淺析雙線性變換法中的預(yù)畸變問(wèn)題*

謝小娟，張愛(ài)清，劉小明

(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

數(shù)字濾波是數(shù)字信號(hào)處理的基本手段之一。在IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中，如果沒(méi)有特殊要求，對(duì)設(shè)計(jì)好的滿足指標(biāo)要求的模擬濾波器的數(shù)字化，一般采用雙線性變換法實(shí)現(xiàn)。雙線性變換法的優(yōu)點(diǎn)是從根本上解決了脈沖響應(yīng)不變法中的頻譜混疊現(xiàn)象，但付出的代價(jià)是引起了頻率失真[1]。為了減少失真，雙線性變換常應(yīng)用于如濾波器這類具有分段常數(shù)的頻率特性的系統(tǒng)設(shè)計(jì)，而在各個(gè)分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)上產(chǎn)生的畸變，需通過(guò)頻率的預(yù)畸變來(lái)加以校正[2]。因此，預(yù)畸變是雙線性變換法中一個(gè)重要的概念?，F(xiàn)有數(shù)字信號(hào)處理教材在介紹數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中的雙線性變換法時(shí)，一般都給出了畸變的概念，但概念解釋不太清楚[3]。既然雙線性變化中模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系為Ω=(2/T)tg(ω/2)，為了得到所需要的數(shù)字頻率ω，自然要按照Ω=(2/T)tg(ω/2)所對(duì)應(yīng)的模擬頻率來(lái)設(shè)計(jì)模擬濾波器，但為什么要把Ω=(2/T)tg(ω/2)稱為預(yù)畸變呢？文獻(xiàn)[4]通過(guò)文中列舉的一個(gè)實(shí)例，可以清楚地說(shuō)明此問(wèn)題。其原因在于，對(duì)于模擬信號(hào)和模擬濾波器系統(tǒng)，在進(jìn)行模擬到數(shù)字的轉(zhuǎn)換時(shí)，數(shù)字頻率和模擬頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系是不同的。因此當(dāng)采用數(shù)字濾波器處理模擬信號(hào)時(shí)，在設(shè)計(jì)濾波器時(shí)存在預(yù)畸變問(wèn)題，而當(dāng)采用數(shù)字濾波器直接處理數(shù)字信號(hào)時(shí)，在設(shè)計(jì)濾波器時(shí)就不存在預(yù)畸變的概念了。顯然，名詞“預(yù)畸變”有其存在的前提，即不能脫離相比較的模擬頻率環(huán)境[4]。筆者在最近幾次教學(xué)實(shí)踐中，采用文獻(xiàn)[1]的思路并補(bǔ)充了自己的一些思考，使得預(yù)畸變的教學(xué)內(nèi)容能與前期教學(xué)內(nèi)容銜接緊密，邏輯性更強(qiáng)，更直觀，有效彌補(bǔ)了教材對(duì)相關(guān)概念介紹的不足，取得了良好的教學(xué)效果。

文章接下首先簡(jiǎn)要介紹雙線性變化原理，再介紹臨界頻率點(diǎn)畸變的概念，最后通過(guò)實(shí)例分析進(jìn)而引入預(yù)畸變的概念。

1 雙線性變換法原理

在IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中，通常先設(shè)計(jì)滿足指標(biāo)要求的模擬濾波器AF(analog filter)，再數(shù)字化得到滿足指標(biāo)要求的數(shù)字濾波器DF(digital filter)。為了解決脈沖響應(yīng)不變法數(shù)字化時(shí)DF相對(duì)于AF(analog filter)頻響的混疊現(xiàn)象，即要將z=esT關(guān)系中s平面與z平面的多值映射關(guān)系變成一一對(duì)應(yīng)的映射關(guān)系。具體分為2步：首先將s平面壓縮成s1平面上一個(gè)寬度為2 π/T的水平帶狀區(qū)域，然后通過(guò)z=es1T將這個(gè)帶狀區(qū)域映射到整個(gè)z平面，實(shí)現(xiàn)s平面到z平面的單值映射，即

此時(shí)若已知AF的系統(tǒng)函數(shù)，則可計(jì)算DF的系統(tǒng)函數(shù)和頻響特性，如式(1)和(2)所示：

(1)

(2)

可見(jiàn)，s平面上Ω與z平面的ω成非線性的正切關(guān)系，這也決定了雙線性變換法適用于幅頻特性即濾波特性具有分段常數(shù)特性的AF的數(shù)字化。

2 臨界頻率點(diǎn)的畸變

若存在一個(gè)滿足濾波器性能指標(biāo)要求且幅頻特性為分段常數(shù)特性的AF，采用雙線性變換法進(jìn)行數(shù)字化，得到DF的幅頻特性仍然具有分段常數(shù)特性，但在各分段臨界頻率點(diǎn)處有畸變，使得DF的濾波特性與所要求的性能指標(biāo)不符[5]。

為了直觀有效地進(jìn)行說(shuō)明，可以參考圖1，設(shè)濾波器的模擬指標(biāo)為(Ω1、Ω2、Ω3，αs，αp)，相應(yīng)的數(shù)字指標(biāo)為(Ω1T、Ω2T、Ω3T，αs，αp)。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，圖中繪制的是具有嚴(yán)格的分段常數(shù)的理想濾波特性曲線，故通帶允許的最大衰減αs和阻帶允許的最小衰減αp分別取值為零和無(wú)窮大。Ω1、Ω2、Ω3是AF的三個(gè)臨界頻率點(diǎn)，而是ω1、ω2、ω3是采用雙線性變換法得到的DF的相應(yīng)的三個(gè)臨界頻率點(diǎn)。若滿足：

圖1 臨界頻率點(diǎn)畸變

(3)

則稱所設(shè)計(jì)的DF不存在臨界頻率點(diǎn)的畸變，DF的幅頻特性滿足數(shù)字指標(biāo)的要求；若不滿足，則表示DF的各個(gè)臨界頻率點(diǎn)存在畸變，DF的幅頻特性不滿足數(shù)字指標(biāo)的要求，故而需要進(jìn)一步修正設(shè)計(jì)。

3 畸變存在的前提條件

下面給出2個(gè)濾波器設(shè)計(jì)的例子，由此來(lái)說(shuō)明，“畸變”概念是在特定的濾波器設(shè)計(jì)問(wèn)題中才存在的。

例①：給定模擬指標(biāo)(Ω1、Ω2、Ω3，αs，αp)，設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。

設(shè)計(jì)思路：先由模擬指標(biāo)設(shè)計(jì)AF，其頻響特性表示為如圖1所示的H(jΩ)，再用雙線性變換法設(shè)計(jì)DF，也就是根據(jù)式(2)得到DF的頻響特性H(ejω)，其臨界頻率點(diǎn)為：

(4)

可見(jiàn)，式(4)不滿足式(3)的要求，臨界頻率點(diǎn)存在畸變，DF不滿足性能指標(biāo)要求，故而需要“預(yù)畸變”來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)修正。

例②：給定數(shù)字指標(biāo)(ω1、ω2、ω3,αs，αp)，設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。

可見(jiàn)，只有當(dāng)給定模擬指標(biāo)，先按照模擬指標(biāo)設(shè)計(jì)了AF，再采用雙線性變換法數(shù)字化得到DF時(shí)，才存在臨界頻率點(diǎn)的畸變問(wèn)題，才有了后面要介紹的預(yù)畸變問(wèn)題。

4 預(yù)畸變

“預(yù)畸變”校正的概念是為了解決“畸變”而提出來(lái)的，因此，對(duì)于“預(yù)畸變”概念的理解必須要在產(chǎn)生“畸變”的問(wèn)題情境中討論才符合邏輯。

為了便于說(shuō)明，在此用文獻(xiàn)[4]所采用的一個(gè)濾波器設(shè)計(jì)實(shí)例來(lái)進(jìn)行說(shuō)明。

例如，要求設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器來(lái)處理模擬信號(hào)，使得頻率處于0～0.2 kHz之間的信號(hào)可以通過(guò)，而處于0.3kHz之外的信號(hào)不能通過(guò)，設(shè)采樣間隔T=1 ms(采用雙線性變換法)。

分析：根據(jù)題目要求，應(yīng)設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字低通濾波器，由于給定的是模擬指標(biāo)，正好符合產(chǎn)生“畸變”的條件。為了按題目要求完成對(duì)模擬信號(hào)的濾波處理，下面分兩種情況來(lái)討論。

情況一：設(shè)計(jì)一個(gè)滿足性能要求的模擬濾波器AF1來(lái)實(shí)現(xiàn)濾波處理；

情況二：設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器DF來(lái)實(shí)現(xiàn)濾波處理。DF的設(shè)計(jì)是先設(shè)計(jì)模擬低通原型濾波器AF2，再用雙線性變換法數(shù)字化得到DF。如圖2所示，給出了兩種信號(hào)處理的結(jié)構(gòu)框圖。

情況一：

如圖2(a)所示，設(shè)模擬信號(hào)為x(t)，其頻譜為X(jΩ)，根據(jù)題意對(duì)其濾波處理，即實(shí)現(xiàn)Ω∈[0,400π]的頻譜分量需要保留，而Ω∈[600π,+∞]的頻譜分量需要濾除。

根據(jù)濾波要求，確定模擬濾波器AF1的性能指標(biāo)為：

Ωp=2π×0.2×103=400π(rad/s)——通帶截止頻率

Ωs=2π×0.3×103=600π(rad/s)——阻帶截止頻率。

情況二：

如圖2(b)所示，對(duì)于模擬信號(hào)x(t)，若要對(duì)其數(shù)字濾波處理，實(shí)際上需要先對(duì)其進(jìn)行采樣得到離散序列x(n)，經(jīng)過(guò)離散系統(tǒng)即數(shù)字濾波器的濾波處理，得到離散序列y(n)，最后經(jīng)過(guò)低通濾波器平滑處理恢復(fù)成如圖2(a)所示的y(t)。設(shè)x(n)的頻譜為X(ejω)，則根據(jù)題意DF應(yīng)能實(shí)現(xiàn)，當(dāng)ω∈[0,0.4π]，保留x(n)譜頻分量，而ω∈[0.6π,π]時(shí)，濾除x(n)譜頻分量。由此確定DF的數(shù)字指標(biāo)為：

圖2 模擬信號(hào)兩種信號(hào)處理框圖

ωp=Ωp×T=0.4π(rad)——通帶截止頻率

ωs=Ωs×T=0.6π(rad)——阻帶截止頻率。

確定了數(shù)字指標(biāo)后，我們可以按照上一節(jié)中例②所述，根據(jù)數(shù)字指標(biāo)來(lái)設(shè)計(jì)DF，這樣設(shè)計(jì)出來(lái)的DF滿足濾波要求，不存在畸變。

如果我們按照例①的設(shè)計(jì)思路，即先由模擬指標(biāo)設(shè)計(jì)滿足模擬指標(biāo)的AF1，再用雙線性變換法設(shè)計(jì)DF，就有畸變存在。為此，改變?cè)O(shè)計(jì)思路為：先將模擬指標(biāo)進(jìn)行“預(yù)畸變”得到模擬指標(biāo)，并設(shè)計(jì)滿足此指標(biāo)的AF2，再用雙線性變換法設(shè)計(jì)DF，這樣設(shè)計(jì)的DF與在例②所設(shè)計(jì)的DF一樣，不存在畸變。具體如下：

首先通過(guò)“預(yù)畸變”確定模擬低通原型AF2的指標(biāo)為：

.

(5)

.

(6)

.

.

此時(shí)DF的臨界點(diǎn)正好與其設(shè)計(jì)指標(biāo)一致，可以正確地按照題目要求實(shí)現(xiàn)對(duì)x(n)濾波處理；反之，若不進(jìn)行“預(yù)畸變”，AF2仍然采用Ωp、Ωs來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)，則設(shè)計(jì)出的AF2與AF1具有相同的濾波特性。將AF2再經(jīng)過(guò)雙線性變換后得到的DF的臨界頻率為：

.

.

此時(shí)DF的臨界頻率點(diǎn)與設(shè)計(jì)指標(biāo)相比不一致，出現(xiàn)了“畸變”的問(wèn)題，顯然不能正確地實(shí)現(xiàn)對(duì)x(n)濾波處理。

可見(jiàn)，設(shè)計(jì)AF2之前，先進(jìn)行“預(yù)畸變”的校正，是為了避免之后設(shè)計(jì)的DF的臨界頻率點(diǎn)出現(xiàn)“畸變”問(wèn)題。“預(yù)畸變”是為“畸變”而來(lái)，“預(yù)畸變”概念的理解必須要結(jié)合“畸變”問(wèn)題來(lái)理解，否則必然是片面的，容易在解題時(shí)出錯(cuò)的。

5 結(jié)束語(yǔ)

論文首先對(duì)雙線性變換法中的畸變問(wèn)題進(jìn)行了討論，明確給出了“畸變”存在的條件及畸變的定義，接著為了解決畸變問(wèn)題而引入了“預(yù)畸變”的概念，最后通過(guò)一個(gè)IIR濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)例，說(shuō)明了預(yù)畸變的原因和效果。整個(gè)過(guò)程邏輯性強(qiáng)，易于理解。而教學(xué)實(shí)踐也證明，通過(guò)本方法講述畸變和預(yù)畸變的概念，能有效幫助學(xué)生對(duì)預(yù)畸變概念的認(rèn)識(shí)和理解。