基于鍵基近場動力學(xué)理論的單裂紋圓孔板沖擊破壞研究

劉 寧，胡夢凡，周 飛

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，南京210094)

巖石是隧道、礦山、鉆探等大型工程中的主要研究對象，研究其裂紋的起裂、擴(kuò)展與止裂的規(guī)律具有極其重要的意義。動態(tài)斷裂韌度是控制裂紋擴(kuò)展的主要參數(shù)之一，其數(shù)值對工程設(shè)計與研究具有重要價值[1?2]。

研究巖石動態(tài)斷裂行為常用爆炸沖擊加載[3]，落錘沖擊加載[4]，分離式霍普金森桿(SHPB)沖擊加載[5]等，其中分離式霍普金森桿加載目前被廣泛用來研究材料的動態(tài)斷裂行為。倪敏等[6]利用分離式霍普金森桿，采用實(shí)驗(yàn)-數(shù)值法與準(zhǔn)靜態(tài)法對比研究了單裂紋圓孔板(SCDC)的斷裂韌度，對裂紋動態(tài)擴(kuò)展過程研究較少。楊井瑞等[7]研究壓縮單裂紋圓孔板試樣，提出實(shí)驗(yàn)-數(shù)值-解析法解算試樣起裂韌度和擴(kuò)展韌度，并研究了試樣動態(tài)止裂問題。曹富等[8]研究受沖擊壓縮單裂紋圓孔板裂紋起裂、擴(kuò)展、止裂和二次起裂過程，用實(shí)驗(yàn)-數(shù)值-解析法確定起裂韌度、擴(kuò)展韌度、止裂韌度和二次起裂韌度。李煉等[9]采用霍普金森桿加載系統(tǒng)對偏心圓孔單裂紋圓盤的裂紋擴(kuò)展進(jìn)行試驗(yàn)，采用實(shí)驗(yàn)-數(shù)值-解析法得到動態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子，分析裂紋起裂、擴(kuò)展和止裂的全過程。Wang 等[10]提出單裂紋半圓試樣(SCSC)，進(jìn)行純I型和混合I/II 型巖石的動力斷裂實(shí)驗(yàn)，并用AUTODYN 軟件模擬裂紋擴(kuò)展行為。為了更好的觀測止裂情況，Wang 等[11]采用一種新的V 型底單裂紋半圓試樣(VBSCSC)，能有效抑制裂紋的擴(kuò)展，采用ABAQUS軟件計算了應(yīng)力強(qiáng)度因子，利用實(shí)驗(yàn)-數(shù)值法確定動態(tài)斷裂韌性。David 等[12]研究了透明材料在動態(tài)載荷作用下裂紋擴(kuò)展規(guī)律，采用XFEM 法模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果。Ai等[13]研究了巴西圓盤巖石試樣在霍普金森壓桿作用下裂紋擴(kuò)展規(guī)律，采用動態(tài)電阻應(yīng)變儀和高幀相機(jī)進(jìn)行測試，采用近場動力學(xué)方法進(jìn)行數(shù)值模擬，揭示了巖石材料在高應(yīng)變率載荷作用下的斷裂行為和機(jī)理。

傳統(tǒng)數(shù)值方法如有限元方法(FEM)、有限差分法(FDM)等，基于空間連續(xù)性與局部接觸作用假設(shè)建模，通過空間微分方程求解問題，但在處理裂紋擴(kuò)展、沖擊破壞等不連續(xù)問題時，還存在相當(dāng)大的困難[14]。近場動力學(xué)理論(Peridynamics,PD)由美國Sandia 國家實(shí)驗(yàn)室Silling 教授首次提出[15?16]，基于非局部作用思想建模，用空間積分方程來描述物質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，對于從連續(xù)到非連續(xù)、微觀到宏觀的力學(xué)行為具有統(tǒng)一的表述，數(shù)值上天然具有無網(wǎng)格屬性和不連續(xù)求解功能，在分析不連續(xù)問題時具有較大的優(yōu)勢[17?18]。在霍普金森桿沖擊單裂紋圓孔板研究中通常采用實(shí)驗(yàn)-數(shù)值法[6?9]，需先通過實(shí)驗(yàn)測得作用在試件上的加載力，再利用有限元程序計算得到試件的動態(tài)斷裂韌度。而本文采用鍵基近場動力學(xué)方法(Bond-based PD)建立霍普金森桿沖擊加載、試件多裂紋發(fā)展全過程近場動力學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)了一體化數(shù)值仿真，在裂紋模擬適用性和方法便捷性等方面均具有較大優(yōu)勢。

1 近場動力學(xué)理論

1.1 基本思想

如圖1所示，設(shè)在任意時刻t，空間域R中任一物質(zhì)點(diǎn)x與其周圍一定范圍δ(近場范圍)內(nèi)的任意其它物質(zhì)點(diǎn)之間存在本構(gòu)力函數(shù)f作用，根據(jù)牛頓第二定律可得近場動力學(xué)方法的運(yùn)動方程：

式中：u為物質(zhì)點(diǎn)位移；u¨ 為物質(zhì)點(diǎn)加速度；b為體力密度；ρ為材料密度；dV x′表示物質(zhì)點(diǎn)x′處的體積微元；f為物質(zhì)點(diǎn)x與x′之間本構(gòu)力函數(shù)，定義物質(zhì)點(diǎn)間相對位置ξ 及相對位移η 為Ω：

圖1 物質(zhì)點(diǎn)間相互作用關(guān)系Fig.1 Grid relationship in PD model

對于鍵基近場動力學(xué)模型，式(1)中物質(zhì)點(diǎn)間的本構(gòu)力函數(shù)f可以寫為：

式中，ω(ξ,η)為點(diǎn)對勢函數(shù)：

式中：c(ξ)表示微觀彈性模量；s表示物質(zhì)點(diǎn)對的伸長率。

式中，G0為材料的斷裂能。

引入物質(zhì)點(diǎn)對的破壞情況占比φ來表示此局部破壞水平：

對于均質(zhì)各向同性材料，將物質(zhì)點(diǎn)對勢能與傳統(tǒng)彈性力學(xué)應(yīng)變能等價，可得微觀彈性模量c表達(dá)式，對于本文試件沖擊壓縮二維平面應(yīng)力問題：

式中：E為彈性模量；ν表示泊松比。

霍普金森桿為大長徑比結(jié)構(gòu)，可簡化為一維PD模型研究，微觀彈性模量表達(dá)式為：

1.2 數(shù)值方法

將巖石板離散為物質(zhì)點(diǎn)，運(yùn)動方程式(1)的離散形式可表示為：

時間步長采用文獻(xiàn)[16]公式計算：

其中，cip=c(xp?xi)。

2 仿真模型

2.1 單裂紋圓孔板沖擊模型

根據(jù)文獻(xiàn)[6]分離式霍普金斯桿沖擊單裂紋圓孔板(SCDC)試驗(yàn)裝置，如圖2所示，建立單裂紋圓孔板沖擊破壞PD模型。試件彈性模量為17.67 GPa，密度為3055 kg/m3，幾何尺寸如圖3所示，試件左端面到圓心的距離L1=42 mm，右端面到圓心的距離L2=121 mm，試樣寬度w=80 mm，圓孔直徑D=15.5 mm。

圖2 霍普金森桿沖擊加載實(shí)驗(yàn)裝置Fig.2 Schematic view of the SHPB

圖3 單裂紋圓孔板試樣幾何形狀Fig.3 Geometric configuration of single cleavage drilled compression specimen

霍普金森壓桿直徑為D=100 mm，入射桿長為4500 mm，透射桿長為2500 mm，壓桿彈性模量E1=210 GPa，泊松比ν1=0.3，密度ρ=7850 kg/m3，可求得波在入射桿及透射桿中理論上的傳播速度：

應(yīng)力波從入射桿傳播至試樣需870μs。為了提高求解效率，入射桿及透射桿采用一維PD模型，SCDC采用二維PD模型，數(shù)值離散后一維桿模型節(jié)點(diǎn)間距?xH=0.5 mm，取其臨域半徑δ=2.2mm；二維模型離散后節(jié)點(diǎn)間距Δx=0.5 mm，臨域半徑δ2=1.65 mm，鍵臨界伸長率s0=0.0042。時間步長統(tǒng)一取Δt=2×10?7s。

2.2 碰撞模型

式中：A=(πD2)/4為壓桿的截面積；h為試件厚度。

同理可寫出試樣右端和透射桿之間的受力模型：

2.3 整形器模型

為了改善加載波形，優(yōu)化試樣受到的激勵信號，實(shí)驗(yàn)中采用波形整形器來過濾波形中的高頻信號，在進(jìn)行數(shù)值模擬時也需考慮整形器影響。通常采用銅作為波形整形器，F(xiàn)rew 等[20]給出了其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系：

其中，σ0=625 MPa，n=0.32，m=4.25，計算應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如圖4所示。卸載過程是彈性的，其彈性模量E=117 GPa。

圖4 銅的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線Fig.4 Stress-strain curve of copper

沖擊部分各部件的尺寸和材料參數(shù)如表1所示。

表1 材料參數(shù)Table 1 List of Material Properties

在碰撞過程中整形器發(fā)生形變，其橫截面積可以表示為：

式中：L0為整形器初始長度；A0為整形器初始截面積；L為變形后的長度，等效應(yīng)力隨橫截面尺寸的改變而改變：

圖5給出了不同撞擊速度下應(yīng)變波形的曲線圖，從圖中可以看出撞擊速度越大，應(yīng)變峰值越高，到達(dá)峰值所用時間越短，采用整形器模型所得的波形曲線較平滑，波形得到明顯改善。

圖5 不同撞擊速度波形圖Fig.5 Strain curvesof different impact velocities

3 數(shù)值仿真結(jié)果及分析

3.1 不同撞擊速度裂紋擴(kuò)展過程

試件預(yù)制裂紋長度為25 mm，采用不同的加載速度撞擊，研究試件裂紋擴(kuò)展過程和破壞模式。當(dāng)撞擊速度較小時，主裂紋沿著預(yù)制裂紋方向擴(kuò)展將巖石一分為二，應(yīng)變能集中于裂紋尖端以及中心圓孔上下兩端，隨著主裂紋擴(kuò)展完成后，次生裂紋逐漸產(chǎn)生，從中心圓孔上下兩端萌發(fā)，逐漸向上下貫穿將巖石分為四片，如圖6所示；當(dāng)撞擊速度較大時，主裂紋仍然沿預(yù)制裂紋方向迅速擴(kuò)展，應(yīng)力波傳播至右端面反射回與入射波相互作用，導(dǎo)致圓孔左上部分與右下部分應(yīng)力集中，最終產(chǎn)生剪切破壞形成U 型裂紋，與此同時主裂紋停止擴(kuò)展(止裂)，之后主裂紋起裂繼續(xù)擴(kuò)展直達(dá)右端面，主裂紋擴(kuò)展完成后次生裂紋逐漸產(chǎn)生，如圖7所示。圖8為數(shù)值模擬裂紋擴(kuò)展結(jié)果與文獻(xiàn)[6]實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對比，二者具有較好的一致性。

3.2 試樣端面受力分析

預(yù)制裂紋長度為10 mm，當(dāng)撞擊速度為9.43 m/s時，數(shù)值模擬所得入射桿與透射桿中應(yīng)變波如圖9所示，和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好[6]。

圖10表示撞擊速度為9.43 m/s時試件左右端面所受應(yīng)力隨時間變化的云圖?？拷鼒A孔的左端面，受到?jīng)_擊后端面受力逐漸增加，且由于中間部分向內(nèi)凹陷，中間部分受力較兩端小，當(dāng)試樣裂紋開始擴(kuò)展時，端面受力極其不均勻，受力狀況呈V 形分布，中間局部區(qū)域甚至處于不受力狀態(tài)；遠(yuǎn)離圓孔的右端面，在前期受力分布相對均勻，由于裂紋不斷擴(kuò)展，試樣逐漸被分為兩塊，中間部分向會內(nèi)凹陷，受力較小。

對比文獻(xiàn)[6]采用疊加法進(jìn)行試樣端面的平面加載情況，本文模型得到的裂紋起裂后的端面受力和形變分布極不均，充分反映了試件沖擊破壞期間復(fù)雜的動態(tài)響應(yīng)過程。

3.3 裂紋擴(kuò)展過程分析

對SCDC 試樣主裂紋的擴(kuò)展情況進(jìn)行研究，對比試驗(yàn)得到的起、止裂時間及裂紋的擴(kuò)展特點(diǎn)，分析SCDC的起止裂規(guī)律。

圖6 沖擊速度為6 m/s時試件裂紋擴(kuò)展過程Fig.6 Crack propagation contour for impact velocity of 6 m/s

圖7 沖擊速度為12.5 m/s時試件裂紋擴(kuò)展過程Fig.7 Crack propagation contour for impact velocity of 12.5 m/s

圖8 數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比[6]Fig.8 Comparison of the numerical results against the experiment results[6]

圖9 入射桿與透射桿上應(yīng)變波信號Fig.9 Comparison of the strain signals between the incident bar and the transmission bar

圖11與圖12給出了撞擊速度為9.43 m/s時裂紋的擴(kuò)展長度、擴(kuò)展速度隨時間變化情況。預(yù)制裂紋在973μs時起裂，然后迅速擴(kuò)展，中途會出現(xiàn)止裂現(xiàn)象，在止裂前擴(kuò)展速度會逐漸下降。在1164μs時出現(xiàn)二次起裂，裂紋擴(kuò)展速度瞬間增加，而且二次起裂后的擴(kuò)展速度較第一次擴(kuò)展速度大，擴(kuò)展速度處于不穩(wěn)定狀態(tài)。裂紋尖端的時程曲線與實(shí)驗(yàn)吻合較好。

為了研究裂紋擴(kuò)展過程與撞擊速度的關(guān)系，圖13給出了不同撞擊速度下裂紋擴(kuò)展長度時間曲線，可見裂紋擴(kuò)展都經(jīng)歷了起裂-擴(kuò)展-止裂-二次起裂的全過程，撞擊速度越大，起裂時間越短，第一次止裂時裂紋擴(kuò)展的長度更長；當(dāng)撞擊速度較低時，裂紋會產(chǎn)生多次止裂現(xiàn)象，第一次加載時裂紋擴(kuò)展一段距離后止裂，試樣獲得的能量不足以使裂紋發(fā)生二次起裂，等到應(yīng)力波在入射桿中傳播一個來回后再次加載，試樣得到足夠的能量才能導(dǎo)致二次起裂，因此裂紋會擴(kuò)展較長的時間(≈1680μs)。

圖10 試樣端面受力分布(v0=9.43 m/s)Fig.10 Stresscontoursof the left and the right end surfaces(v0=9.43 m/s)

圖11 裂紋擴(kuò)展長度曲線Fig.11 Curve of crack length

圖12 裂紋擴(kuò)展速度曲線Fig.12 Curveof crack velocity

圖13 不同撞擊速度下裂紋擴(kuò)展情況Fig.13 Crack growing comparison ofdifferent impact velocities

4 動態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子計算

通過PD理論計算J積分的方法已有報道[21?23]，對于鍵基PD理論，采用Hu 等[22]提出了裂紋尖端J積分方法：

為了驗(yàn)證本文動態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度計算結(jié)果的合理性，首先對經(jīng)典Chen 的問題進(jìn)行了分析，結(jié)果如圖14所示，與Murti 等[24]的求解結(jié)果進(jìn)行對比，采用PD方法計算的動態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子與其吻合較好。因此本方法可用于SCDC模型的應(yīng)力強(qiáng)度因子計算。

圖15給出了撞擊速度為7 m/s時試件動態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子曲線。由圖13可知，裂紋初始起裂時間為1000μs，此時動態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子為2.9 MPa?m1/2，二次起裂時間為1147μs，對應(yīng)的動態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子為3.24 MPa?m1/2。在裂紋擴(kuò)展的時候，能量釋放，裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子大小逐漸下降，直至裂紋止裂后，裂紋尖端能量逐漸積累，其應(yīng)力強(qiáng)度因子大小逐漸增加，直至超過二次起裂韌度后再次起裂。

進(jìn)一步計算了不同撞擊速度下裂紋的起裂韌度，如圖16所示，可以看出，試件動態(tài)起裂韌度隨撞擊速度的增加而增大。

圖14 動態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子算例結(jié)果對比[24]Fig.14 Calculated dynamic stress intensity factors[24]

圖15 試件動態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子計算曲線Fig.15 The curve of the dynamic stress intensity factor

圖16 不同撞擊速度下的動態(tài)起裂韌度Fig.16 Crack initiation toughnessunder different impact velocities

5 結(jié)論

本文建立了分離式霍普金森桿沖擊單裂紋圓孔板(SCDC)近場動力學(xué)模型，模擬了試件動態(tài)斷裂全過程，獲得了裂紋擴(kuò)展模式和發(fā)展規(guī)律，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好。

(1)受圓孔影響，SCDC試樣端面受力不均勻，在裂紋擴(kuò)展時呈現(xiàn)V 形分布。

(2)SCDC試樣沖擊破壞過程中，裂紋擴(kuò)展經(jīng)歷了起裂-擴(kuò)展-止裂-二次起裂的復(fù)雜過程。

(3)加載速度較小時，裂紋呈現(xiàn)十字形，當(dāng)加載速度較大時，圓孔與左端面之間出現(xiàn)剪切破壞，呈現(xiàn)U 形裂紋。

(4)加載速度越大，起裂韌度越大。

本文方法除了可模擬單裂紋圓孔板破壞過程，對脆性材料雙裂紋圓孔板、圓盤沖擊、預(yù)制裂紋三點(diǎn)簡支梁、Kalthoff-Winkler 模型等經(jīng)典沖擊破壞問題的裂紋起裂、擴(kuò)展、分叉均有較好的模擬精度，相比傳統(tǒng)數(shù)值方法具有明顯優(yōu)勢，可推廣應(yīng)用于更廣泛的工程斷裂問題研究。