基于“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”下的教學(xué)實(shí)施
——以橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程為例

文∣王伯龍

一、引言

2007年4月，史寧中教授在寧波舉行的數(shù)學(xué)教育高級(jí)研修班的報(bào)告中提出，要把數(shù)學(xué)教學(xué)中的“雙基”發(fā)展為“四基”，即除了“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)”和“數(shù)學(xué)基本技能”之外，要加上“數(shù)學(xué)基本思想”以及“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》也把培養(yǎng)學(xué)生的“雙基”轉(zhuǎn)向了“四基”?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》將“四基”納入高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，并強(qiáng)調(diào)指出，“四基”是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的沃土，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效載體，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生理解基礎(chǔ)知識(shí)，掌握基本技能，感悟數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的不斷提升。

何謂數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)？目前也沒有嚴(yán)格的界定。張奠宙教授指出，所謂數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是指在數(shù)學(xué)目標(biāo)的引導(dǎo)下，通過對(duì)具體事物進(jìn)行實(shí)際操作、考查和思考,從感性向理性飛躍時(shí)所形成的認(rèn)識(shí)。鄭毓信教授又指出，“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生在積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中，內(nèi)化了的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能與情感體驗(yàn)”。由此可見，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是在課程目標(biāo)的引導(dǎo)下，從數(shù)學(xué)基本活動(dòng)的過程出發(fā)，通過數(shù)學(xué)歸納和演繹，嘗試由特殊情形猜想一般結(jié)論，并試圖驗(yàn)證或證明的自然思考過程，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲取的、經(jīng)得起推敲的、沉積的感悟體驗(yàn)。

數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)不一樣，基礎(chǔ)知識(shí)是以結(jié)果的形式呈現(xiàn)，經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)的不同之處在于經(jīng)驗(yàn)是主體經(jīng)過自身實(shí)踐得到的體驗(yàn)，知識(shí)是經(jīng)歷學(xué)習(xí)之后得到的結(jié)果。數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和基本技能不同，技能是在大量訓(xùn)練之后順利完成工作任務(wù)的方式，而所有數(shù)學(xué)活動(dòng)都能夠讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中得到必要的經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不同于數(shù)學(xué)思想，而思想本質(zhì)上是方法指導(dǎo)，經(jīng)驗(yàn)則是鋪架在基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法之間的橋梁。由此可見，“四基”的落實(shí)離不開數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生只有在具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，親身經(jīng)歷觀察、實(shí)踐、思考、體驗(yàn)等過程才能有效地落實(shí)。有研究者將其關(guān)系用圖1來表示。

圖1

二、教學(xué)分析

以人民教育出版社出版的高中數(shù)學(xué)A版“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”為例，利用學(xué)生已有圓的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)及經(jīng)過觀察、操作、猜想、歸納所獲得的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)對(duì)教材“再度開發(fā)”。結(jié)合教學(xué)實(shí)際，充分考慮學(xué)生的現(xiàn)實(shí)水平和實(shí)際需要，挑選他們認(rèn)為最合適的材料，對(duì)這些材料進(jìn)行一定的處理與加工，包括適度增刪、調(diào)整等；更靈活、有效地使用教材，使教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)活動(dòng)最貼近學(xué)生的實(shí)際。[5]

(一)教材編寫欠妥分析

“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”一節(jié)教材編寫以橢圓定義的發(fā)現(xiàn)—橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立—橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的運(yùn)用為線索。其中，橢圓定義的發(fā)現(xiàn)環(huán)節(jié)以探究?jī)?nèi)容展開，但是我們覺得教材探究?jī)?nèi)容的設(shè)置對(duì)橢圓定義的引入有欠妥之處。

教材對(duì)橢圓定義的引入為：“把細(xì)繩的兩端拉開一段距離，移動(dòng)筆尖的過程中，細(xì)繩的長(zhǎng)度保持不變，即筆尖到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)。”圍繞這個(gè)方法產(chǎn)生許多教學(xué)設(shè)計(jì)?；蚴亲寣W(xué)生按教材上的敘述方法，動(dòng)手畫出橢圓，或是用課件演示，按定義畫出橢圓，但定義是怎樣想到的？?jī)蓚€(gè)定點(diǎn)從何而來？似乎是“魔術(shù)師的帽子里突然跳出一只兔子”，無法理解[6]。因此，橢圓定義產(chǎn)生的問題情境(探究?jī)?nèi)容)既不能充分反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)，不能體現(xiàn)數(shù)學(xué)邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，也不利于學(xué)生自主探究、直觀理解。

(二)重置情境，再度開發(fā)——橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)設(shè)計(jì)

1.重構(gòu)情境，引入課題

多媒體展示圖2、圖3。

圖2

圖3

問題1：請(qǐng)同學(xué)們觀察生活中的圖2、圖3，你能說出它們的大致形狀嗎？

問題2：大家還能舉一些生活中見到的類似形狀的例子嗎？

設(shè)計(jì)意圖：利用學(xué)生在實(shí)際生活中已獲得的經(jīng)驗(yàn)，通過生活中的圖案進(jìn)一步增強(qiáng)對(duì)橢圓形狀的感性認(rèn)識(shí)，使學(xué)生感受到生活中處處有橢圓。

2. 展示問題，探索定義

問題3：老師這里有一個(gè)握力器模型，你能給大家演示一下如何將它變成橢圓嗎？

學(xué)生活動(dòng)：(演示)擠壓或拉伸，圓變成橢圓。

設(shè)計(jì)意圖：借助于學(xué)生已有圓的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，通過動(dòng)手操作，感受橢圓是圓經(jīng)過擠壓或拉伸而形成的，使得學(xué)生對(duì)橢圓的認(rèn)識(shí)更深入，從中獲取新的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：橢圓是由圓經(jīng)過伸縮變換形成的。“伸縮變換”這一知識(shí)點(diǎn)學(xué)生在三角函數(shù)內(nèi)容中已學(xué)過。

師：把一個(gè)圓均勻壓縮(或拉伸)后，感覺變成了橢圓，那么它到底是不是橢圓呢？請(qǐng)大家探究下列問題。

問題4：如圖4，在圓x2+y2=16上任取一點(diǎn)P，過P作x軸的垂線段PD，D為垂足。當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程是什么？你能猜想出點(diǎn)M的軌跡是什么嗎？

圖4

【師生活動(dòng)】求動(dòng)點(diǎn)軌跡問題，學(xué)生在 “曲線與方程”一節(jié)中已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程困難不大。經(jīng)過思考，大部分學(xué)生有了結(jié)果，得出點(diǎn)M的軌跡方程是x2+4y2=16，但軌跡是什么圖形，學(xué)生無法想象。教師用“幾何畫板”軟件演示，讓點(diǎn)P繞圓周運(yùn)動(dòng)，線段PD的中點(diǎn)M(設(shè)置成追蹤點(diǎn))所形成軌跡的形狀(如圖5)，讓學(xué)生觀察,直觀感知。

圖5

師：圓的定義是平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，即在圓的定義中有一個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)定長(zhǎng)。那么，橢圓能否通過定點(diǎn)、定長(zhǎng)來定義？

給學(xué)生留足思考的時(shí)間，留下思考的機(jī)會(huì)，讓他們思考交流、合作探究。

師追問：定義橢圓需要幾個(gè)定點(diǎn)？有沒有定長(zhǎng)？

師生活動(dòng)：部分學(xué)生猜想是兩個(gè)定點(diǎn)。教師用“幾何畫板”演示，讓點(diǎn)P沿著圓的半徑PO滑到點(diǎn)M的過程中，圓心O沿著x軸向兩邊分別滑向點(diǎn)F1，F(xiàn)2(如圖6)，半徑PO滑到MF1，MF2的位置。

圖6

問題5：請(qǐng)學(xué)生思考，教師剛才的演示中，有什么新發(fā)現(xiàn)？

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察演示過程，結(jié)合圖形思考，觀察到有兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且|MF1|+|MF2|=4×2=8(定值)。

問題6：學(xué)生發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M在圖6的位置時(shí)，有|MF1|+|MF2|=8。那么，點(diǎn)M在橢圓周上其他位置是否也有|MF1|+|MF2|=8(定值)呢？

教師用“幾何畫板”演示：讓點(diǎn)P沿著圓周徐徐而動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)M也沿著橢圓周運(yùn)動(dòng)，線段MF1和MF2的長(zhǎng)度隨著點(diǎn)M的位置的變化而改變，但始終有|MF1|+|MF2|=8。即“橢圓周上任意一點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和始終等于8”。讓學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)格的論證。

設(shè)計(jì)意圖：教師利用“幾何畫板”的演示，借助學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，通過設(shè)置“問題串”對(duì)特例的探究，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、交流、操作、猜想、驗(yàn)證等體驗(yàn)活動(dòng)，對(duì)橢圓的形成從感性認(rèn)識(shí)的層次上升到理性認(rèn)識(shí)的層次，通過參與數(shù)學(xué)基本活動(dòng)，獲取橢圓定義初步形成的基本經(jīng)驗(yàn)，為自主探究橢圓定義及建立標(biāo)準(zhǔn)方程儲(chǔ)備了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握了基本技能，感悟了數(shù)學(xué)基本思想，積累了新的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

(三)歸納提升，形成定義

問題7：通過上面特例的探索，你能類比，從特殊到一般的歸納，給橢圓下個(gè)定義嗎？

學(xué)生嘗試給出橢圓的定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于定長(zhǎng)(大于兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2間的距離)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。

教師追問：為什么要在括號(hào)內(nèi)加上“大于兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2間的距離”呢？

學(xué)生思考討論，得出結(jié)論。如果定長(zhǎng)等于兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2間的距離，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2；定長(zhǎng)小于兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2間的距離，不成軌跡。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生從特例的研究中獲取數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。通過類比，從特殊到一般的歸納、提升、辨析，建構(gòu)得到橢圓的定義，使橢圓定義的形成自然、水到渠成。同時(shí)提升學(xué)生類比和歸納的數(shù)學(xué)能力。

(四)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，理解定義

問題8：老師手中有一根定長(zhǎng)的細(xì)繩，你能利用橢圓的定義畫出一個(gè)橢圓嗎？

學(xué)生嘗試畫橢圓，先在黑板上取兩個(gè)定點(diǎn)，再把細(xì)繩的兩端固定在兩個(gè)定點(diǎn)上，然后用粉筆拉緊細(xì)繩，移動(dòng)粉筆的過程就畫出一個(gè)橢圓。

設(shè)計(jì)意圖：動(dòng)手實(shí)驗(yàn)是新課程倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)方法之一。學(xué)生通過動(dòng)手操作，進(jìn)一步理解橢圓的定義。

(五)類比特例，建立方程

師：下面我們通過上面研究特例的思想方法，嘗試建立橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。請(qǐng)大家探究下列更一般的問題。

教師追問：它是橢圓的方程嗎？我們?nèi)绾稳ヲ?yàn)證？

學(xué)生經(jīng)過思考，類比研究問題5所獲得的經(jīng)驗(yàn)，只需驗(yàn)證方程所表示曲線上任一點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離等于常數(shù)2a(大于|F1F2|)即可，即|MF1|+|MF2|=2a。這個(gè)式子的驗(yàn)證學(xué)生完全可以借助于研究問題6的方法和思路，輕松搞定。

教師追問：你能用同樣的方法研究焦點(diǎn)在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過研究問題4和問題5所獲得基本經(jīng)驗(yàn)和已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，自主探究一般情形下的軌跡方程，進(jìn)一步感受橢圓是圓經(jīng)過坐標(biāo)壓縮變換得來的，橢圓方程的建立可以經(jīng)過圓方程實(shí)施坐標(biāo)變換，避免了教材用兩次平方化簡(jiǎn)的困惑。

(六)應(yīng)用新知，提升能力

請(qǐng)同學(xué)們應(yīng)用本節(jié)課所獲得的知識(shí)，解決問題。(1)如果點(diǎn)M(x,y)在運(yùn)動(dòng)過程中，總滿足關(guān)系式

圖7

設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)化學(xué)生對(duì)橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，通過學(xué)生思考和練習(xí)，總結(jié)所學(xué)知識(shí)，提煉研究問題的思想方法，進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)研究數(shù)學(xué)概念的基本方法，讓學(xué)生在學(xué)會(huì)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，學(xué)會(huì)研究問題的方法和技能，積累解決問題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

三、總結(jié)

在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)?zāi)芴嵘龑W(xué)生思維的活躍度，只有關(guān)注數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得，才能在數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的過程性，才能使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的過程中積累新的經(jīng)驗(yàn)，在積累經(jīng)驗(yàn)的過程中提煉數(shù)學(xué)思想方法。本設(shè)計(jì)改變了教材原有的編排順序，將橢圓定義后的例題進(jìn)行了改編，作為探索的主線，從學(xué)生已有圓的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，設(shè)置合適的問題串，使學(xué)生親身經(jīng)歷觀察、操作、探究、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)，獲取新的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，最后利用已獲得的經(jīng)驗(yàn)從特殊到一般，自主歸納出橢圓的定義，建立橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，使得新知識(shí)的呼出自然流淌。在整個(gè)教學(xué)過程中，教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用得到了充分的體現(xiàn)，同時(shí)，也注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透，灌注了學(xué)數(shù)學(xué)就是利用活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)做數(shù)學(xué)的理念，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

本文系寧夏第五屆基礎(chǔ)教育教學(xué)“高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的實(shí)踐研究”(JXKT-ZS-05-071)的研究成果。