基于凸優(yōu)化理論的和、差波束方向圖合成新方法

祁崢東, 邱明華, 蔣瑩瑩, 孔 玥, 黃 晟

(1. 中國(guó)船舶集團(tuán)有限公司第八研究院，南京 211153 ；2. 南京大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210046 )

0 引 言

波束合成技術(shù)是陣列信號(hào)處理研究領(lǐng)域中的關(guān)鍵研究方向，其內(nèi)容包括對(duì)接收陣列信號(hào)的加權(quán)處理，以使方向圖主瓣對(duì)準(zhǔn)期望角，零陷位置對(duì)準(zhǔn)干擾角，從而提高系統(tǒng)的性能。該技術(shù)在聲聲吶、雷達(dá)、通信等領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，在方向圖綜合問(wèn)題中通常要求具有低副瓣特性。通過(guò)各類算法，理論上[1-6]可以設(shè)計(jì)出具有超低副瓣電平的遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖。但是，由于仿真和實(shí)際加工存在各種誤差，如單元之間的互耦效應(yīng)、單元位置加工誤差、通道響應(yīng)失配，以及單元的幅相誤差等因素，提高了最大副瓣電平。此外，所設(shè)計(jì)的遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖應(yīng)具有較好的方向性(如對(duì)應(yīng)較窄的主瓣波束)。因此，綜合過(guò)程應(yīng)在最大副瓣電平和主波束寬度之間進(jìn)行平衡。和、差波束方向圖因在實(shí)現(xiàn)角度估計(jì)和目標(biāo)跟蹤方面發(fā)揮著特殊的作用，使得這一研究方向一直以來(lái)受到很多學(xué)者的重視，目前已有很多技術(shù)成果問(wèn)世。[7-11]

隨著軍民兩個(gè)領(lǐng)域?qū)走_(dá)分辨率、靈敏度等性能指標(biāo)的要求不斷提高，使得雷達(dá)陣列朝著超大型規(guī)模發(fā)展。這一實(shí)際要求使雷達(dá)成本大幅提高，促使稀疏陣相關(guān)的研究得到越來(lái)越多的關(guān)注。稀疏陣的陣元合理的布置可以在不影響一些技術(shù)指標(biāo)的前提下有效降低天線單元和通道總數(shù),從而降低系統(tǒng)的造價(jià)和饋電網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜度。稀疏陣的單元位置優(yōu)化和單元數(shù)量最少化問(wèn)題實(shí)際屬于非線性優(yōu)化范疇，以往經(jīng)典解決方案包括采用智能優(yōu)化算法、模擬退火法、遺傳算法、蟻群優(yōu)化算法和粒子群算法等。作為高效的全局優(yōu)化算法，智能優(yōu)化算法已在陣列方向圖綜合領(lǐng)域得到大量應(yīng)用，并取得了良好的應(yīng)用成果[12-15]。但是，此類算法存在運(yùn)算量大、易陷入局部最優(yōu)、對(duì)初值敏感、收斂速度慢的缺點(diǎn)，尤其對(duì)大型天線陣列進(jìn)行綜合優(yōu)化時(shí)陣元單元數(shù)量的激增會(huì)導(dǎo)致算法的計(jì)算負(fù)擔(dān)增大。

稀疏陣綜合的目的為使得陣列中單元數(shù)量最少化，即完成方向圖性能指標(biāo)的同時(shí)從等間距柵格的滿陣中選擇數(shù)量最少的單元。此問(wèn)題為L(zhǎng)0范數(shù)最小化綜合問(wèn)題，為NP-Hard困難問(wèn)題。本文結(jié)合壓縮理論用重加權(quán)L1范數(shù)優(yōu)化算法替代原先L0范數(shù)算法以完成陣元數(shù)量最小化的設(shè)計(jì)目標(biāo)。這一過(guò)程將非凸優(yōu)化模型轉(zhuǎn)換成凸優(yōu)化(Convex programming)模型求解。

本文提出的以降低饋電系統(tǒng)復(fù)雜度為目的設(shè)計(jì)可分為兩類，第1類是通過(guò)優(yōu)化使得和、差波束模式下在部分單元上共用激勵(lì)，第2類降低系統(tǒng)復(fù)雜度的方法是通過(guò)減少天線陣列中單元總數(shù)。本文算法將共用單元部分加權(quán)和單元級(jí)加權(quán)作為統(tǒng)一優(yōu)化目標(biāo)，以減少陣列中單元總數(shù)，而將涉及的輻射性能指標(biāo)(如差方向圖斜率，以及和、差波束的主瓣寬度、最大副瓣電平等)利用凸優(yōu)化算法轉(zhuǎn)化為凸問(wèn)題進(jìn)行求解。

與經(jīng)典算法結(jié)果相比，本文基于L1范數(shù)最小化的稀疏陣綜合方法與凸優(yōu)化方法相結(jié)合的算法在提高某些方向圖輻射性能的同時(shí)可以有效減少陣列中單元的個(gè)數(shù)，從而有效簡(jiǎn)化饋電網(wǎng)絡(luò)。

1 算法應(yīng)用模型

1.1 遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖模型

這里以平面陣列模型為例介紹本文算法，考慮2M×2N元的矩形陣列，其中沿x軸布置2M行單元，沿y軸布置2N行單元。各陣元等間距排布，dx和dy分別表示沿x軸和y軸陣元間距，遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖這里表示為

(1)

a=[a1，1,a1，2,…,a2M，2N-1,a2M，2N],

w(u,v)=ejβ[(-M+1/2)du+(-N+1/2)du]

=ejβ[(-M+1/2)du+(-N+3/2)du],…,

=ejβ[(M-1/2)du+(N-3/2)du]

=ejβ[(M-1/2)du+(N-1/2)du]

遠(yuǎn)場(chǎng)仰、方位差波束輸出分別為

1.2 凸優(yōu)化方法

本文將凸優(yōu)化算法應(yīng)用于和、差波束方向圖綜合問(wèn)題，以期減少陣列中可變?cè)鲆娣糯笃骱蛦卧倲?shù)的同時(shí)提高方向圖性能，優(yōu)化問(wèn)題表述為

|w(u,v)as|≤ρs(u,v)(u,v)∈SLs,

|w(u,v)ad|≤ρd(u,v)(u,v)∈SLd,

(2)

這里，遠(yuǎn)場(chǎng)和、差波束方向圖|AFs/d(u,v)|2的主瓣SBs/d以逼近期望和、差波形ds/d(u,v)為目的，這里有d(u,v)∈R+，其中，s、d分別表示和、差波數(shù)。|AFs/d(u,v)|2與ds/d(u,v)之間的距離εs/d盡可能地縮小。副瓣部分(SB)的峰值電平應(yīng)該小于ρs(u,v)。式(2)中，控制和、差波束主瓣寬度的約束問(wèn)題為非凸函數(shù)。本節(jié)對(duì)以往凸優(yōu)化算法進(jìn)行改進(jìn)，引入雙變量的多凸優(yōu)化算法，通過(guò)循環(huán)逼近的多凸模型來(lái)求解控制主瓣寬度的非凸問(wèn)題，式(2)內(nèi)容轉(zhuǎn)化如下：

(3)

(4)

本節(jié)選擇文獻(xiàn)[16-19]中的基于迭代傅里葉技術(shù)獲得的滿足式(4)的陣元激勵(lì)權(quán)值作為迭代過(guò)程的初值。

1.3 迭代加權(quán)L1范數(shù)理論

本節(jié)將壓縮感知理論應(yīng)用于單脈沖天線和、差波束合成技術(shù)中。為使陣列中單元總數(shù)盡可能少，稀疏陣列的綜合問(wèn)題可表述為

(5)

式(5)為陣列中激勵(lì)值為0的單元數(shù)量。稀疏陣綜合的目的為使得陣列中單元數(shù)量最少化，即完成方向圖性能指標(biāo)的同時(shí)從等間距柵格的滿陣中選擇數(shù)量最少的單元。此問(wèn)題為L(zhǎng)0范數(shù)最小化綜合問(wèn)題，為NP-Hard困難問(wèn)題。為解決此問(wèn)題，利用重加權(quán)L1范數(shù)優(yōu)化算法完成設(shè)計(jì)目標(biāo)，可表述為

(6)

其中

和、差波束形成中共用陣元激勵(lì)的約束可表示為

(7)

式(7)是線性規(guī)劃問(wèn)題。在迭代過(guò)程中，未知變量減少數(shù)量為Ψ個(gè)。 在迭代過(guò)程中，上一步的封閉解將作為下一步迭代的初值。陣列天線和、差波束的綜合問(wèn)題在第n+1次迭代過(guò)程中激勵(lì)約束表述為

(8)

(9)

2 計(jì)算實(shí)例

為了驗(yàn)證本文提出的算法，本節(jié)選擇文獻(xiàn)[10]中凸優(yōu)化算法綜合得出的例1作為參考對(duì)比算例。

本節(jié)所有仿真驗(yàn)證均采用臺(tái)式計(jì)算機(jī)，硬件參數(shù)如下：處理器：Intel? CoreTMi5-6500T，RAM為12 GB；仿真軟件為MATLAB，版本為R2018a。式(8)中μ值選擇固定值0.001。

例1中，初始陣列選擇口徑為5λ×5λ的正方形平面陣，且各陣元等間距排布，沿x軸和y軸陣元間距均為0.5556λ。設(shè)兩列共用單元，位置分布在{m=1,…,10,n=1,10}，即這兩列單元在和、差波束形成過(guò)程中共用激勵(lì)。圖1和圖2給出了本文提出算法得出的三維遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖，相應(yīng)的陣元激勵(lì)與位置分布如圖3和圖4所示，僅畫(huà)出稀疏陣第三象限內(nèi)的陣元分布和激勵(lì)值。綜合得出和波束的方向性系數(shù)值為19.03 dB，方位差波束斜率值為[?AFdaz(u0,v0)/?u]|u=u0,v=v0= 22.14 dB。

圖1 和波束三維方向圖的二維投影

圖2 方位差波束三維方向圖的二維投影

圖3 和波束對(duì)應(yīng)激勵(lì)幅度

圖4 差波束對(duì)應(yīng)激勵(lì)幅度

由表1中可以看出，和波束副瓣區(qū)域最高電平為PSLs=-32.8 dB，方位差波束副瓣區(qū)域最高電平為PSLdaz=-22.9 dB。綜合后的和、差波束在u=0、v=0方向上的半功率波瓣寬度(Half-Power Beamwidth，簡(jiǎn)稱HPBW) 分別為HPBWPsu=0.27和HPBWsv=0.27，HPBWPdu=0.21和HPBWdv=0.27。與文獻(xiàn)[10]中LP算法綜合出的結(jié)果相比(如表1所示)，本文方法不僅實(shí)現(xiàn)了更低的最大副瓣電平(Peak Sidelobe,簡(jiǎn)稱PSL)，并且獲得了更窄的波束寬度。與文獻(xiàn)[10]中的設(shè)計(jì)相比，本設(shè)計(jì)中“開(kāi)”狀態(tài)的陣元數(shù)量在和、差波束兩種模式下分別減少了36% 和44%。此外，本設(shè)計(jì)中可變?cè)鲆娣糯笃?Variable Gain Amplifier，簡(jiǎn)稱VGA)數(shù)量節(jié)省了30%，同時(shí)陣列孔徑減少了23.5%。

表1 本文算法與文獻(xiàn)[10]中LP算法的性能對(duì)比

例2中，初始陣列選擇口徑為5λ×5λ的正方形平面陣，且各陣元等間距排布，沿x軸和y軸陣元間距均為0.5556λ。設(shè)兩列共用單元，位置分布在{m=1,…, 10,n=1, 10}，即這兩列單元在和、差波束形成過(guò)程中共用激勵(lì)。 圖5和圖6給出了本文提出算法得出的三維遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖，相應(yīng)的陣元激勵(lì)與位置分布如圖7和圖8所示，共用激勵(lì)用深黑色標(biāo)記。綜合得出和波束的方向性系數(shù)值為19.23 dB，方位差波束斜率值為[?AFdaz(u0,v0)/?u]|u=u0,v=v0= 23.05 dB。由表2中可以看出，和波束副瓣區(qū)域最高電平為PSLs=-21.5 dB，方位差波束副瓣區(qū)域最高電平為PSLdaz=-16.5 dB。綜合后的和、差波束在u=0、v=0方向上的HPBW分別為HPBWPsu=0.27、HPBWsv=0.21、HPBWPdu=0.18和HPBWdv=0.23。與文獻(xiàn)[10]中LP算法綜合出的結(jié)果相比(如表2所示)，本文方法在實(shí)現(xiàn)了相同的最大副瓣電平值的同時(shí)獲得了更窄的波束寬度。與文獻(xiàn)[10]中的設(shè)計(jì)相比，本設(shè)計(jì)中“開(kāi)”狀態(tài)的陣元數(shù)量在和、差波束兩種模式下分別減少了40%和44%。此外，本設(shè)計(jì)中VGA數(shù)量節(jié)省了45%。

圖6 方位差波束三維方向圖的二維投影

圖7 和波束對(duì)應(yīng)激勵(lì)幅度

3 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種采用凸優(yōu)化算法與壓縮感知理論相結(jié)合的和、差波束方向圖合成新方法，將控制和、差波束的主瓣寬度的非凸約束問(wèn)題轉(zhuǎn)化成凸約束問(wèn)題進(jìn)

圖8 差波束對(duì)應(yīng)激勵(lì)幅度

表2 本文算法與文獻(xiàn)[10]中LP算法的性能對(duì)比

行求解, 并結(jié)合壓縮理論用重加權(quán)L1范數(shù)優(yōu)化算法替代原先L0范數(shù)算法以完成陣元數(shù)量最小化的設(shè)計(jì)目標(biāo)。這一過(guò)程將非凸優(yōu)化模型轉(zhuǎn)換成凸優(yōu)化模型求解。本文提出的以降低饋電系統(tǒng)復(fù)雜度為目的設(shè)計(jì)可分為兩類，第1類是通過(guò)優(yōu)化使得和、差波束模式下的部分單元共用激勵(lì)，而第2類降低系統(tǒng)復(fù)雜度的方法是通過(guò)減少天線陣列中單元總數(shù)。本文算法將共用單元部分加權(quán)和單元級(jí)加權(quán)作為統(tǒng)一優(yōu)化目標(biāo)，以減少陣列中單元總數(shù)。不同方向圖要求的稀疏平面陣綜合結(jié)果表明，與現(xiàn)有的和、差波束優(yōu)化算法相比，本文算法具有很好的普適性，綜合得出的和、差方向圖性能更優(yōu)且所需的陣列單元總數(shù)、可變?cè)鲆娣糯笃骺倲?shù)均更少。