty=x3x6+x9x12+x15x18+x21x24，

tα=x4+x10+x16+x22，

tβ=x5+x11+x17+x23，

tγ=x6+x12+x18+x24.

忽略高階無(wú)窮小，求得的最終的空間運(yùn)動(dòng)誤差矩陣為

2)根據(jù)公式(12)、(14)，運(yùn)動(dòng)精度映射目標(biāo)函數(shù)為

根據(jù)該機(jī)床廠的經(jīng)驗(yàn)，咨詢?cè)搹S相關(guān)設(shè)計(jì)人員，式(14)中的a、b分別取值為1.2和1.6，則精度成本函數(shù)為

3)加工中心精度預(yù)定值為ΔE=0.005 mm. 由公式(15)、(16)精度映射數(shù)學(xué)模型為

建立好精度映射模型后，運(yùn)用Isight軟件并結(jié)合MATLAB的NSGA-Ⅱ算法進(jìn)行精度映射求解，NSGA-Ⅱ算法參數(shù)設(shè)置如下：種群數(shù)pop=16，進(jìn)化代數(shù)gen=30，交叉率Pc=0.9，變異率Pm=0.1，交叉操作分配率mu=20，變異操作分配率mum=20. 映射求解結(jié)果如圖8所示.

經(jīng)過(guò)NSGA-Ⅱ算法得到481組結(jié)果，其中綠色區(qū)表示最優(yōu)解，其他顏色區(qū)域表示非最優(yōu)解. 根據(jù)綠色區(qū)的最優(yōu)解，利用公式(12)對(duì)每個(gè)元?jiǎng)幼鲉卧木冗M(jìn)行螺旋綜合，得到元?jiǎng)幼鲉卧挠成渚戎?，如?所示. 由表1可知，精度質(zhì)量特性映射結(jié)果為：回轉(zhuǎn)油缸活塞移動(dòng)元?jiǎng)幼鲉卧狝1的移動(dòng)精度為0.003 38 mm，齒條移動(dòng)元?jiǎng)幼鲉卧狝2的移動(dòng)精度為0.002 07 mm，齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)元?jiǎng)幼鲉卧狝3的回轉(zhuǎn)精度為0.002 75 mm，托架轉(zhuǎn)動(dòng)元?jiǎng)幼鲉卧狝4的回轉(zhuǎn)精度為0.003 96 mm. 根據(jù)映射結(jié)果，設(shè)計(jì)人員可以把上述映射結(jié)果作為元?jiǎng)幼鲉卧脑O(shè)計(jì)輸入，合理安排設(shè)計(jì)要求對(duì)元?jiǎng)幼鲉卧M(jìn)行設(shè)計(jì).

圖9 映射求解結(jié)果

mm

5 結(jié) 論

1)從運(yùn)動(dòng)角度出發(fā)對(duì)數(shù)控機(jī)床進(jìn)行結(jié)構(gòu)化分解得到元?jiǎng)幼鲉卧纸鈽洌Y(jié)合多體系統(tǒng)理論并利用旋量理論建立了數(shù)控機(jī)床誤差模型，并運(yùn)用螺旋理論對(duì)空間運(yùn)動(dòng)誤差進(jìn)行了綜合.

2)建立了運(yùn)動(dòng)精度映射模型，使用Isight和MATLAB軟件結(jié)合NSGA-Ⅱ遺傳算法進(jìn)行運(yùn)動(dòng)精度映射求解.

3)以某國(guó)產(chǎn)加工中心為例求解得到元?jiǎng)幼鲉卧倪\(yùn)動(dòng)精度值，驗(yàn)證了映射模型的有效性和可行性，并為設(shè)計(jì)人員提供了設(shè)計(jì)參考.