借幾何直觀之力，促數(shù)學(xué)思考理解

福建省廈門市高殿中心小學(xué) 林素琴

幾何直觀不僅是學(xué)習(xí)空間幾何知識(shí)的重要手段，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域知識(shí)的重要方法。依據(jù)小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特征，在教學(xué)中我們應(yīng)善于利用幾何直觀，以調(diào)動(dòng)學(xué)生的各類感官參與教學(xué)活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生積極思考，對(duì)事物的表象獲得感性認(rèn)識(shí)，并在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上理解數(shù)學(xué)概念和算理，厘清公式的推導(dǎo)過程和數(shù)量關(guān)系。

一、化抽象為直觀，幫助學(xué)生理解算理

隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，在計(jì)算教學(xué)中，教師越來越清楚地意識(shí)到要提高學(xué)生的計(jì)算能力，不僅要讓學(xué)生熟練掌握算法，更重要的是要讓學(xué)生透徹地理解算理。但由于算理具有抽象性，對(duì)于以形象思維為主的小學(xué)生來說，要真正理解算理有一定的難度。因此，在教學(xué)中，我們應(yīng)遵照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，借助小棒等輔助實(shí)物進(jìn)行直觀操作，使學(xué)生對(duì)事物的表象獲得感性認(rèn)識(shí)，進(jìn)而理解算理。如“兩位數(shù)乘一位數(shù)”的教學(xué)環(huán)節(jié)：首先，實(shí)物操作，積累表象。一套連環(huán)畫有16本，3 套連環(huán)畫共有多少本？（列式：16×3）讓學(xué)生用手中的小棒擺一擺。（1）怎么拿？先拿一捆（每捆10 根），再數(shù)6根表示一套連環(huán)畫，像這樣拿出3 套。（2）怎么擺？3 套里有3 個(gè)6 根是3×6=18 根，還有3 個(gè)10 根是3×10=30 根，18+30=48。其次，豎式計(jì)算，數(shù)形結(jié)合。（1）讓學(xué)生嘗試用豎式計(jì)算。（2）結(jié)合剛剛的操作，說一說豎式計(jì)算的過程。（3）理解算理，表達(dá)過程。

教學(xué)時(shí)，通過學(xué)生實(shí)物操作、黑板上直觀演示，幫助學(xué)生理解了3 乘個(gè)位上的6 表示3 個(gè)6 根，3 乘十位上的1 表示3 個(gè)10 根即30，所以這個(gè)3 要寫在十位上，為后面的豎式計(jì)算積累表象經(jīng)驗(yàn)。再通過數(shù)形結(jié)合讓學(xué)生將抽象的計(jì)算過程融入具體的擺小棒情境中，將10 根小棒圈起來捆成1 捆的這個(gè)過程，將進(jìn)位1 進(jìn)行了形象直觀的呈現(xiàn)，學(xué)生印象深刻，輕松地理解了個(gè)位乘得的積滿十要向十位進(jìn)1。整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，由直觀具體到抽象概括，學(xué)生在理解算理時(shí)有跡（小棒）可循，自然就容易得多，掌握起算法來也有理可依，不至于空洞生硬。

二、化抽象為具體，幫助學(xué)生理解概念

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，是發(fā)展思維、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，必須加強(qiáng)對(duì)概念的理解與掌握。但由于數(shù)學(xué)概念的抽象概括性與學(xué)生思維的具體形象性的矛盾，學(xué)生要真正掌握理解概念的本質(zhì)并不容易。我們應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，即感知—表象—概念，通過實(shí)物操作演示，變學(xué)生被動(dòng)地聽為主動(dòng)地學(xué)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的多重感官參與教學(xué)，深刻感知具體形象的事物，然后從事物的具體表象中抽象出事物的本質(zhì)特性，從而形成科學(xué)的概念。如教學(xué)“體積與體積單位”一課時(shí)，為了幫助學(xué)生理解“空間”這一概念，設(shè)計(jì)了如下環(huán)節(jié)：首先，操作演示，突破難點(diǎn)。（1）準(zhǔn)備3 個(gè)一樣的量杯分別標(biāo)①②③，都裝100ml 的水；2 個(gè)一大一小的鵝卵石。（2）第一次實(shí)驗(yàn)：往②號(hào)杯里放入一個(gè)較小的石頭。（3）學(xué)生觀察②號(hào)杯里水面的變化（水面上升了）。（4）說一說：為什么往②號(hào)杯里加石頭，水面會(huì)上升？生：石頭占了杯子（或水）的位置，水面就上升了。師：大家說的石頭占的位置，在數(shù)學(xué)上叫作“空間”。（5）課件直觀演示剛剛的實(shí)驗(yàn)過程，加深感知。（6）第二次實(shí)驗(yàn)：往③號(hào)杯里放入另一個(gè)較大的石頭。（7）學(xué)生觀察③號(hào)杯里水面的變化（水面上升得比②號(hào)杯多）。（8）說一說：為什么？生：大的石頭所占的空間更大。師引導(dǎo)：石頭越大，其所占的空間越大。（9）課件直觀演示第二次實(shí)驗(yàn)過程。（10）直觀比較①②③號(hào)杯，充分感知，加深理解。其次，直觀比較，突出本質(zhì)。利用多媒體展現(xiàn)，比較三者的不同，突出體積的本質(zhì)。

教學(xué)中，通過實(shí)驗(yàn)操作，課件再次演示，寄抽象的數(shù)學(xué)概念于具體實(shí)物中，使得原本空洞的概念有所依托，學(xué)生在感知后不斷思考想象，在頭腦中形成表象，從而理解“空間”這一概念，也就理解了體積的本質(zhì)。而后面的表格出示對(duì)比，線、面、體直觀呈現(xiàn)眼前，關(guān)于這三類計(jì)量單位的用處學(xué)生一目了然，也有助于學(xué)生再次理解周長、面積、體積的本質(zhì)。激活學(xué)生原有的知識(shí)，使得學(xué)生在跟舊知的比較中更好地理解掌握新概念，系統(tǒng)地進(jìn)行學(xué)習(xí)，方便建構(gòu)知識(shí)體系。

三、化枯燥為生動(dòng)，幫助學(xué)生推導(dǎo)公式

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，課程內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和數(shù)學(xué)思想方法。因此，數(shù)學(xué)公式的教學(xué)不是直接告知學(xué)生結(jié)果，然后讓學(xué)生死記硬背，應(yīng)該讓學(xué)生參與公式推導(dǎo)的過程，感悟公式推導(dǎo)的思想方法。在公式推導(dǎo)過程中，常遇到教師講不清、學(xué)生聽不懂的問題，借助課件動(dòng)態(tài)演示可以較好地解決這個(gè)問題。如“圓的面積”教學(xué)環(huán)節(jié)：首先，動(dòng)態(tài)演示，直觀轉(zhuǎn)化。（1）將一個(gè)完整的圓平均分成兩個(gè)半圓，再將每個(gè)半圓平均分成許多小扇形。（2）動(dòng)態(tài)演示，將一樣的兩部分扇形相對(duì)交叉拼成一個(gè)近似的長方形。其次，觀察聯(lián)系，推導(dǎo)公式。（1）仔細(xì)觀察，前后聯(lián)系。長方形的長=圓的周長的一半（2πr÷2=πr），長方形的寬=圓的半徑（r）。（2）聯(lián)系舊知，推導(dǎo)公式，長方形的面積=ab，則圓的面積=πr2。

教學(xué)中，通過多媒體動(dòng)態(tài)直觀的演示，原本靜態(tài)的圓像被賦予了靈性動(dòng)了起來，整個(gè)轉(zhuǎn)化過程清楚直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，克服了教師語言講解的空洞乏味，成功引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。而后讓學(xué)生觀察圖形轉(zhuǎn)化前后的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生成功推導(dǎo)公式。整個(gè)過程，從生動(dòng)形象到抽象概括，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的感官，引發(fā)學(xué)生思考，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特征，讓原本生硬單調(diào)的公式生動(dòng)豐富起來，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣十足，掌握知識(shí)也就容易許多。

四、化復(fù)雜為簡單，幫助學(xué)生理解數(shù)量

在小學(xué)階段，解決問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，厘清題目中的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵。借助幾何直觀，用畫圖的方式來呈現(xiàn)題目中的已知信息和所求問題，可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，學(xué)生從圖中能較容易地找到數(shù)量關(guān)系，更好地分析問題、解決問題。如相遇行程問題，由于這類問題變式拓展較多，學(xué)生掌握起來較難，因此，在教學(xué)時(shí)，筆者常做以下兩件事，也要求學(xué)生這樣做：一是畫圖分析，厘清題意。請(qǐng)同學(xué)們將題中的信息用線段圖表示出來，主要有以下幾類：（1）兩車從甲乙兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，n 分鐘后相遇；（2）兩車從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，反向而行，n 分鐘后到達(dá)甲乙兩地；（3）甲先行，乙在后面追，n 分鐘后兩車相遇；（4）兩車從甲乙兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，n 分鐘后相距x千米。二是整合信息，列數(shù)量關(guān)系。分析線段圖，對(duì)應(yīng)地列出數(shù)量關(guān)系如下：（1）甲行駛的路程+乙行駛的路程=總路程；（2）甲行駛的路程+乙行駛的路程=兩地相距的路程；（3）甲先行駛的路程+甲n 分鐘行駛的路程=乙行駛的路程；（4）甲行駛的路程+乙行駛的路程+甲乙相距的路程=總路程。

通過畫線段圖，直觀呈現(xiàn)相遇行程問題的模型，學(xué)生根據(jù)線段圖列出數(shù)量關(guān)系，最后解決問題。這一過程，依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，將抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化成直觀的圖，使得原本復(fù)雜的各種行程問題簡單化，從圖中學(xué)生能較容易地認(rèn)清區(qū)別所在，找到數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而解決問題。最終，學(xué)生還會(huì)發(fā)現(xiàn)經(jīng)線段圖一呈現(xiàn)，所有的行程問題是萬變不離其宗。

數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，對(duì)于以具體形象思維為主的小學(xué)生來說，理解掌握數(shù)學(xué)知識(shí)有一定的難度。為此，在教學(xué)中，我們應(yīng)依照小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和認(rèn)知水平，遵循學(xué)生的心理特點(diǎn)，借助幾何直觀，將抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、具體化、簡單化，使原本枯燥的數(shù)學(xué)生動(dòng)起來，以便學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，從而愛上數(shù)學(xué)，讓學(xué)生“昂首闊步”走在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的道路上。