2020年北京高考電學(xué)實(shí)驗(yàn)分析

◇ 北京 吳廣國 鄒 斌 劉文彪

2020年北京高考物理第16題是測量干電池的電動勢和內(nèi)阻實(shí)驗(yàn).不過該實(shí)驗(yàn)題與人教版教材中給出的電流表、電壓表和滑動變阻器的測量方法有所不同,考題也不需要具體測量出該電源的電動勢和內(nèi)阻,主要考查了學(xué)生對實(shí)驗(yàn)方案和電表內(nèi)阻引起實(shí)驗(yàn)誤差的分析,考查學(xué)生對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行交流、評估和反思的能力.本文第一部分詳細(xì)分析了教材中實(shí)驗(yàn)方案的誤差來源;第二部分給出對2020年北京高考第16題的詳實(shí)試題分析;第三部分對實(shí)驗(yàn)進(jìn)行拓展,給出戴維南定理并利用戴維南定理分析“等效電源”問題,最后給出測量水果電池的電動勢和內(nèi)阻的拓展實(shí)驗(yàn),并對實(shí)驗(yàn)方案與誤差進(jìn)行了詳盡的分析與討論.

1 測量干電池的電源電動勢與內(nèi)阻

1.1 干電池的理想U(xiǎn)-I圖象

路端電壓U需要電壓表測量,流經(jīng)電源的電流I采用電流表測量.如果用圖1-甲來測量,則電流表示數(shù)小于流經(jīng)電源的電流值;如果采用圖1-乙來測量,則電壓表示數(shù)小于電源的真實(shí)路端電壓.這是電表內(nèi)阻引起的誤差,稱為系統(tǒng)誤差.

圖1

干電池的理想U(xiǎn)-I圖象是無法通過實(shí)際測量得到的.不過如果假定電壓表內(nèi)阻無限大,電流表內(nèi)阻無限小,則可用圖1中任何一種實(shí)驗(yàn)方案得到該電源的理想U(xiǎn)-I圖象,如圖2虛線所示.圖2中縱坐標(biāo)U是干電池的路端電壓,橫坐標(biāo)I是通過電源的電流值.

圖2

由閉合電路的歐姆定律U＋r·I＝E可簡單推導(dǎo)出U＝－r·I＋E,干電池在正常工作時(shí),可以看作電動勢不變.在較短的用電時(shí)間內(nèi),電池內(nèi)阻也可以看作不變.該直線與縱坐標(biāo)軸的交點(diǎn)數(shù)值表示斷路時(shí)的路端電壓,即電源電動勢E;這條直線與I軸的交點(diǎn)I0表示為短路電流.根據(jù)短路電流I0、電源內(nèi)阻r與電動勢E的函數(shù)關(guān)系可以求出電源的內(nèi)阻r與該直線斜率k的關(guān)系為k＝－r.測電源電動勢和內(nèi)阻是中學(xué)物理教學(xué)中重要的學(xué)生實(shí)驗(yàn)之一,教材中采用圖1-甲實(shí)驗(yàn)方案,即“伏安法”來測量,由此還可以衍生出“伏阻法”和“安阻法”.本實(shí)驗(yàn)的難點(diǎn)在于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理和誤差分析,問題的設(shè)置也往往在此,以檢測學(xué)生分析問題、解決問題的能力,提升學(xué)生物理學(xué)科核心素養(yǎng)中的科學(xué)思維.

1.2 課內(nèi)學(xué)生實(shí)驗(yàn)及誤差分析

人教版高中物理教材中采用如圖1-甲所示的實(shí)驗(yàn)裝置,測量干電池的電動勢E和內(nèi)阻r.設(shè)電壓表內(nèi)阻RV約為3kΩ,電流表內(nèi)阻RA約為0.1Ω,干電池內(nèi)阻r約為1.0Ω.

采用如圖1-甲所示電路,根據(jù)閉合電路的歐姆定律U＋可推導(dǎo)出其U-I圖象如圖3所示.而在處理數(shù)據(jù)時(shí),仍然認(rèn)為截距為電源電動勢,斜率的絕對值為電源內(nèi)阻,即.

圖3

因此由電壓表內(nèi)阻引起的系統(tǒng)相對誤差:

有的同學(xué)會提出疑問:為什么不考慮電流表的內(nèi)阻RA對系統(tǒng)誤差的影響呢?因?yàn)閳D1-甲中可以將電流表與滑動變阻器看成一個(gè)整體,通過改變滑動變阻器阻值來改變路端電壓.電壓表測得電源真實(shí)的路端電壓,通過電源真實(shí)電流I為電流表的示數(shù)與通過電壓表的電流之和.電流表僅起到測量該支路電流的作用,其內(nèi)阻不影響該實(shí)驗(yàn)方案的系統(tǒng)誤差.

圖4

如果采用圖1-乙所示的電路圖來測量干電池的電動勢和內(nèi)阻,根據(jù)閉合電路歐姆定律U＋I(xiàn)·(r＋RA)＝E,可知U＝－(r＋RA)·I＋E.該函數(shù)表達(dá)式的U-I圖象和理想U(xiǎn)-I圖象如圖4所示.而處理數(shù)據(jù)時(shí),仍然認(rèn)為截距為電源電動勢,斜率的絕對值為內(nèi)阻,即.

如果我們依然取電壓表內(nèi)阻RV約為3kΩ,電流表內(nèi)阻RA約為0.1Ω,干電池內(nèi)阻r約為1.0Ω,則由電流表內(nèi)阻引起的系統(tǒng)相對誤差為

有同學(xué)會提出疑問:在乙方案中,為什么不考慮電壓表內(nèi)阻RV對系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的影響呢?此方案中的電流表相當(dāng)于電源的一部分,r＋RA相當(dāng)于電源內(nèi)阻.電壓表測量的是該“等效電源”的路端電壓;電流表的示數(shù)為流經(jīng)該“等效電源”的電流值.該方案測得數(shù)據(jù)為該“等效電源”的理想U(xiǎn)-I圖象.該“等效電源”電動勢為E,內(nèi)阻為r＋RA.所以電壓表的內(nèi)阻不會引起實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)誤差.

2 高考實(shí)驗(yàn)遷移

2020年北京高考物理第16題如下:

用圖5所示的甲、乙兩種方法測量某電源的電動勢和內(nèi)阻(約為1Ω).其中R為電阻箱,電流表的內(nèi)阻約為0.1Ω,電壓表的內(nèi)阻約為3kΩ.

圖5

圖6

(1)利用圖5-甲實(shí)驗(yàn)電路測電源的電動勢E和內(nèi)阻r,實(shí)際測量的是圖6中虛線所示“等效電源”的電動勢E′和內(nèi)阻r′.若電流表內(nèi)阻用RA表示,請用E、r和RA表示出E′、r′,并簡要說明理由.

(2)某同學(xué)利用圖象分析圖5-甲、乙兩種方法中由電表內(nèi)阻引起的實(shí)驗(yàn)誤差.下面選項(xiàng)中,實(shí)線是根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(圖甲:U＝IR,圖乙:)描點(diǎn)作圖得到的U-I圖象;虛線是該電源的路端電壓U隨電流I變化的U-I圖象(沒有電表內(nèi)阻影響的理想情況).

在下面4個(gè)選項(xiàng)中,對應(yīng)圖5-甲電路分析的U-I圖象是______;對應(yīng)圖5-乙電路分析的U-I圖象是______.

(3)綜合上述分析,為了減小由電表內(nèi)阻引起的實(shí)驗(yàn)誤差,本實(shí)驗(yàn)應(yīng)選擇圖5中的________(填“甲”或“乙”).

解析

(1)電源電動勢為斷路時(shí)兩節(jié)點(diǎn)間的電壓值.因?yàn)閿嗦?電流為零,電流表電阻RA上無電壓,r上無電壓,所以該等效電源的電動勢E′＝E.當(dāng)兩端短路時(shí),短路電流短路電流還可表示為,等效電源的內(nèi)阻r′＝r＋RA.

(2)采用圖5-乙電路圖,根據(jù)閉合電路歐姆定律,該方案中用電壓表示數(shù)與電阻箱阻值之比得到電流值I,替換到歐姆定律表達(dá)式中,即與圖1中甲方案直接用一個(gè)電流表來測量相同,所以采用圖5-乙電路分析的U-I圖象是A.

與圖1-甲方案相比,2020年考題中只用了一塊電表,但滑動變阻器換成了電阻箱.因?yàn)殡娮柘渥柚悼芍苯幼x出,再根據(jù)歐姆定律就可以算出圖5-乙中流經(jīng)電阻箱的電流,或者算出圖5-甲中電阻箱兩端的電壓.圖1中甲、乙兩種實(shí)驗(yàn)方案分別與真題中該同學(xué)的實(shí)驗(yàn)方案乙、甲相對應(yīng),本質(zhì)上是相同的,由電表內(nèi)阻引起的實(shí)驗(yàn)誤差也相同.

由電壓表內(nèi)阻引起的系統(tǒng)相對誤差

與圖1中甲方案相同.如果電壓表內(nèi)阻越來越大,則實(shí)測U-I圖象越來越靠近理想U(xiǎn)-I圖象,當(dāng)電壓表內(nèi)阻趨于無限大時(shí),則兩圖線重合.

如采用圖5-甲實(shí)驗(yàn)方案,與圖1-乙中實(shí)驗(yàn)方案相對應(yīng),由電流表內(nèi)阻引起的系統(tǒng)相對誤差:.所以采用圖5-甲電路分析的U-I圖象是C.

隨著電流表內(nèi)阻的減小,實(shí)測U-I圖象越來越靠近理想U(xiǎn)-I圖象,當(dāng)電流表內(nèi)阻趨于零時(shí),則兩圖線重合.

(3)綜上所述,在測量干電池電動勢E和內(nèi)阻r時(shí),甲方案中電動勢E的測量不存在因電表內(nèi)阻引起的系統(tǒng)誤差,但內(nèi)阻r的測量系統(tǒng)誤差高達(dá)10%.乙方案雖然電動勢E和內(nèi)阻r的測量都存在系統(tǒng)誤差,但均只有,故選取方案乙.

3 課外實(shí)驗(yàn)拓展

3.1 戴維南定理

戴維南定理給出了等效電源的電動勢E′和內(nèi)阻r′的計(jì)算方法.這里E′為等效電源斷路時(shí),兩節(jié)點(diǎn)間的電勢差;r′為將電源短路,電源去掉,內(nèi)阻r仍保留在原位置,從兩節(jié)點(diǎn)看進(jìn)去的等效電阻.如某等效電源如圖7-甲所示,利用戴維南定理求該等效電源(圖7-乙)的電動勢E′和內(nèi)阻r′.求解等效電源的電動勢E′,AB斷路,則回路中電流如圖7-丙所示.

圖7

求解等效電源的內(nèi)阻r′,如圖8-丁所示,則

3.2 利用戴維南定理分析2020年北京高考物理第16題

圖5中甲、乙等效電源分別對應(yīng)圖8的情況.

圖8

圖8-甲的等效電動勢E′＝E;等效內(nèi)阻r′為RA和r的串聯(lián)電阻阻值,即r′＝RA＋r.圖8-乙的等效電動勢為等效內(nèi)阻r′為RV和r的并聯(lián)電阻阻值,即

3.3 拓展實(shí)驗(yàn)

測量水果電池的電動勢和內(nèi)阻.已知兩只蘋果串聯(lián)形成的電池電動勢E約1.5V,內(nèi)阻r很大約為3kΩ.實(shí)驗(yàn)器材:電壓表(0～3V,內(nèi)阻RV約3kΩ),微安表(0～500μA,內(nèi)阻RA約750Ω),電阻箱R(0～9999Ω),試分析如果仍然采取高考題給出的圖5中甲、乙兩種實(shí)驗(yàn)方案來測量該水果電池的電動勢和內(nèi)阻,其由于電表內(nèi)置帶來的相對誤差大約是多少?

采用圖5-甲實(shí)驗(yàn)方案25%.采用圖5-乙實(shí)驗(yàn)方案.

比較兩種實(shí)驗(yàn)方案,甲方案內(nèi)阻的測量相對誤差雖然小一些,但仍高達(dá)25%,因此兩種方案都不合適.

圖9

可以采用圖9-甲所示的電路圖,讀出一組數(shù)據(jù)R1、U1和I1,由歐姆定律U1＝(R1＋RA)·I1,可以先求出RA.利用圖9-乙方案作U-I圖象得到直線截距即水果電池的電動勢E及斜率k.由前述對圖9-乙的誤差分析可知,電源電動勢不存在系統(tǒng)誤差,而水果電池的內(nèi)阻r＝|k|－RA,完全消除電表內(nèi)阻帶來的系統(tǒng)誤差.

也可以先用圖9-乙所示的電路圖,讀出一組數(shù)據(jù)R2、U2和I2,由電壓表分流可知,先求出RV.再利用圖10-甲作U-I圖象,,得出該直線截距為b,斜率為k,即b＝,從而可求出兩種方案都可以有效消除電表內(nèi)阻帶來的系統(tǒng)誤差.