任意形狀固支板橫向振動(dòng)的邊界保角映射解法

袁運(yùn)博 李宏亮 劉洪達(dá) 郭宜斌 王東華 率志君

摘要：基于邊界保角映射法建立了任意形狀固支板橫向振動(dòng)特性分析的半解析方法。在極坐標(biāo)系下，以一般彈性薄板橫向振動(dòng)的位移解析函數(shù)為基礎(chǔ)，引入邊界保角映射的概念，將任意形狀板中面的外邊界線映射為映射平面內(nèi)的單位圓周線，在映射平面內(nèi)推導(dǎo)了任意形狀板橫向振動(dòng)轉(zhuǎn)角函數(shù)的統(tǒng)一表達(dá)式。根據(jù)固支邊界條件，在映射平面內(nèi)建立了用于確定任意形狀固支板橫向振動(dòng)固有頻率和模態(tài)振型的特征方程。橢圓板、矩形板和馬蹄形板3個(gè)算例分析結(jié)果與現(xiàn)有公開(kāi)發(fā)表結(jié)果及有限元結(jié)果的對(duì)比表明，所提方法能高精度地獲得任意形狀固支板橫向振動(dòng)的固有頻率和模態(tài)振型。

關(guān)鍵詞：橫向振動(dòng);任意形狀板;邊界保角映射法;固支邊界

中圖分類號(hào)：0326;0327文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：i004-4523（2020）05-0921-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.05.007

引言

彈性板結(jié)構(gòu)廣泛地應(yīng)用于船舶與海洋工程、航空航天工程、車輛工程和建筑與橋梁工程等眾多工程領(lǐng)域。常見(jiàn)的彈性板結(jié)構(gòu)除矩形和圓形外，還包含其他復(fù)雜形狀，如橢圓形和馬蹄形等。熟悉各種形狀彈性板的振動(dòng)特性是合理且正確地利用這些板結(jié)構(gòu)的前提條件。

彈性板的橫向振動(dòng)問(wèn)題自上世紀(jì)以來(lái)得到了廣泛的研究。chakraverty和Kumar分別回顧了近些年彈性板結(jié)構(gòu)橫向振動(dòng)方面的研究進(jìn)展。雖然關(guān)于彈性板結(jié)構(gòu)橫向振動(dòng)的研究眾多，但主要集中于矩形板和圓形板等簡(jiǎn)單形狀板，而針對(duì)任意形狀彈性板橫向振動(dòng)的研究相對(duì)較少。

有限元法和邊界元法是分析任意形狀板橫向振動(dòng)的一般化商業(yè)方法，有少數(shù)學(xué)者利用不同的數(shù)值方法研究了任意形狀彈性板橫向振動(dòng)問(wèn)題。Bucco等采用有限條法和撓度等值線法的結(jié)合獲得了圓環(huán)板的前兩階固有頻率和其他形狀板的基頻固有頻率。Geannakakes利用梁的特征多項(xiàng)式來(lái)表征板的位移函數(shù)，分別基于有限條法和瑞利一里茲法研究了任意形狀板的橫向振動(dòng)特性。Kang等提出了一種利用無(wú)量綱動(dòng)態(tài)影響函數(shù)法分析任意形狀板的橫向振動(dòng)特性的離散化方法，該方法采用與邊界元法相似的離散化方法，但是不需要插值函數(shù)，因此通過(guò)少量的數(shù)值計(jì)算，即可得到近似解。然而，Kang等指出當(dāng)選取的分析節(jié)點(diǎn)過(guò)多時(shí)，他們的方法可能存在系統(tǒng)矩陣病態(tài)的嚴(yán)重缺點(diǎn)。

雖然學(xué)者們提出了很多用于矩形板和圓板等簡(jiǎn)單形狀板橫向振動(dòng)特性研究的解析和半解析方法，如分離變量法、改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法、積分變換方法和辛疊加方法等。但是對(duì)于其他形狀更為復(fù)雜的彈性薄板，由于無(wú)論在極坐標(biāo)系、直角坐標(biāo)系，還是橢圓坐標(biāo)系下都難以根據(jù)邊界約束條件列寫(xiě)統(tǒng)一的控制方程，因此，針對(duì)任意形狀板橫向振動(dòng)特性的研究，主要為數(shù)值近似方法，如：有限條法、瑞利一里茲法和無(wú)量綱動(dòng)態(tài)影響函數(shù)法。另外，部分學(xué)者利用保角映射法與能量法或伽遼金法相結(jié)合的方法，研究了不同形狀板的橫向振動(dòng)特性。在這些文獻(xiàn)中，保角映射法僅被用于將復(fù)雜的形狀映射為簡(jiǎn)單形狀，而固有頻率仍需利用其他方法求解得到，如：伽遼金法、瑞利法和瑞利-里茲法，因此其本質(zhì)仍是數(shù)值近似方法。

針對(duì)目前對(duì)于任意形狀板橫向振動(dòng)的研究缺少解析和半解析方法的問(wèn)題;以及在極坐標(biāo)系、直角坐標(biāo)系和橢圓坐標(biāo)系下，難以根據(jù)邊界約束條件列寫(xiě)任意形狀板橫向振動(dòng)控制方程統(tǒng)一表達(dá)式的難題。本文借鑒經(jīng)典保角映射的概念，提出了一種基于邊界保角映射法的用于任意形狀固支板橫向振動(dòng)特性分析的半解析化方法。所提方法直接以任意形狀板橫向振動(dòng)在極坐標(biāo)系下的位移解析函數(shù)為出發(fā)點(diǎn)，從而可保證本文方法具有較高的求解精度。

1理論模型

1.1控制方程和橫向位移

表2給出了貝塞爾函數(shù)展開(kāi)截?cái)囗?xiàng)N=16時(shí)固支矩形板的前25階無(wú)量綱固有頻率Ω。由表中數(shù)據(jù)可知，本文方法計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[4]的結(jié)果及有限元分析結(jié)果吻合良好。與表1相似，表2中的偏差均為本文方法結(jié)果與有限元（ANSYS）結(jié)果之問(wèn)的偏差，對(duì)于本算例中的固支矩形板而言，前25階無(wú)量綱固有頻率Ω的最大偏差為-0.90%。

本文方法和有限元計(jì)算得到的固支矩形板前9階模態(tài)振型對(duì)比如圖6所示。由于本算例的矩形映射函數(shù)式（24）為具有一定截?cái)嗾`差的近似映射函數(shù)，導(dǎo)致由映射函數(shù)獲得的矩形的4個(gè)尖角處為小曲率半徑的弧線過(guò)渡，該現(xiàn)象可直觀地從圖6（a）中看出。在這種近似處理情況下，本文算法仍可高精度地獲得固支矩形板的固有頻率和振型，前25階固有頻率最大偏差為-0.90%;對(duì)比圖6（a）和（b）可可以發(fā)現(xiàn)，本文方法計(jì)算得到的前9階模態(tài)振型與有限元結(jié)果吻合良好。

理論上而言，為使由映射函數(shù)獲得的矩形的形狀與實(shí)際形狀吻合度更高，可以增加映射函數(shù)式（24）的項(xiàng)數(shù)。但是在實(shí)際計(jì)算中，在滿足一定精度的條件下，再增加映射函數(shù)的項(xiàng)數(shù)是沒(méi)有意義的，反而會(huì)增加計(jì)算時(shí)長(zhǎng)。

2.3馬蹄形板

表3給出了貝塞爾函數(shù)展開(kāi)截?cái)囗?xiàng)N=14時(shí)固支馬蹄形板的前25階無(wú)量綱固有頻率Ω。由于尚無(wú)公開(kāi)發(fā)表結(jié)果，本算例中，本文方法計(jì)算結(jié)果僅與有限元分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比分析可得兩種結(jié)果吻合良好。對(duì)于本算例中的固支馬蹄形板而言，前25階無(wú)量綱固有頻率Ω的最大偏差為-0.76%。

本文方法和有限元計(jì)算得到的固支矩形板前9階模態(tài)振型對(duì)比如圖8所示。與2.2節(jié)中矩形板算例相似，本算例中的馬蹄形板映射函數(shù)式（25）也是具有一定截?cái)嗾`差的近似映射函數(shù)。在這種近似處理情況下，本文算法仍可高精度地獲得固支馬蹄形板的固有頻率，前25階最大偏差為-0.76%。同時(shí)，對(duì)比圖8（a）和（b）發(fā)現(xiàn)，在近似映射函數(shù)式（25）條件下，本文方法計(jì)算獲得的前9階模態(tài)振型與有限元結(jié)果基本一致。

3結(jié)論

根據(jù)經(jīng)典保角映射的概念，提出了一種基于邊界保角映射法的用于任意形狀固支板橫向振動(dòng)特性分析的半解析化方法，通過(guò)橢圓板、矩形板和馬蹄形板3個(gè)算例分析，驗(yàn)證了本文方法的正確性和可靠性，并得到如下結(jié)論：

（1）難以在傳統(tǒng)直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系和橢圓坐標(biāo)系下給出統(tǒng)一數(shù)學(xué)函數(shù)表達(dá)式的任意形狀板的轉(zhuǎn)角，通過(guò)引入邊界保角映射，可在映射平面內(nèi)方便地給出。

（2）基于邊界保角映射建立的半解析化方法，可以精確地獲得固支橢圓板、固支矩形板和固支馬蹄形板橫向振動(dòng)的固有頻率和模態(tài)振型。本文方法獲得的3種板的前25階固有頻率與有限元結(jié)果之問(wèn)的最大偏差均小于1.00%，分別為-0.37%，-0.90%和-0.76%;本文方法獲得的這三種板的前9階振型與有限元得到的前9階振型均吻合良好。