怎樣由淺入深探究“雞兔同籠”

安徽省宣城市涇縣實驗小學(xué) 劉愛霞

大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中記載了一個有趣的問題。書中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數(shù)，有35個頭；從下面數(shù)，有94只腳。求籠中雞和兔各有幾只？

我想借此經(jīng)典名題的探究, 鼓勵學(xué)生用自己喜歡的方法來探索數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生在推理中發(fā)現(xiàn)數(shù)字差異，主動調(diào)整數(shù)據(jù)，從而推出數(shù)學(xué)結(jié)論，在運用多樣化方法的探索過程中感受數(shù)學(xué)的樂趣和數(shù)學(xué)文化的魅力。

一、激活經(jīng)驗，引發(fā)思考

學(xué)生的學(xué)習(xí)要以豐富的生活經(jīng)驗為基礎(chǔ)，教師通過引導(dǎo)使學(xué)生善用“熟悉的”去解釋“陌生的”，用“具體的”去理解“抽象的”，使數(shù)學(xué)變得簡單。由于學(xué)生生活經(jīng)驗的缺乏，教師要了解孩子的生活，課前通過游戲讓孩子了解動物的腿數(shù)。如設(shè)計游戲：一只小雞，一只兔，兩個頭，六條腿。兩只小雞，兩只兔，四個頭，十二條腿。三只小雞，兩只兔，五個頭，十四條腿。五只小雞，五只兔，十個頭，三十條腿。同學(xué)們數(shù)得很準確，會發(fā)現(xiàn)在動物身上有許多數(shù)學(xué)信息是值得研究的。游戲?qū)胱寣W(xué)生的頭腦中有個初步的雞兔腿數(shù)的計算意識。然后再引入《孫子算經(jīng)》，目的是為了給數(shù)學(xué)課堂帶來了濃厚的數(shù)學(xué)文化氣息，讓學(xué)生感受到我國數(shù)學(xué)文化的源遠流長，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

開課前，教師可以先從較小的數(shù)入手，如雞兔頭共5個，腿共有14條。雞兔各幾只？這句話的意思怎樣理解，要鼓勵學(xué)生說出自己的想法，怎樣用畫圖的方式來探索。著名數(shù)學(xué)教育家賴登塔爾說過：“兒童是天生的數(shù)學(xué)家?！碑攲W(xué)生用熟悉的圖畫來表示時，自然就經(jīng)歷了數(shù)學(xué)探索的過程。學(xué)生在研究中發(fā)現(xiàn)先畫1只雞1只兔，再畫1只雞1只兔，再畫1只雞，正好14條腿，所以是3只雞，2只兔，或者先畫1只兔，再畫1只雞，接著畫的過程中發(fā)現(xiàn)腿多就去掉，得出雞的只數(shù)；或者全部畫成雞，少了幾條腿，再給1只雞添上2條腿，得出兔的只數(shù)。在添或去的過程中，學(xué)生初步構(gòu)建了假設(shè)法的推理模式，但是教師先不要急于給出假設(shè)法的算式，要給予學(xué)生自我完善的時間。

作為教師，我們只是孩子學(xué)習(xí)的引路人，不能只是指點學(xué)生進入“現(xiàn)成的大廈”，而是要促使他們?nèi)ァ鞍岽u砌墻”，一同來建筑大廈，即教師的任務(wù)不僅是告訴學(xué)生真理，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生探求真理。學(xué)生在“小馬過河”的試探中，感受水深水淺，不斷地調(diào)整自己的方法，不斷地修正自己的方法，才能形成自己的數(shù)學(xué)思路和數(shù)學(xué)方法，才能真正培養(yǎng)學(xué)生自我學(xué)習(xí)的能力，掌握數(shù)學(xué)技能。

二、設(shè)置障礙，自我完善

學(xué)生在初步的畫圖過程中已經(jīng)掌握了簡單的推理方法，怎樣趨于完善，需要教師設(shè)置障礙讓孩子去跳躍。此時，教師可以增加數(shù)量，出示雞兔共12個頭，32條腿，雞兔各多少只？問籠中各有幾只雞和兔？試問學(xué)生會選擇畫圖的方式嗎？為什么？你會選擇什么更快捷的方法？此時鼓勵學(xué)生列表從數(shù)字中找答案，比畫圖更節(jié)省時間。逐一列表法：逐一列出，不重復(fù)不遺漏。跳躍列表法：估計范圍，減少列舉次數(shù)。取中列表法：取中列舉，縮小列舉范圍。為了快速找到，可以用折中法來算腳數(shù)，再調(diào)整。直取中間數(shù)，驗證后調(diào)整幅度縮小，更為簡便快捷，這種方法叫做取中列舉法。有的學(xué)生會在列數(shù)字中發(fā)現(xiàn)每減少1只兔，增加1只雞，腿數(shù)會減少2，兔子要減少多少只，腿才能減少到32條呢？在計算中學(xué)生會很快找到相應(yīng)的雞兔數(shù)。在列表過程中縱觀發(fā)現(xiàn)腿數(shù)多說明兔子數(shù)多了，就減少一只兔，增加一只雞；腿數(shù)少說明兔子數(shù)少了，就增加一只兔子，減少一只雞。學(xué)生從圖形模式過渡到數(shù)字推理，經(jīng)歷了猜測、驗證、調(diào)整的數(shù)學(xué)活動，經(jīng)歷了一次數(shù)學(xué)思維的飛躍，感受到演繹推理帶來的數(shù)學(xué)樂趣。

三、優(yōu)化方法，豐富思想

學(xué)生經(jīng)歷了畫圖、列表，已經(jīng)掌握了基本的解題技巧，初步感受到探索的樂趣。但是怎樣由此及彼、以不變應(yīng)萬變，還需要優(yōu)化方法、優(yōu)化解題步驟、形成數(shù)學(xué)思想。“假設(shè)法”和“抬腿法”是破解雞兔同籠最常用的方法，也是最便捷的方法。針對“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”畫圖太繁瑣，列表也冗長。如果把它們變成一種動物去求解就簡單多了。怎樣把它們變成一種動物，激發(fā)學(xué)生思考，最好從故事引入，比如大灰狼夜晚想要偷襲雞和兔，一群雞、兔受到驚嚇就會抬腿求饒，雞兩條腿一抬就飛走了，兔抬起兩條腿，每只兔還有兩條腿著地，用剩余的總腿數(shù)除以2 就能求出共幾只兔。

思路總結(jié)：

1.抬光腿少的：35×2=70（條）

2.剩下腿多的：94-70=24（條）

3.除以腿數(shù)差：24÷2=12（只）

4.求出另一類：35-12=23（只）

這種讓一種動物抬腿消失的方法也可以延伸為假設(shè)法。假設(shè)全是雞或兔，相信學(xué)生會迎刃而解。為了輔助落后生，假設(shè)法的推理過程中可以先從簡單問題入手。先畫8個圓圈表示8個頭，再為每條動物畫兩條腿，8只動物只用完16條腿，還多出10條腿。把剩下的10條腿用完，要給其中的5只動物各添2條腿，這5只就是兔子，另外的3只就是雞。根據(jù)每一步的推理寫出相應(yīng)的算式：8×2=16（條），26-16=10（條），4－2=2（條），10÷2=5（只），8-5=3（只）。以上兩種方法，重在意思的理解和數(shù)學(xué)語言的表述，學(xué)生能夠完整敘述解題過程，就能準確領(lǐng)會題意。學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)快速的方法，在優(yōu)化數(shù)學(xué)方法里自我完善。

四、深化感悟，拓展延伸

“雞兔同籠”的數(shù)學(xué)思想，可以帶給學(xué)生無限的想象。怎樣從“雞兔同籠”里找到更多類似的數(shù)學(xué)問題，需要學(xué)生去挖掘資源，鼓勵學(xué)生自我編題。教師可以給孩子收集相關(guān)素材。

例如：（1）某校四（3）班共計48名學(xué)生，一同出去郊游，租船時出現(xiàn)每條船只能坐2人、3人、4人，價格分別為10元、12元、15元，問怎么樣安排租船更劃算？

（2）體育課組織跳繩接力比賽活動，參賽人數(shù)為30人，全班分為男生組和女生組兩個組，男生組每分鐘跳105個，女生組每分鐘跳95個，整個過程每人都要參與一次，整個過程需要15分鐘，問所有人員共計跳多少個？

（3）一次數(shù)學(xué)競賽共有20道題。做對一道題得8分，做錯一題倒扣4分，劉冬考了112分，你知道劉冬做對了幾道題？

以上數(shù)學(xué)題都屬于“雞兔同籠”，學(xué)生觸類旁通，才能真正掌握這種數(shù)學(xué)思想。打開學(xué)生的視野，提升數(shù)學(xué)思維，是我們每個數(shù)學(xué)教師為之努力和研究的課題。我們不是為了研究數(shù)學(xué)題而去做題，更多的是能從中學(xué)到一種數(shù)學(xué)方法，帶給學(xué)生更多的是演繹的快樂和探索的樂趣，讓每個學(xué)生在數(shù)學(xué)里發(fā)現(xiàn)自己具備的數(shù)學(xué)才能，點點滴滴地掌握數(shù)學(xué)推理的小技巧，從不會到會，從一道題到數(shù)道題，從數(shù)學(xué)題走進生活，從生活里又發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，帶著一顆好奇心感悟數(shù)學(xué)，從數(shù)學(xué)家的思想里受到鼓舞，從古代數(shù)學(xué)名題里找到自我挑戰(zhàn)的樂趣。

探究古代名題，學(xué)生從最初的無從下手到大膽地猜測，再到積極開動腦筋，研究解決問題的方案和策略，在這個過程中不僅逐步體會到數(shù)學(xué)學(xué)科獨具的邏輯性、抽象性，還感受到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，這正驗證了數(shù)學(xué)家華羅庚所說：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)!”數(shù)學(xué)文化源遠流長，數(shù)學(xué)思想博大精深。讓我們以更加飽滿的熱情和精巧的設(shè)計，讓課堂煥發(fā)生命的活力和無窮的智慧，去努力打造幸福課堂。