基于二維尺度維納后濾波器的SFCW MIMO雷達(dá)成像偽影抑制方法

蒲 濤, 童寧寧

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，西安，710051)

基于步進(jìn)頻連續(xù)波(Stepped Frequency Continuous Wave, SFCW)的MIMO雷達(dá)在多個(gè)領(lǐng)域中均有廣泛的應(yīng)用，如穿墻人體檢測(cè)、位移監(jiān)測(cè)和地下物質(zhì)檢測(cè)等[1-3]。其中，二維成像是實(shí)現(xiàn)所需功能的重要信號(hào)處理步驟之一。傳統(tǒng)上，通常使用后向投影方法(Back Projection, BP)來(lái)進(jìn)行成像[4]。然而，BP方法重構(gòu)的目標(biāo)圖像存在許多偽影，給后續(xù)的目標(biāo)檢測(cè)或者干涉測(cè)量等工作帶來(lái)了不利影響。

現(xiàn)有偽影抑制方法有很多，如窗函數(shù)法[3]、互相關(guān)法[5]和CLEAN法等[6]。近年來(lái)，基于相干因子(Coherence Factor, CF)及其變體(如廣義CF、符號(hào)CF和相位CF等)的偽影抑制方法得到了廣泛的研究[7-9]。CF的定義為給定信號(hào)的相干功率與其非相干功率的比值。文獻(xiàn)[10]證明了基于CF的偽影抑制方法等價(jià)于DAS無(wú)失真波束形成器的全尺度維納后濾波器，同時(shí)，文獻(xiàn)[10]提出，可根據(jù)實(shí)際應(yīng)用情況，選擇不同的尺度因子，在魯棒性較好的維納后濾波器和魯棒性較差的CF方法之間做出權(quán)衡。然而，成像偽影通常也由SFCW信號(hào)的有限帶寬和MIMO雷達(dá)的系統(tǒng)函數(shù)造成，這在大多數(shù)現(xiàn)有的基于CF的偽影抑制方法中并沒(méi)有得到考慮。因此，大多數(shù)方法實(shí)際上只能抑制由有限孔徑長(zhǎng)度上所有空間采樣點(diǎn)相干疊加引起的一維方位向偽影。

對(duì)于SFCW MIMO雷達(dá)，頻域BP成像方法實(shí)際可以看作一個(gè)二維無(wú)失真波束形成器。因此，為了同時(shí)消除有限孔徑和有限帶寬所造成的二維偽影，本文將一維尺度維納后濾波器擴(kuò)展到二維情況。文獻(xiàn)[11]提出了一種基于二維擴(kuò)展CF(Extended CF, ECF)的偽影抑制方法，這種方法可以看作是所提出方法的全尺度版本。在多目標(biāo)情況下，基于ECF的偽影抑制方法會(huì)低估目標(biāo)的反射系數(shù)，使弱目標(biāo)無(wú)法得到檢測(cè)。對(duì)于所提出的方法，通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)某叨纫蜃?，可以在一定程度上克服這些局限性，很好地抑制偽影。另外，本文還討論并通過(guò)仿真結(jié)果驗(yàn)證了尺度因子對(duì)最終成像性能的影響。

1 信號(hào)模型和BP成像方法

1.1 SFCW MIMO雷達(dá)

圖1為M發(fā)N收的SFCW MIMO雷達(dá)的幾何結(jié)構(gòu)，其中，第m個(gè)發(fā)射陣元坐標(biāo)為(xm,0)，第n個(gè)接收陣元坐標(biāo)為(xn,0)。假設(shè)一點(diǎn)目標(biāo)位于(x0,y0),則其到第l對(duì)接收機(jī)和發(fā)射機(jī)(即第l個(gè)空間采樣點(diǎn))的平均距離可以表示為：

圖1 SFCW MIMO雷達(dá)幾何結(jié)構(gòu)

(1)

式中：l=(m-1)N+n=1,2,…,MN。

假設(shè)成像區(qū)域被劃分為I×J個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，其中x軸被劃分為I個(gè)網(wǎng)格，y軸被劃分為J個(gè)網(wǎng)格，而且目標(biāo)分別位于特定的網(wǎng)格點(diǎn)上，則對(duì)于第q個(gè)頻率和第l個(gè)空間采樣點(diǎn)，解調(diào)后的接收信號(hào)可以表示為：

S(l,q)=

(2)

式中：fq=f0+(q-1)Δf，f0為起始頻率，Δf為頻率間隔；Rl(xi,yj)表示位于(xi,yj)處的目標(biāo)對(duì)應(yīng)第l個(gè)空間采樣點(diǎn)的距離；σ(xi,yj)為目標(biāo)反射系數(shù)；c是光速；n(l,q)是噪聲。

1.2 BP成像方法

頻域后向投影(Frequency Domain Back Projection, FDBP)方法是SFCW雷達(dá)的典型成像方法之一，其通過(guò)對(duì)所有空間采樣點(diǎn)和所有頻率的接收信號(hào)進(jìn)行相干疊加，得到目標(biāo)的反射系數(shù)?；贔DBP和接收信號(hào)S(l,q)，位于(xi,yj)點(diǎn)處的目標(biāo)的反射系數(shù)可以由式(3)估計(jì)得出：

σFDBP(xi,yj)=

(3)

式中：Q為總的步進(jìn)頻數(shù)。

在實(shí)際應(yīng)用中，為減少運(yùn)算量，常使用時(shí)域后向投影(Time Domain Back Projection, TDBP)方法[12]來(lái)代替FDBP進(jìn)行成像?；赥DBP方法，目標(biāo)反射系數(shù)可以由下式估計(jì)得到：

(4)

式中：

(5)

是第l個(gè)空間采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)域距離壓縮信號(hào)，可通過(guò)快速傅里葉逆變換得到。

1.3 偽影及其產(chǎn)生原因

雖然BP成像方法簡(jiǎn)單易行，但其成像結(jié)果具有較強(qiáng)的偽影。強(qiáng)偽影使得弱目標(biāo)不易檢測(cè)，且多目標(biāo)的偽影會(huì)產(chǎn)生假峰，對(duì)后續(xù)處理造成負(fù)面影響。產(chǎn)生偽影的一個(gè)原因是SFCW信號(hào)的有限帶寬。一般來(lái)說(shuō)，每個(gè)空間采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)域距離壓縮信號(hào)是一個(gè)類sinc函數(shù)。強(qiáng)目標(biāo)在一定距離內(nèi)的旁瓣會(huì)在其近距離內(nèi)產(chǎn)生偽影。此外，雷達(dá)的系統(tǒng)函數(shù)也可能對(duì)距離壓縮造成影響，從而產(chǎn)生比類sinc函數(shù)更高的旁瓣電平。

即使在理想距離壓縮的情況下，在對(duì)所有空間采樣點(diǎn)的距離壓縮信號(hào)做相干求和的過(guò)程中仍會(huì)產(chǎn)生偽影。如圖2所示，對(duì)于實(shí)際沒(méi)有目標(biāo)的成像點(diǎn)，其雙曲線與目標(biāo)雙曲線的交點(diǎn)將使該成像點(diǎn)具有非零值。如果孔徑尺寸變大，偽影水平會(huì)相對(duì)降低。因此，可以將這種偽影視為由有限的孔徑長(zhǎng)度引起的。

圖2 所有空間采樣點(diǎn)相干疊加造成的偽影

2 基于二維尺度維納后濾波器的偽影抑制

2.1 二維尺度維納后濾波器

重新考慮基于式(3)的FDBP成像方法，定義成像點(diǎn)(xi,yj)處經(jīng)過(guò)相位補(bǔ)償?shù)慕邮招盘?hào)為：

S(xi,yj)=[S(1,1)e+j4πf1R1(xi,yj)/c,…,

S(MN,Q)e+j4πfQRMN(xi,yj)/c]T

(6)

此時(shí)，式(3)可以被重寫(xiě)為：

σFDBP(xi,yj)=WHS(xi,yj)

(7)

此外，式(2)中S(xi,yj)可由下式給出：

S(xi,yj)=σ(xi,yj)1+P

(8)

式中：1是MNQ×1的全1向量；P是包含目標(biāo)和噪聲的非期望向量。因此，當(dāng)使用均勻加權(quán)二維無(wú)失真波束形成器時(shí)，可以得到：

σFDBP(xi,yj)=σ(xi,yj)+WHP

(9)

從式(9)可以看出WHP是產(chǎn)生偽影的根本原因。因此，需要進(jìn)一步處理來(lái)降低WHP的影響。

對(duì)于任意給定的無(wú)失真波束形成器，即WH1=1，維納后濾波器可以用來(lái)最小化估計(jì)值的均方誤差[9]，即：

Hwiener=

(10)

式(10)中Hwiener的估計(jì)結(jié)果為：

Hwiener=

(11)

式中：R為S(xi,yj)的協(xié)方差矩陣；Rp為非期望向量P的協(xié)方差矩陣。通過(guò)Hwiener，位于(xi,yj)處目標(biāo)的反射系數(shù)可以被估計(jì)為：

σwiener(xi,yj)=HwienerWHS(xi,yj)

(12)

在式(11)中，σ(xi,yj)和Rp是未知的，需要進(jìn)行估計(jì)得到。當(dāng)P中僅包含噪聲時(shí)，可以用σFDBP(xi,yj)作為σ(xi,yj)的估計(jì)值，并且通過(guò)下式計(jì)算WHRpW：

WHRpW=

(13)

然而，除了噪聲，P中還包含有來(lái)自其他目標(biāo)的非期望值。因此，上述估計(jì)方法并不恰當(dāng)，會(huì)導(dǎo)致偽影抑制效果不佳?？紤]到基于CF的方法在點(diǎn)目標(biāo)一維偽影抑制中取得的良好效果，對(duì)式(11)進(jìn)行修改，可以得到二維尺度維納后濾波器，表示為：

Hwiener=

(14)

式中：β為尺度因子；σ(xi,yj)和WHRpW分別由式(7)和式(13)估計(jì)得到。

2.2 對(duì)比分析

2.2.1 與一維CF方法的關(guān)系

重新考慮式(4)給出的TDBP方法，成像點(diǎn)(xi,yj)的時(shí)域信號(hào)可表示為：

St(xi,yj)=

[St(1,2R1(xi,yj)/c),…,St(MN,2RMN(xi,yj)/c)]

(15)

因此，式(4)可以被重寫(xiě)為

(16)

基于CF的方法[6]利用相干因子乘以由TDBP方法的所得結(jié)果來(lái)降低由有限孔徑長(zhǎng)度造成的偽影。此時(shí)，(xi,yj)處點(diǎn)目標(biāo)的反射系數(shù)可以表示為：

(17)

式中，

(18)

(19)

比較式(18)和式(14)，可以看出，在一維情況下，基于CF的方法可以看作全尺度維納后濾波器，即尺度因子β=MN。然而，基于CF的偽影抑制方法僅考慮了由有限孔徑長(zhǎng)度上所有空間采樣點(diǎn)相干疊加時(shí)引起的偽影，忽略了由有限帶寬引起的偽影，從而這類偽影仍然存在。

2.2.2 與二維ECF方法的關(guān)系

在文獻(xiàn)[10]中，基于CF的偽影抑制方法被擴(kuò)展到超寬帶雷達(dá)的情況。ECF被定義為來(lái)自所有頻率和空間采樣點(diǎn)的信號(hào)的總相干功率與總非相干功率之比，此時(shí)，(xi,yj)點(diǎn)目標(biāo)的反射系數(shù)可以表示為：

σECF(xi,yj)=ECF(xi,yj)·WHS(xi,yj)

(20)

式中：

ECF(xi,yj)=

(21)

(22)

與式(14)相比，基于ECF的偽影抑制方法顯然是所提出方法的全尺度情況，即在尺度因子β=MNQ時(shí)，基于ECF的偽影抑制方法與所提出方法相同。盡管基于ECF的方法可以獲得比基于CF的方法更好的偽影抑制性能，但是，仿真結(jié)果表明，ECF方法會(huì)低估目標(biāo)的反射系數(shù)，從而使得弱目標(biāo)無(wú)法得到檢測(cè)。

2.2.3 尺度因子的作用

本文所提出的尺度維納后濾波器設(shè)有尺度因子β，其范圍為從0到MNQ的整數(shù)。當(dāng)β=0時(shí)，Hwiener=1。此時(shí)，BP成像方法產(chǎn)生的偽影不會(huì)得到抑制。當(dāng)β=1時(shí)，尺度維納后濾波器將降級(jí)為標(biāo)準(zhǔn)維納后濾波器。由于式(13)不能很好地估計(jì)P的功率，僅有部分成像偽影會(huì)得到抑制。當(dāng)β=MNQ時(shí)，尺度維納后濾波器會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)榛贓CF的偽影抑制方法。因此，應(yīng)當(dāng)在魯棒性較好的標(biāo)準(zhǔn)維納濾波器和魯棒性較差的ECF方法之間做好權(quán)衡來(lái)選擇尺度因子β。在后面的仿真部分，本文分析了不同情況下偽影抑制性能和魯棒性之間的關(guān)系。

3 仿真驗(yàn)證

為了評(píng)估所提出的偽影抑制方法的性能，本文進(jìn)行了仿真試驗(yàn)，仿真參數(shù)見(jiàn)表1，MIMO雷達(dá)的陣列結(jié)構(gòu)如圖3所示。發(fā)射信號(hào)從4 GHz到8 GHz以約3.9 MHz的頻率步進(jìn)，步進(jìn)頻數(shù)為1 024，為了減少運(yùn)算量且與分辨率相當(dāng)，網(wǎng)格數(shù)設(shè)置為41。

表1 仿真參數(shù)

圖3 MIMO雷達(dá)的陣列結(jié)構(gòu)

為模擬實(shí)際情況，在接收信號(hào)中加入高斯白噪聲，信噪比為10 dB。圖4給出了不同方法對(duì)位于(0, 2)處的點(diǎn)目標(biāo)的成像結(jié)果。如圖4(a)所示，由于有限的帶寬和有限的孔徑長(zhǎng)度，F(xiàn)DBP方法產(chǎn)生了許多強(qiáng)偽影?；贑F的方法可以獲得較好的偽影抑制效果，如圖4(b)所示。然而，由于其僅能對(duì)有限孔徑長(zhǎng)度產(chǎn)生的偽影進(jìn)行抑制，仍然存在由有限帶寬引起的強(qiáng)偽影。對(duì)于尺度因子β= 1的所提方法，由于式(13)低估了非期望信號(hào)的功率，因此偽影不能得到很好的抑制；與圖4(a)所示相比，僅抑制了由加性噪聲引起的偽影，如圖4(c)所示。當(dāng)尺度因子β= 65 536時(shí)，所提出的方法與基于ECF的偽影抑制方法相同，距離向和方位向的偽影均得到很好的抑制，如圖4(d)所示，在60 dB的動(dòng)態(tài)范圍內(nèi)，沒(méi)有殘留偽影。

圖4 不同方法對(duì)點(diǎn)目標(biāo)的成像結(jié)果

但是，隨著尺度因子的增大，非期望信號(hào)的功率也會(huì)增大。如上所述，當(dāng)尺度因子β= 65 536時(shí)，所提出的尺度維納后濾波器，即基于ECF的偽影抑制方法，會(huì)低估目標(biāo)的反射系數(shù)，使弱目標(biāo)無(wú)法得到有效檢測(cè)。為了證明這個(gè)現(xiàn)象，當(dāng)尺度因子β= 1和β= 65 536時(shí)，利用所提方法對(duì)反射系數(shù)幅度比為1∶1.5∶2且分別位于(1, 2)，(0, 2)和(-1, 2)的3個(gè)目標(biāo)進(jìn)行成像的結(jié)果如圖5所示。從圖5(a)可以看出，當(dāng)尺度因子β= 1時(shí)，雖然殘留了一些偽影，但這3個(gè)目標(biāo)反射系數(shù)的幅度比得到了比較理想的估計(jì)。然而，從圖5(b)可以看出，偽影抑制的代價(jià)是對(duì)目標(biāo)反射系數(shù)的錯(cuò)誤估計(jì)，3個(gè)目標(biāo)反射系數(shù)均被不同程度的低估，在(-1, 2)處反射系數(shù)較低的目標(biāo)幾乎是不可檢測(cè)的，而(0, 2)處的目標(biāo)反射系數(shù)也被大幅低估，可以看出，較大的β值會(huì)導(dǎo)致反射系數(shù)的錯(cuò)誤估計(jì)，尤其是對(duì)弱目標(biāo)的影響更大，甚至淹沒(méi)弱目標(biāo)。因此，應(yīng)在不同實(shí)際成像應(yīng)用的情況下在偽影抑制性能和魯棒性之間進(jìn)行良好的權(quán)衡。

圖5 不同β值時(shí)兩個(gè)目標(biāo)的成像結(jié)果

為了顯示尺度因子β對(duì)成像結(jié)果的影響，我們?cè)谝粋€(gè)目標(biāo)的情況下，計(jì)算了不同β值下的最大成像旁瓣電平；同時(shí)，在兩個(gè)目標(biāo)的情況下，計(jì)算了不同β值下兩目標(biāo)反射系數(shù)估計(jì)的幅度比，結(jié)果如圖6所示?？梢钥闯?，隨著尺度因子β的增加，旁瓣電平將逐漸降低，而幅度比將逐漸增加。在圖6中，黑色垂直線表示β= 2 048，在這種情況下，旁瓣幅度降低到大約-40 dB并且兩目標(biāo)幅度比變化不大。因此，在實(shí)際中可以利用β= 2 048來(lái)平衡偽影抑制性能和魯棒性。

圖6 最大旁瓣和目標(biāo)幅度比與尺度因子β的關(guān)系

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)將傳統(tǒng)的FDBP成像方法轉(zhuǎn)化為二維無(wú)失真波束形成器，本文采用尺度維納后濾波器來(lái)抑制由有限帶寬和有限孔徑引起的成像偽影?；贑F的方法和基于ECF的方法分別是所提方法的特例。通過(guò)仿真分析和驗(yàn)證了尺度因子對(duì)最終成像性能的影響。與基于CF的方法相比，所提方法能更有效地抑制偽影。通過(guò)選擇合適的尺度因子，所提方法比基于ECF的方法更適合于多目標(biāo)情況。在實(shí)際應(yīng)用中，如何更好地自適應(yīng)選擇尺度因子需要進(jìn)一步研究。