非均勻荷載下斜井井壁應力和位移場彈性分析

楊仁樹，王千星

(1.中國礦業(yè)大學(北京) 深部巖土力學與地下工程國家重點實驗室，北京 100083; 2.北京科技大學 土木與資源工程學院，北京 100083; 3.中建港航局集團有限公司，上海 200433)

井壁的作用是保證礦井的長期安全生產和運營，因此井壁應具有足夠的強度、剛度和隔水性能。

我國現(xiàn)有的斜井井壁從結構上可視為雙層井壁，外層為噴射混凝土等結構，用于抵抗施工臨時荷載，防止井幫片幫等問題，內層井壁為鋼筋混凝土結構等，用于抵抗永久地壓和水壓等荷載。因斜井井壁形狀和受力特征均較為復雜，目前國內現(xiàn)行的規(guī)范[1]并沒有給出斜井井壁的設計理論。斜井井壁的設計主要參考立井圓形井壁和施工經驗等方法。

斜井井壁受力分析的兩大關鍵點即為:形狀不規(guī)則和受力不均勻。復變函數(shù)法可將不規(guī)則雙連通域問題映射為規(guī)則的圓環(huán)，進而簡化為規(guī)則形狀受力問題。GERCEK[2]首次根據(jù)復變函數(shù)法給出了不規(guī)則形狀隧洞的應力場計算公式。此后，EXADAKTYLOS[3-4]完整地給出了帶缺口的圓形隧洞開挖問題的應力和位移近似解答。HUO等[5]研究了矩形隧洞在遠場剪應力作用下的應力分布。國內，陳子蔭[6]和呂愛鐘等[7]系統(tǒng)地對不規(guī)則形狀隧洞開挖問題進行了彈性解析分析，但是他們只研究了單連通域問題的解答(即只考慮隧洞開挖，未考慮支護結構)。對于圓形隧洞支護問題，EINSTEIN等[8-9]根據(jù)彈性力學給出了雙向不等壓作用下隧洞圍巖和襯砌解析解。BOBET等[10-13]給出了深埋圓形襯砌壓力隧洞應力和位移場解析解，并考慮了圍巖為各向同性和橫觀各項異性介質兩種情況。LI等[14-15]亦對深埋圓形襯砌壓力隧洞結構進行了彈性分析，并考慮了隧洞開挖應力釋放效應以及滲流影響。對于淺埋隧洞問題，F(xiàn)U[16]和VERRUIJT[17]利用復變函數(shù)方法給出了變形隧道在半平面內的解析解。

上述研究雖對非均勻荷載作用下，不規(guī)則輪廓隧洞問題進行了近似解答，但均局限于單連通域問題，而斜井井壁屬于雙連通域問題，增加了斷面映射以及求解的難度。目前針對斜井井壁的研究尚處于數(shù)值模擬、物理實驗和現(xiàn)場實測階段[18-20]，杜子博[18]雖對斜井井壁進行了物理實驗模擬，但只進行了水壓作用下的井壁研究。張旭[19]根據(jù)相似理論，利用鋼板模擬斜井井壁，對井壁的受力和變形進行了試驗研究。筆者針對直墻半圓拱井壁形式，給出非均勻荷載作用下井壁的應力和位移近似解析解，并分析了不同影響因素對井壁的影響。

1 問題描述

1.1 力學模型

由于井壁周圍巖體為孔隙型介質，故井壁受到的外載可分為孔隙水壓力和圍巖骨架壓力。井壁與圍巖之間的接觸狀態(tài)有3種情況:① 完全貼合，即圍巖骨架通過與井壁接觸部分傳遞荷載，孔隙水壓力通過接觸面孔隙作用于井壁上，井壁力學模型如圖1所示;② 不完全貼合，即井壁與圍巖之間存在剝離區(qū)，剝離區(qū)圍巖骨架對井壁無作用，取而代之的是水壓作用;③ 完全剝離;當井壁與圍巖完全剝離時，井壁只受水壓作用。

圖1 土骨架有效應力與孔隙水壓力共同作用下井壁力學模型Fig.1 Mechanical model of shaft lining under the combined action of soil skeleton effective stresses and pore water pressure

本文采用復變函數(shù)方法對彈性狀態(tài)下非圓形井壁的應力、位移場分布進行求解。不考慮鋼筋對井壁的影響，假設井壁為線彈性均質材料，采用平面應變模型進行計算。

1.2 應力和位移復勢表達

應力和位移分量可通過2個解析函數(shù)φ1(z),ψ1(z)表達[21]為

(1)

應力和位移邊界條件可表示為

(2)

(3)

為了便于根據(jù)各復變函數(shù)在彈性體邊界上的已知條件來決定這些函數(shù)，采用保角變換z=ω(ζ)，把彈性體在z平面上(xy平面)所占的區(qū)域變換為ζ平面上的區(qū)域?，F(xiàn)給出z平面和ζ平面中應力函數(shù)的換算關系:

(4)

式中，φ(ζ)，ψ(ζ)為ζ平面上兩個復勢解析函數(shù)。

曲線坐標中的應力分量與應力函數(shù)的關系:

(5)

(6)

1.3 邊界條件

據(jù)圖1力學模型可知，沿井壁外內邊界，應力邊界條件分別滿足式(7)和(8):

(7)

(8)

井壁所受荷載由圍巖骨架和孔隙水共同作用。故此情況下井壁外邊界所受荷載可表示為

(9)

對于完全彈性介質井壁，求解過程可分為兩個部分，即井壁邊界受力為骨架壓力和孔隙水壓力作用，井壁解析解等于骨架壓力和孔隙水壓力作用之和。由此可將式(7)分解為

土骨架應力邊界

(10)

孔隙水壓應力邊界

(11)

1.4 參數(shù)無量綱化

文中井壁應力、外載和力學參數(shù)等可無量綱化為

(12)

井壁幾何參數(shù)可無量綱化為

(13)

式中，σr，σθ分別為極坐標下r，θ方向應力；τrθ為剪應力；ur，uθ分別為極坐標下r，θ方向位移；ri為井壁上半圓半徑；rdi為井壁仰拱半徑；hi為側墻高度；h為井壁厚度。

各參量帶“～”的表示原型值，不帶“～”的表示無量綱化值;E，G和μ分別表示彈性模量、剪切模量和泊松比;下標i=0,1分別表示井壁內、外邊界。

2 復應力函數(shù)的求解

假設復應力函數(shù)形式為

(14)

因模型關于x軸對稱，故式中，ak,bk,ck,dk均為待定實數(shù)。

z平面映射到ζ平面上，面力F(z)可展開成傅里葉級數(shù)形式，故ζ平面上，映射后的井壁內外邊界應力邊界條件(7)～(8)可分別表示為

(15)

(16)

式中，ζ0和ζ1分別為ζ平面上井壁內外邊界上的點。

井壁與圍巖完全貼合和井壁與圍巖完全剝離兩種情況邊界條件均可通過式(15)～(16)表達，只是式中的Ak和Bk取值不同。

(17)

(18)

由式(18)組成的無窮方程組可計算出應力函數(shù)系數(shù)ak,bk,ck,dk。

井壁受有效土骨架應力和孔隙水壓力兩種荷載作用均可通過式(18)求解應力函數(shù)系數(shù)ak,bk,ck,dk，只是式中的Am和Bn取值不同。

3 結果分析

3.1 映射函數(shù)求解

某斜井井壁斷面為直墻半圓拱型，井壁設計參數(shù)見表1。

表1 斜井井壁設計參數(shù)Table 1 Parameter values of inclined shaft lining

井壁為帶仰拱的直墻半圓拱形狀，根據(jù)最優(yōu)化設計思路，利用混合罰函數(shù)方法求解出映射函數(shù)見式(19)。映射后井壁內邊界半徑無量綱化后為r0=0.815 2。

z=ω(ζ)=1.044 6(ζ-0.058 4-0.004 6ζ-1+

0.040 5ζ-2-0.028 5ζ-3+0.002 83ζ-4)

(19)

由式(19)繪出的映射形狀如圖2所示。圖2中實線代表井壁實際輪廓線，虛線代表井壁映射輪廓線。從圖2可知，井壁內外邊界的映射效果較好，尤其是上部半圓拱段;井壁外邊界上半部分，映射結果與實際輪廓基本重合，只在側墻拐角處有一定誤差。

圖2 井壁實際輪廓與映射輪廓Fig.2 Actual shape and mapped shape of shaft liner

將映射函數(shù)式(19)代入式(18)即可求出井壁內各點的應力和位移解析值。

圖3給出了通過解析分析獲得的無量綱化井壁內徑向位移和環(huán)向位移分布規(guī)律，圖3中坐標以井壁上半圓拱圓心為坐標原點，水平坐標表示井壁寬度方向坐標，豎向坐標表示井壁仰拱至拱頂方向坐標。由圖3(a)可知，井壁徑向位移表現(xiàn)為:拱頂和底板向井內變形，側墻向井外變形，由于井壁厚度小，彈性模量大，井壁內外側變形值基本相同。由圖3(b)可知，井壁內環(huán)向位移主要集中在半圓拱45°以及側墻與底板連接處。

圖3 井壁徑向和環(huán)向位移值分布解析解(無量綱化)Fig.3 Distribution of radial and tangential displacements in shaft liner

圖4給出了井壁內徑向、環(huán)向和剪切應力的解析分布規(guī)律。因井壁內緣無應力和位移約束，井壁內徑向應力分布由外至內逐漸減至0，在側墻與底板連接處存在較大的應力集中。井壁底板由內至外環(huán)向應力變化梯度明顯，底板內側受拉應力作用，外側受壓應力作用。井壁側墻與底板連接處應力變化亦較為顯著，內側受壓應力作用，外側受拉應力作用。井壁內切向應力主要集中在半圓拱45°以及側墻與底板連接處。由圖4可知，井壁在底板內側和側墻拐角外側易出現(xiàn)受拉區(qū)，由于常規(guī)井壁材料為鋼筋混凝土，混凝土屬于抗壓不抗拉材料，因此在滿足設計和施工條件下，應盡可能避免井壁出現(xiàn)拉應力區(qū)。

圖4 井壁徑向、環(huán)向和剪切應力值分布解析解(無量綱化)Fig.4 Distribution of radial,hoop and shear stresses in shaft liner

3.2 理論與數(shù)值模擬對比

以表1中原型參數(shù)建立井壁有限元模型，按圖1所示施加荷載，分別考慮井壁外側與圍巖完全剝離和完全貼合兩種工況下井壁環(huán)向應力對比。

圖5給出了井壁與圍巖完全剝離和完全貼合兩種工況下，井壁數(shù)值模擬與理論計算結果對比，可知，理論結果與數(shù)值模擬結果有較高的吻合度，僅在側墻范圍有一定誤差(圖中以拱頂為θ=0°，底板中心θ=180°，側墻上部θ=90°，側墻下部θ=120°，下同)。

圖5 井壁內外緣環(huán)向應力和徑向位移數(shù)值與理論值對比Fig.5 Comparison of hoop stress and radial displacement between numerical and theoretical values around inner and outer boundaries of liner

圖6 接觸面孔隙率np對井壁內、外緣環(huán)向應力的影響Fig.6 Effect of porosity of interface between liner and ground np on hoop stresses around inner and outer boundaries of liner

3.3 孔隙率np的影響

以圍巖卸載率η=0.4為例，不同接觸面孔隙率下井壁內外緣關鍵點環(huán)向應力變化規(guī)律如圖6所示。np=0表示接觸面無孔隙水壓作用，np=1表示接觸面無圍巖骨架壓力作用，井壁外邊界作用全水壓。

由圖6可知，井壁與圍巖接觸面孔隙率對井壁應力的影響呈線性變化趨勢。井壁拱頂和拱底應力變化受接觸面孔隙率影響相似，隨著孔隙率的增加，井壁拱頂和底拱內緣環(huán)向拉應力和外緣環(huán)向壓應力均逐漸減小。與之相反，隨著孔隙率的增加，側墻內緣環(huán)向壓應力逐漸減小，外緣環(huán)向壓應力逐漸增加。井壁內緣拱頂處在np<0.4時處于受拉狀態(tài)，np≥0.4后受壓應力作用。當np≥0.8后，半圓拱與側墻連接處內側開始出現(xiàn)拉應力。

圖7 接觸面孔隙率np對井壁內緣徑向位移的影響Fig.7 Effect of porosity of interface between liner and ground np on radial displacements around inner boundary of liner

不同接觸面孔隙率下井壁內緣關鍵點徑向位移變化規(guī)律如圖7所示。由圖7可知，井壁與圍巖接觸面孔隙率對井壁位移的影響呈線性變化趨勢。隨著接觸面孔隙率的增加，拱頂和拱底徑向位移逐漸減小，側墻處各點表現(xiàn)為由向井外變形逐步向井內變形。

3.4 卸載率η的影響

以圍巖孔隙率np=0.2為例，不同卸載率下井壁內外緣環(huán)向應力變化規(guī)律如圖8所示。η=0表示開挖圍巖未卸載，即圍巖壓力全部作用于井壁上，η=1表示開挖圍巖完全卸載，即圍巖壓力在井壁支護前已完全卸載，此時只有孔隙水壓作用于井壁上。

圖8 圍巖卸載率η對井壁內、外緣環(huán)向應力的影響Fig.8 Effect of ground relaxation η on hoop stresses around inner and outer boundaries of liner

不同卸載率下井壁內緣徑向位移變化規(guī)律如圖9所示。

圖9 圍巖卸載率η對井壁內緣徑向位移的影響Fig.9 Effect of ground relaxation η on radial displacements around inner boundary of liner

由圖8可知，隨著圍巖卸載率增加，井壁內外緣環(huán)向應力線性減小。拱頂內緣和側墻外緣對卸載率不敏感。由圖9可知，隨著圍巖卸載率增加，井壁徑向位移同樣線性減小，且卸載率對各部位影響均顯著。圍壓卸載率反映了井筒開挖后圍巖作用于井壁上的荷載大小，在保證圍巖穩(wěn)定性的前提下，應盡可能增加圍巖的卸載率，減小井壁的外載。

3.5 側壓系數(shù)λ的影響

以接觸面孔隙率np=0.2，圍巖卸載率η=0.4為例，不同側壓系數(shù)下井壁內外緣環(huán)向應力變化規(guī)律如圖10所示。

圖10 側壓系數(shù)λ對井壁內、外緣環(huán)向應力的影響Fig.10 Effect of lateral pressure coefficient λ on hoop stresses around inner and outer boundaries of liner

由圖10可知，隨著側壓系數(shù)增加，井壁內緣拱頂和拱底環(huán)向拉應力線性減小并逐漸轉為壓應力，側墻環(huán)向壓應力線性減小并逐漸轉為拉應力。當λ>0.8后拱頂內緣轉為受壓狀態(tài)，半圓拱與側墻連接處內緣轉為受拉狀態(tài)，當λ>1.5后，拱底內緣方才轉為受壓狀態(tài)，拱頂外緣亦轉為受拉狀態(tài)。

不同側壓系數(shù)下井壁內緣徑向位移變化規(guī)律如圖11所示。

由圖11可知，隨著側壓系數(shù)的增加，井壁拱頂和拱底徑向位移線性減小，當λ>1.5后，井壁拱頂和拱底開始由向內變形轉為向外變形。當λ<0.8時，側墻整體變現(xiàn)為向井外變形，λ>0.8后，側墻開始向井內變形。

3.6 井壁厚徑比ξ的影響

以接觸面孔隙率np=0.2，圍巖卸載率η=0.4為例，不同井壁厚徑比ξ(厚度與內徑比)情況下，井壁內外緣環(huán)向應力如圖12所示，井壁內緣徑向位移分布如圖13所示。

由圖12(a)可知，在相同外載下，隨著井壁厚徑比的增加，井壁拱頂和底板內外緣環(huán)向應力絕對值逐漸減小，但應力變化幅度逐漸減小，由圖12(b)可知，側墻下端(θ=120°)處內外緣環(huán)向應力受厚徑比影響顯著，側墻上端(θ=90°)內外緣受厚徑比影響較小，環(huán)向應力影響甚微。由圖13可知，隨著厚徑比增加，井壁各關鍵點徑向位移均顯著減小，并趨于0?？梢姡诤駨奖仍黾?，可顯著改善井壁的整體受力和變形環(huán)境，但厚徑比增加并非無限制，當厚徑比ξ>0.25后，影響可以忽略。

圖11 側壓系數(shù)λ對井壁內緣徑向位移的影響Fig.11 Effect of lateral pressure coefficient λ on radial displacements around inner boundary of liner

圖12 井壁厚徑比ξ對井壁內外緣環(huán)向應力的影響Fig.12 Effect of the ratio of liner thickness to radius on hoop stresses around inner and outer boundaries of liner

圖13 井壁厚徑比ξ對井壁內緣徑向位移的影響Fig.13 Effect of the ratio of liner thickness to radius ξ on radial displacements around inner boundary of liner

4 結 論

(1)采用混合罰函數(shù)法求解不規(guī)則雙連通域的映射函數(shù)，結果表明，映射形狀與實際形狀較為接近。

(2)井壁與圍巖接觸面孔隙率np影響井壁的受力特征，井壁孔隙率較小時(np<0.4)，拱頂(θ=0°)內側受拉，當np≥0.8時，拱頂轉為受壓，側墻(θ=90°)附近開始進入受拉狀態(tài)。

(3)井壁的支護應綜合考慮圍巖卸載率的影響，在合理安全的條件下，應待圍巖變形趨于穩(wěn)定后支護。側壓力系數(shù)的變化可改變井壁各關鍵點的拉壓狀態(tài)和變形形態(tài)。側壓力系數(shù)的增加可改善頂?shù)装宓氖芰?，但對側墻受力產生了惡化作用，故井壁的設計(側墻高度)還應綜合考慮側壓力系數(shù)的影響。

(4)井壁厚徑比的增加可顯著改善井壁的受力和變形大小，但當厚徑比ξ>0.25后，影響可以忽略。井壁厚徑比的增加并沒有改變井壁各點的受力狀態(tài)(拉壓)和變形形態(tài)(向內或向外)。