收斂數(shù)列性質(zhì)的可視化

劉艷　鄭慕聰

摘 要 基于數(shù)列極限的嚴(yán)格定義，給出數(shù)列極限可視化的幾何解釋，用可視化的幾何解釋簡潔直觀地分析和證明收斂數(shù)列的三個(gè)基本性質(zhì)。通過可視化的方法讓學(xué)生感受數(shù)列極限定義的精髓，并且更加直觀的理解收斂數(shù)列的基本性質(zhì)。

關(guān)鍵詞 高等數(shù)學(xué) 數(shù)列極限 收斂 可視化

中圖分類號：O171文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

0引言

高等數(shù)學(xué)是以微積分為主要內(nèi)容，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，概念抽象，內(nèi)容深刻，系統(tǒng)性強(qiáng)?；靖拍钍侵R體系的基礎(chǔ)，它往往體現(xiàn)了重要的數(shù)學(xué)思想，卻又很抽象。以極限為工具的基本概念和基本方法演繹形成結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)內(nèi)容深刻的這一套現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識體系對學(xué)生的抽象思維能力和邏輯推理能力要求高，這讓許多剛進(jìn)大學(xué)數(shù)學(xué)課堂的學(xué)生很難適應(yīng)。特別是，數(shù)學(xué)語言“”描述的數(shù)列極限的概念學(xué)生很難理解，由數(shù)列極限的定義得到收斂數(shù)列的基本性質(zhì)學(xué)生更是難以掌握。如何讓學(xué)生更好地理解數(shù)列極限的概念和收斂數(shù)列的性質(zhì)，這是教師要解決的關(guān)鍵問題。本文從全新的角度，通過可視化的方法讓學(xué)生感受數(shù)列極限定義的精髓，并且用可視化的方法讓學(xué)生更加直觀的理解收斂數(shù)列的基本性質(zhì)。

1數(shù)列極限的定義及可視化

眾所周知，微積分是由牛頓和萊布尼茨獨(dú)立創(chuàng)立的。在當(dāng)時(shí)，微積分的理論基礎(chǔ)并不完善，特別是沒有給無窮小準(zhǔn)確的定義，牛頓所謂的無窮小被當(dāng)時(shí)的大主教貝克萊抨擊為“幽靈”。后來經(jīng)過歐拉、達(dá)朗貝爾等幾代數(shù)學(xué)家共同努力下，柯西給出了極限概念的準(zhǔn)確描述，最終由維爾斯特拉斯給出“”、“”的嚴(yán)格定義。極限嚴(yán)格的定義是數(shù)學(xué)家們經(jīng)過100多年的努力最終給出的，學(xué)生一開始難以理解是正常的。極限作為高等數(shù)學(xué)的基本工具是非常重要的概念，教師的任務(wù)就是讓學(xué)生在能夠接受的范圍內(nèi)更好更清晰的理解這一核心概念。

定義1：設(shè)為一數(shù)列，若存在常數(shù)，對于任意給定的正數(shù)，總存在一個(gè)正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，都有，則稱是數(shù)列的極限或稱收斂于。記

或

如果一個(gè)數(shù)列有極限，就稱這個(gè)數(shù)列是收斂的，否則稱它為發(fā)散的。

對于數(shù)列極限這一概念，學(xué)生都可以樸素的理解為：隨著無限增大，與無限接近，想要多接近就有多接近。數(shù)學(xué)的概念都是由精確的數(shù)學(xué)語言來刻畫，對于定義1中抽象的數(shù)學(xué)符號以及表達(dá)式的含義需要給學(xué)生清晰的解釋。

首先將定義1用更簡潔的數(shù)學(xué)語言來表達(dá)

， ，當(dāng)時(shí)有? ?（1）

事實(shí)上，我們可以將數(shù)列看作是一個(gè)離散變量的函數(shù)，

，，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

那么 表達(dá)了這個(gè)函數(shù)的一個(gè)變化過程：隨著自變量不斷變大，朝X軸的正向趨向于無窮，因變量即函數(shù)值無限趨向于。這時(shí)數(shù)列在直角坐標(biāo)系下的圖像就可以直觀的反映出來。

觀察（1）式，用絕對值來刻畫的接近程度。如何表達(dá)與想要多接近就有多接近，達(dá)到無限接近的程度呢？這時(shí)的任意性的價(jià)值就體現(xiàn)出來，無論給定有多小，都比還要小。而“”，當(dāng)不等式成立正好反映了這個(gè)函數(shù)的變化過程，通常來說，這里的是依賴于的，取得越小，所找到的一般就越大。后面的可視化內(nèi)容會反映這一點(diǎn)的。只要滿足存在性即可，它不是唯一的，也不需要滿足唯一性，也就是說一旦給定一個(gè)具體的，就能找到一個(gè)相應(yīng)的。事實(shí)上，只要存在一個(gè)相應(yīng)的，那么所有比大的正整數(shù)都可以滿足不等式。

當(dāng)然，為了讓學(xué)生更直觀的理解上述內(nèi)容，我們接下來需要將相關(guān)概念通過動(dòng)態(tài)圖像表達(dá)出來。由于即即，也就是說落入到的鄰域。從函數(shù)的角度看待，它是一個(gè)帶狀區(qū)域。由于的任意性，所以帶狀區(qū)域的寬度可以任意收縮。用PPT動(dòng)畫展示帶狀區(qū)域收縮的變化過程，如圖1、圖2所示，并指出無論多小，總存在相應(yīng)的，項(xiàng)以后的所有項(xiàng)都落入帶狀區(qū)域內(nèi)。

最后，我們給出一個(gè)具體的例子的圖像說明的關(guān)系，如圖3、圖4所示，得到該數(shù)列極限的直觀的幾何解釋。

2收斂數(shù)列性質(zhì)的可視化

收斂數(shù)列具有三個(gè)基本性質(zhì)：極限的唯一性、收斂數(shù)列的有界性和收斂數(shù)列保號性。理解這些性質(zhì)并且能夠從收斂數(shù)列的定義出發(fā)來認(rèn)識這些性質(zhì)對理解極限是微積分的基本工具有著重要意義，這種邏輯推理的思想和方法一直貫穿于課程始終。下面我們通過定義1的可視化幾何解釋來說明這三個(gè)基本性質(zhì)。

定理1：如果數(shù)列收斂，那么它的極限唯一。

對于學(xué)生來說，這個(gè)結(jié)論顯而易見，很好理解?？墒潜粏柕綖槭裁次ㄒ唬瑢W(xué)生第一反應(yīng)也許是怎么可能不唯一！接下來自然會想到如果不唯一那么就會有矛盾。如何尋找矛盾，這時(shí)就必須回到數(shù)列收斂概念本身。如果收斂到兩個(gè)不同的值（不妨設(shè)），那么由定義1的幾何解釋，根據(jù)的任意性，取，通過PPT動(dòng)態(tài)展示就會得到如下圖5所示的情形。

圖5中，項(xiàng)以后的所有項(xiàng)既要進(jìn)入上面的帶狀區(qū)域又要進(jìn)入下面的帶狀區(qū)域，這顯然是個(gè)矛盾。在這種直觀的推理解釋下，學(xué)生對于極限概念和唯一性的認(rèn)識就有了更為深刻的印象。

定理2：如果數(shù)列收斂，那么一定是有界的。

證明有界，就是要證明存在某個(gè)正數(shù)，對，。還是回到定義1的幾何解釋，由的任意性，取，就會得到如下圖6所示的情形。對于，我們可以找到相應(yīng)的，項(xiàng)以后的所有項(xiàng)進(jìn)入到圖6中的帶狀區(qū)域，這顯然是有界的。前項(xiàng)是有限項(xiàng)，顯然也是有界的。于是就找了圖6中的，對，。這就說明有界。

定理3：如果，且（或） ，那么存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)都有（或）。

定理3刻畫了收斂數(shù)列的保號性。保號性對于學(xué)生來說是一個(gè)新概念，所謂保號性就是收斂數(shù)列的極限的正負(fù)可以保證數(shù)列從某項(xiàng)開始以后無窮多項(xiàng)的正負(fù)。從具體的收斂數(shù)列的圖像（圖3、圖4）來看是顯而易見的。如何從條件，且 出發(fā)得出結(jié)論呢？我們依然回到定義1的幾何解釋，由的任意性，取，就得到如下圖7所示的情形

對于，我們可以找到相應(yīng)的，項(xiàng)以后的所有項(xiàng)進(jìn)入到圖7中的帶狀區(qū)域，由于帶狀區(qū)域在X軸上方，所以當(dāng)時(shí)都有。對于時(shí)的情形如圖8所示，不難得出相應(yīng)的結(jié)論。

3總結(jié)

數(shù)列極限的“”的嚴(yán)格定義中的任意性是定義的靈魂，它保證了與極限可以無限接近。把數(shù)列看作離散變量的函數(shù)，從函數(shù)圖像的角度給出數(shù)列極限的幾何解釋可以更直觀的反映出的關(guān)系?；诘娜我庑?，選取合適的值，由數(shù)列極限可視化的幾何解釋不難得到收斂數(shù)列的基本性質(zhì)：極限的唯一性、收斂數(shù)列的有界性和保號性。

高等數(shù)學(xué)課程是大學(xué)理工科專業(yè)的基礎(chǔ)課程，具有概念抽象，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，系統(tǒng)性強(qiáng)的特點(diǎn)。極限是高等數(shù)學(xué)中的基本工具，理解和掌握極限概念對學(xué)生學(xué)好這門課程起著至關(guān)重要的作用。本文提出的可視化的方法讓學(xué)生更加直觀的理解數(shù)列極限的概念和收斂數(shù)列的性質(zhì)。當(dāng)然這只是高等數(shù)學(xué)課程的開始，如何將抽象的數(shù)學(xué)理論和方法用可視化的方法或者生動(dòng)形象的例子展現(xiàn)在課堂上，讓學(xué)生更好的學(xué)，并且激發(fā)學(xué)生思維的火花將是我們下一步教學(xué)研究與改革的方向。

基金項(xiàng)目：陜西師范大學(xué)教學(xué)改革研究重點(diǎn)項(xiàng)目（17GGK-JG03）;西安科技大學(xué)教育教學(xué)改革與研究項(xiàng)目（JG18069）。

作者簡介：劉艷（1978.9-），女，漢族，陜西興平人，西安科技大學(xué)理學(xué)院講師，碩士，主要研究領(lǐng)域?yàn)橹悄苄畔⑻幚?鄭慕聰（1981.2-），男，漢族，湖北老河口人，陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院講師，博士，主要研究領(lǐng)域模糊推理與決策、數(shù)學(xué)教育教學(xué)。

參考文獻(xiàn)

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