線性代數(shù)教學(xué)中幾個(gè)問題的解析及延伸

田凱　張孟霞

摘 要 在線性代數(shù)課程中，矩陣的相關(guān)計(jì)算占據(jù)大量篇幅。從幾個(gè)計(jì)算方陣的冪函數(shù)、多項(xiàng)式的題目出發(fā)，在詳細(xì)分析解題思路的基礎(chǔ)上，引申出更一般的矩陣知識。

關(guān)鍵詞 方陣的冪 方陣的多項(xiàng)式 方陣的可對角化 Jordan形矩陣

中圖分類號：G642文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

做為一個(gè)數(shù)學(xué)分支，線性代數(shù)主要研究行列式、矩陣、線性方程組、向量、有限維向量空間和線性變換，在自然科學(xué)、工程技術(shù)的眾多領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用. 在我國本科專業(yè)的課程體系中，線性代數(shù)是理、工、經(jīng)、管類專業(yè)本科生的基礎(chǔ)必修課. 該課程旨在介紹行列式、矩陣、線性方程組、相似矩陣、二次型、向量空間等線性代數(shù)的基本概念、理論和方法. 在線性代數(shù)課程的教學(xué)中，線性方程組、矩陣、向量組，三者的聯(lián)系發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，也是學(xué)好這門課程的關(guān)鍵。

矩陣的相關(guān)計(jì)算問題，例如：初等變換法計(jì)算矩陣的秩、初等變換法求逆矩陣、對稱矩陣的對角化等，在線性代數(shù)的教學(xué)中占據(jù)很大比例。在線性代數(shù)課程的教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)結(jié)合具體問題將知識進(jìn)行適當(dāng)?shù)匮由?，有助于學(xué)生理解問題的本質(zhì)、掌握方法的核心，顯著提高學(xué)生運(yùn)用知識解決復(fù)雜問題的能力。本文將以幾個(gè)計(jì)算方陣的冪、方陣的多項(xiàng)式的題目為例，分析解題方法，介紹與它們相關(guān)的延伸知識.

問題一：已知3維列向量，，且，求。

同類問題參見文獻(xiàn)[1]習(xí)題二第7題（2）。

解析：為找到合理的計(jì)算方法，不妨先嘗試計(jì)算，和。 我們有

因?yàn)榫仃嚦朔M足結(jié)合律，所以可以將以上三式分別改寫為

此時(shí)注意到，是一個(gè)數(shù)，即。 于是

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，不難發(fā)現(xiàn)，對于正整數(shù)，我們有

上式中令，即可得到問題一的結(jié)果。

延伸：問題一并非個(gè)例。若階方陣的秩為1，則必定存在維非零列向量和，使，于是我們可用上述方法，計(jì)算方陣的冪函數(shù). 事實(shí)上，文獻(xiàn)[1]習(xí)題三第20題，告訴我們

命題1：行列的矩陣的秩為1的充分必要條件是存在維非零列向量和維非零列向量，使。

命題1又是如下命題的特例。

命題2：行列的矩陣的秩為，則存在行列的列滿秩矩陣和行列的行滿秩矩陣，使。

在矩陣?yán)碚撝校@個(gè)命題被稱為矩陣的滿秩分解. 在矩陣論的相關(guān)教材中，不難找到命題2的證明，這里不再贅述. 應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，矩陣的滿秩分解并不唯一。 矩陣的滿秩分解是一種基本、但重要的矩陣分解方法，在機(jī)器識別、模式識別、人工智能等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。

問題二：已知3階方陣，求，。

同類題目參見文獻(xiàn)[1]習(xí)題五第17題、第25題.

解析：直接計(jì)算可得，3階方陣有三個(gè)互不相等的特征值，和，所以可斷定，方陣可對角化，即存在3階可逆矩陣，使為對角矩陣。通過計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)方陣的屬于特征值，和的線性無關(guān)的特征向量分別是

令，則有，或等價(jià)地寫為。

于是，對任意正整數(shù)，。對于次多項(xiàng)式

有。 一般地，對角矩陣的冪、多項(xiàng)式由下式給出

因此，方陣的冪函數(shù)、多項(xiàng)式都可以具體算出。

方陣的對角化，尤其是實(shí)對稱矩陣的對角化，是線性代數(shù)課程的重點(diǎn)內(nèi)容。我們知道，階方陣可對角化的充分必要條件是有個(gè)線性無關(guān)的特征向量。

對于階實(shí)對稱矩陣，存在正交矩陣使為對角矩陣。實(shí)對稱矩陣可通過正交相似變換化為對角矩陣，還被用于化簡二次型，即通過正交線性變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。

延伸：除實(shí)對稱矩陣外，一些特殊矩陣，如實(shí)反稱矩陣、正交矩陣、埃爾米特矩陣、酉矩陣等，都是可對角化的。接下來，我們簡要解釋這些事實(shí)。

考慮行列的復(fù)矩陣，的共軛矩陣為，其中是的復(fù)共軛;的共軛轉(zhuǎn)置矩陣為。

定義：若級復(fù)矩陣滿足，則稱是一個(gè)埃爾米特矩陣。

定義：若級復(fù)矩陣滿足，則稱為一個(gè)酉矩陣。

容易發(fā)現(xiàn)，若為酉矩陣，則可逆且。

定義：若級復(fù)矩陣滿足，則稱是一個(gè)正規(guī)矩陣。

實(shí)對稱矩陣、實(shí)反稱矩陣、正交矩陣、埃爾米特矩陣、酉矩陣都是正規(guī)矩陣。

引理：對任意級復(fù)矩陣，存在級酉矩陣使為上三角矩陣，即

其中。是的特征值。

這個(gè)引理被稱為Schur引理，是矩陣分解理論中的一個(gè)基本引理。對矩陣的階數(shù)做歸納，即可證明此引理。這里不再贅述其證明過程。

引理：上（下）三角形正規(guī)矩陣是對角矩（下轉(zhuǎn)第218頁）（上接第188頁）陣。

基于上述兩個(gè)引理，可以證明：

命題：若級復(fù)矩陣是正規(guī)矩陣，則存在級酉矩陣使

其中是的特征值。

問題三：已知4階方陣，求。

同類問題參見文獻(xiàn)[1]習(xí)題二第6題（2）。

解析：易知方陣有一個(gè)特征值，且屬于此特征值的線性無關(guān)的特征向量是，故方陣不可對角化. 我們不能用問題二的解法處理這個(gè)問題。

注意到，其中。因?yàn)閱挝痪仃嚺c同階方陣總是可交換的，所以對于正整數(shù)，可以用二項(xiàng)展開式將寫為

又因?yàn)榉疥囉腥缦滦再|(zhì)，即

所以，當(dāng)時(shí)，

延伸：方陣是4階Jordan塊矩陣。事實(shí)上，

定義：形如

的階方陣稱為一個(gè)階Jordan塊矩陣. 由Jordan塊矩陣組成的分塊對角矩陣，如

稱為Jordan形矩陣。

階Jordan塊矩陣的多項(xiàng)式的一般公式是：設(shè)多項(xiàng)式，則

矩陣?yán)碚撝械囊粋€(gè)重要結(jié)果是：任意階方陣都與一個(gè)Jordan形矩陣相似. 若不考慮Jordan形矩陣中Jordan塊的排列順序，則Jordan形矩陣是被方陣唯一決定的，稱為方陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。

Jordan標(biāo)準(zhǔn)形在矩陣?yán)碚撝衅鹬种匾淖饔?。例如：以Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為基礎(chǔ)，可以給出方陣的指數(shù)函數(shù)、正（余）弦函數(shù)等矩陣函數(shù)的計(jì)算公式。感興趣的讀者，可以查閱矩陣分析方面的文獻(xiàn)。

*通訊作者：田凱

基金項(xiàng)目：中國礦業(yè)大學(xué)（北京）教學(xué)團(tuán)隊(duì)建設(shè)項(xiàng)目“《線性代數(shù)》教學(xué)內(nèi)容改革和資源建設(shè)”，項(xiàng)目編號：J180714。

作者簡介：田凱（1982-），男，河北省石家莊市，理學(xué)博士，中國礦業(yè)大學(xué)（北京）理學(xué)院，副教授（通訊作者），研究方向?yàn)榭煞e系統(tǒng)及其應(yīng)用;張孟霞（1978-），女，山西省聞喜縣，理學(xué)博士，中國礦業(yè)大學(xué)（北京）理學(xué)院，副教授，研究方向?yàn)榭煞e系統(tǒng)及其應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 蘇育才，姜翠波，張躍輝.矩陣?yán)碚揫M].北京：科學(xué)出版社，2006.

[3] 姜志俠，孟品超，李延忠.矩陣分析[M].北京：清華大學(xué)出版社，2015.

[4] 王萼芳，石生明.高等代數(shù)（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2019.