如何提高高中學(xué)困生數(shù)學(xué)素養(yǎng)
——以《等比數(shù)列前n 項(xiàng)和》為例

廣東省中山市小欖中學(xué) 吳銀軍

由于各種因素，我校學(xué)生整體數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)普遍不是很理想。本人曾在全校上了一節(jié)《等比數(shù)列前 項(xiàng)和》的公開(kāi)課，環(huán)節(jié)如下：

引入：小欖中學(xué)某同學(xué)A 大學(xué)畢業(yè)后回家繼承家業(yè)，由于公司管理不善，陷入了對(duì)資本投資的迫切需要，因此找到了做風(fēng)險(xiǎn)資本的同學(xué)B。同學(xué)B 答應(yīng)了A 的請(qǐng)求：“行！我按月投你公司，每期投資100 萬(wàn)元，時(shí)間為3 年，但作為回報(bào)，你必須從投資的第一個(gè)月返還1 元，第二個(gè)月再返還2 元，第三個(gè)月返還4 元……也就是說(shuō)，月收益是前一個(gè)月的兩倍。A 同學(xué)聽(tīng)了，心里打起了小算盤，同學(xué)B上學(xué)時(shí)讀書就比我用功，成績(jī)也比我好，我該簽這個(gè)合同嗎？

追問(wèn)1：A 同學(xué)這份合同是否能簽？

追問(wèn)2：如果能簽，說(shuō)明原因；不能簽，闡述理由。

環(huán)節(jié)一：學(xué)生分組討論，算出投資的總額，嘗試去計(jì)算回報(bào)的總額，從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

環(huán)節(jié)二：總結(jié)歸納，形成方法，提煉思想。老師展示，投資的總額實(shí)際上是一個(gè)等差數(shù)列求和，回報(bào)的總額是等比數(shù)列求和。

追問(wèn)3：每個(gè)月投資的金額是否可以看成一個(gè)等比數(shù)列中的每一項(xiàng)？總額是否為等比數(shù)列求和？如果是，那公比又是多少？

引導(dǎo)學(xué)生去思考：非零常數(shù)數(shù)列也是一個(gè)等比數(shù)列，其公比為1，那么前 項(xiàng)和 ，如果公比不是1，則前 項(xiàng)和公式又怎么推導(dǎo)？一步一步引導(dǎo)學(xué)生去思考，去解決問(wèn)題……

本節(jié)課設(shè)置“A 同學(xué)與B 同學(xué)的投資問(wèn)題”，在解決問(wèn)題的過(guò)程中找到解決問(wèn)題的策略，滲透基本的數(shù)學(xué)思想和方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。解決新問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)其實(shí)就是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，也是思維經(jīng)驗(yàn)，更為重要的是數(shù)學(xué)活動(dòng)中的思維體驗(yàn)?？梢?jiàn)，“投資問(wèn)題”并非在單純地解決“等比數(shù)列前n項(xiàng)和”的問(wèn)題，它有更深層次的作用和意義。

從“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”角度來(lái)看，第一是此基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是模擬舉例身邊的案例；第二是在特定數(shù)學(xué)活動(dòng)中積累的；第三，基礎(chǔ)活動(dòng)的核心是如何思考的經(jīng)驗(yàn)；最后，幫助學(xué)生建立自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)直覺(jué)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維的方式思考。

那么，本節(jié)課這樣處理的“核心素養(yǎng)”有哪些呢？我認(rèn)為主要包括以下幾點(diǎn)：（1）數(shù)學(xué)抽象。學(xué)生通過(guò)身邊的案例形成具體數(shù)學(xué)概念，以培養(yǎng)學(xué)生從抽象到具體的基本數(shù)學(xué)思想和方法。（2）邏輯推理。理清結(jié)構(gòu)，理解“公比為1 的等比數(shù)列”和“公比不是1 的等比數(shù)列”公式的結(jié)構(gòu)。通過(guò)對(duì)公式推導(dǎo)的過(guò)程，掌握推理的基本形式，構(gòu)建命題體系。（3）數(shù)學(xué)建模。體會(huì)問(wèn)題的本質(zhì)，對(duì)“實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建?！钡母形?，從而優(yōu)化問(wèn)題的本質(zhì)和完善數(shù)學(xué)模型。（4）運(yùn)算能力。體會(huì)推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的具體方法和處理數(shù)據(jù)的策略，了解操作對(duì)象，掌握操作規(guī)程，探索操作思路，設(shè)計(jì)操作程序。（5）直觀想象。在整個(gè)建模過(guò)程中，利用模型描述數(shù)學(xué)問(wèn)題和理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用模型描述和理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，使用模型來(lái)探索和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。（6）數(shù)據(jù)分析。在定義形成后，回到開(kāi)始提出的問(wèn)題，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到最優(yōu)化策略，進(jìn)行知識(shí)構(gòu)建。

思考：怎樣來(lái)設(shè)計(jì)這堂課才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高學(xué)困生的核心素養(yǎng)？

“數(shù)學(xué)是一種再創(chuàng)造的活動(dòng)”，根據(jù)荷蘭著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾的教育思想，我們發(fā)現(xiàn)：

1.數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)實(shí)際是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，數(shù)學(xué)活動(dòng)的主要特點(diǎn)是“數(shù)學(xué)化”，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上在數(shù)學(xué)活動(dòng)中逐步形成的，并貫穿在整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中。

2.數(shù)學(xué)素養(yǎng)本身有較高的相關(guān)性，設(shè)計(jì)綜合性。開(kāi)放性的數(shù)學(xué)氛圍是培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效途徑之一，最重要的教學(xué)原理是“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”。

3.數(shù)學(xué)素養(yǎng)是按照學(xué)生基礎(chǔ)能力而逐步提高，不同的人在數(shù)學(xué)素養(yǎng)上的特點(diǎn)也不一樣，學(xué)習(xí)過(guò)程是從不同層面構(gòu)建的，各個(gè)層次成為不連續(xù)性的決定因素；學(xué)習(xí)過(guò)程的階段與從一個(gè)層次到另一個(gè)層次的教學(xué)有關(guān)，即引導(dǎo)學(xué)生在更高層次上對(duì)較低水平活動(dòng)進(jìn)行反思。

這三個(gè)方面是相互聯(lián)系和相互依存的，與傳統(tǒng)教學(xué)相比，更重視過(guò)程，尋求教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)的統(tǒng)一。所以，教學(xué)設(shè)計(jì)力求突出如下三點(diǎn)：第一，體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)；第二，兼具作為學(xué)習(xí)起點(diǎn)的數(shù)學(xué)活動(dòng)以及后續(xù)提高水平的數(shù)學(xué)活動(dòng)；最后，設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)反映在較低水平的數(shù)學(xué)活動(dòng)，以幫助學(xué)生達(dá)到更高水平的飛躍。

回顧總結(jié)：在教學(xué)過(guò)程中，教師要把握教學(xué)的基本目標(biāo)和要求，密切關(guān)注學(xué)生的思考過(guò)程，使得每一個(gè)學(xué)生在自身的基礎(chǔ)上都有所發(fā)展，從實(shí)際問(wèn)題到抽象思維，層層深入，經(jīng)歷提出問(wèn)題、解決問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和建構(gòu)模型全過(guò)程，感受知識(shí)形成的過(guò)程和規(guī)律。

總之，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)必須以有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)為指導(dǎo)，親身實(shí)踐、經(jīng)歷及思考，從而在感性知識(shí)上升到理性知識(shí)的過(guò)程中完成數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累。作為一線數(shù)學(xué)老師，我們應(yīng)該從學(xué)生終身發(fā)展的角度出發(fā)，在教學(xué)中開(kāi)展一切有意義的數(shù)學(xué)活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。