雙時滯非線性微分系統(tǒng)周期解的存在性與唯一性

黃明輝

(廣州城建職業(yè)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室,廣東廣州510925)

§1 引 言

微分系統(tǒng)周期解的存在性,唯一性,正解性在各種實際問題建模中有著廣泛的應(yīng)用,如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),生態(tài)學(xué)等,見[1-2].由于傳輸延時等時滯問題大量出現(xiàn)在圖像識別,動力學(xué)等領(lǐng)域中,因此時滯微分系統(tǒng)具有非常重要的研究意義.如文[3]研究具有雙時滯的非線性微分系統(tǒng)

應(yīng)用Krasnoselskii不動點定理得到系統(tǒng)(1)周期解的存在性,并應(yīng)有壓縮映射原理得到周期解唯一性的充分條件.文[4-5]運用相同的方法研究系統(tǒng)(1)的特殊形式,并得到周期解的存在性與唯一性.文[6-7]通過Krasnoselskii不動點定理考慮了具有無限時滯的非線性中立型微分系統(tǒng)周期解問題.文[8]運用相同的方法考慮了無窮時滯積分系統(tǒng)概周期解的存在唯一性.

利用積分變換與Krasnoselskii不動點定理,[9]研究了非線性積分微分系統(tǒng)周期解的存在性

并利用壓縮映射原理證明周期解的唯一性.

基于以上研究成果,本文研究較上述系統(tǒng)更一般的具有雙時滯的非線性中立型微分系統(tǒng)

其中A(·)和D(·,·)是n×n連續(xù)函數(shù)矩陣;F:Rn→Rn連續(xù);Q:R × Rn→Rn連續(xù);G:R×Rn×Rn→Rn連續(xù).

本文主要討論系統(tǒng)(3)周期解的存在性與唯一性.方法是根據(jù)Floquet理論及基本解矩陣概念,利用積分變換,將系統(tǒng)(3)轉(zhuǎn)化為新的表達(dá)式,再應(yīng)用Krasnoselskii不動點定理及Banach壓縮映射原理,得到系統(tǒng)(3)周期解存在性與唯一性的充分條件.

§2 預(yù)備知識

為方便討論,引入記號:

對T是非臨界的,若線性系統(tǒng)(4)除了平凡解x=0外,沒有周期為T的周期解.

定義2.2[6]假設(shè)矩陣K(t)的任意一列都構(gòu)成一組基本解,則K(t)稱為基本解矩陣.

引理2.3[3]設(shè)K(t)是系統(tǒng)(4)的基本解矩陣,且K(0)=I,其中I是n階單位矩陣,以下性質(zhì)成立

(a)根據(jù)Floquet定理,存在常數(shù)矩陣B,有K(t+T)=K(t)eTB.

(b)系統(tǒng)(4)是非臨界的,當(dāng)且僅當(dāng)det(I?K(t))0.

定理2.4[10](Krasnoselskii不動點定理)設(shè)M是Banach空間S中的有界凸閉非空子集,假設(shè)映射A1:M→M和A2:M→M滿足以下條件:

(i)對任意x,y∈M,有A1x+A2y∈M;

(ii)A1在M上是全連續(xù),A2在M上壓縮,則至少存在一個不動點z∈M,使得z=A1z+A2z.

§3 周期解的存在性和唯一性

在本節(jié)中,對系統(tǒng)(3)利用基本解矩陣與積分變換得到一個新的表達(dá)式.然后通過不動點定理得到系統(tǒng)周期解存在性與唯一性的充分條件.假設(shè):

(H1)A(t+T)=A(t),D(s+T,t+T)=D(s,t),τ(t+T)=τ(t)≥τ?>0,g(t+T)=g(t)≥g?>0,其中τ是二次連續(xù)可微函數(shù),τ?,g?是正常數(shù).

(H2)Q(t,x),G(t,x,y)對t是周期為T的周期函數(shù).

(H3)設(shè)t∈R,x,y,z,w∈Rn,Q(t,x),F(x)和G(t,x,y)對x和x,y是全局Lipschitz連續(xù)函數(shù),即存在正常數(shù)k1,k2,k3,k4,使得