非牛頓流體管道流動(dòng)方程及其近似解

蘭文濤，吳愛祥

(1.北京科技大學(xué) 土木與資源工程學(xué)院，北京 100083； 2.金屬礦山高效開采與安全教育部重點(diǎn)試驗(yàn)室(北京科技大學(xué))，北京 100083)

如何將地表堆積固體廢棄物安全高效的回填至充填采空區(qū)，是充填采礦法的核心工程問題之一.在長(zhǎng)期的充填實(shí)踐中，人們逐漸認(rèn)識(shí)到水力管道輸送模式與機(jī)械搬運(yùn)模式相比，具有成本低、效率高和工藝簡(jiǎn)單等諸多經(jīng)濟(jì)技術(shù)優(yōu)勢(shì)[1-2].管道輸送工藝也已成為充填采礦技術(shù)的最重要的核心工藝環(huán)節(jié)[3].

管道輸送工藝應(yīng)用過程中，由于充填原材料物化性質(zhì)的不同，所制備的充填漿體有不同的流變特性和流變參數(shù).具備不同流變特性和流變參數(shù)的充填漿體在不同壓差、管徑和管路長(zhǎng)度條件下的充填流量和沿程阻力計(jì)算結(jié)果，是充填配比優(yōu)化、充填系統(tǒng)設(shè)計(jì)、泵送設(shè)備選型和充填管道選型的必要依據(jù).只有準(zhǔn)確確定充填料漿的流變參數(shù)、利用準(zhǔn)確的流動(dòng)方程才能準(zhǔn)確計(jì)算不同工況下充填料漿的管道流量和沿程阻力，保證充填系統(tǒng)的安全運(yùn)行.

目前關(guān)于充填料漿管道輸送基礎(chǔ)理論的研究嚴(yán)重滯后于技術(shù)發(fā)展[4].充填料漿一般為固液兩相流，在固體質(zhì)量分?jǐn)?shù)低時(shí)表現(xiàn)為非均質(zhì)流體，固體質(zhì)量分?jǐn)?shù)高時(shí)表現(xiàn)為均質(zhì)流體[5-6].對(duì)于低固體質(zhì)量分?jǐn)?shù)的非均質(zhì)充填料漿，在管道流動(dòng)時(shí)絕大多數(shù)情況下為湍流，只能通過大量的試驗(yàn)得到經(jīng)驗(yàn)方程，無法獲取準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型[7].隨著膏體充填技術(shù)的發(fā)展和推廣，礦山企業(yè)逐漸意識(shí)到充填固體質(zhì)量分?jǐn)?shù)的提高對(duì)降低充填材料成本和保護(hù)環(huán)境的顯著作用，充填漿體也由非均質(zhì)流體向均質(zhì)膏體轉(zhuǎn)變，均質(zhì)充填漿體管道輸送的問題越來越多被廣大礦山企業(yè)和研究單位所關(guān)注，其中以牛頓流體和非牛頓流體中的賓漢體作為本構(gòu)模型的充填漿體管道流動(dòng)方程應(yīng)用最為廣泛，上述兩個(gè)本構(gòu)模型所推導(dǎo)的流動(dòng)方程分別為Poiseuille定律和Buckingham流動(dòng)方程[8].由于均質(zhì)充填料漿工況的復(fù)雜性[9-10]，牛頓流體和賓漢體本構(gòu)模型通常并不精確[11-12]，而較為精確的冪率模型所得出的流動(dòng)方程形式復(fù)雜、計(jì)算量大，不易進(jìn)行工程應(yīng)用，而盲目采用牛頓流體和賓漢體本構(gòu)模型所得出的流動(dòng)方程計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際測(cè)量結(jié)果常常存在較大誤差，進(jìn)而導(dǎo)致在充填過程中常常發(fā)生堵管事故，影響井下采礦效率[13].

針對(duì)上述問題，本文力圖推導(dǎo)出具有普適性的非牛頓流體管道流動(dòng)方程，使之適用于所有流型的非牛頓流體，從而能夠有效指導(dǎo)充填料漿管道輸送工程實(shí)踐.為了便于現(xiàn)場(chǎng)工作人員應(yīng)用，本文進(jìn)一步推導(dǎo)出非牛頓流體沿程阻力和管道流量方程的近似表達(dá)式，大幅度的降低了計(jì)算量，簡(jiǎn)化了計(jì)算過程.

1 核心內(nèi)容及研究路線

本文核心內(nèi)容是根據(jù)流變學(xué)以及流體力學(xué)理論，推導(dǎo)非牛頓流體管道流動(dòng)方程與近似管道流量方程，建立非牛頓流體充填料漿流變參數(shù)與管道壓差、管徑、管路長(zhǎng)度及充填流量的函數(shù)關(guān)系，并通過管道試驗(yàn)驗(yàn)證近似管道流量方程的準(zhǔn)確性.具體研究路線如圖1所示.

圖1 本文的研究路線

2 非牛頓流體管道層流流動(dòng)方程

2.1 流速分布方程

充填料漿的本構(gòu)模型采用可涵蓋絕大多數(shù)常見非牛頓流體的冪率模型[14-21]，即

式中：τ為剪應(yīng)力；τB為流變參數(shù)中的屈服應(yīng)力；K為流變參數(shù)中的稠度系數(shù)；n為流變參數(shù)中的冪率指數(shù)；du/dr為速度梯度.

由冪率模型的定義可得：

(1)

流體在一定壓差作用下在管道內(nèi)的剪應(yīng)力分布如圖2所示.

圖2 流體在圓管內(nèi)的剪應(yīng)力分布

對(duì)管壁內(nèi)半徑為R的流體部分，進(jìn)行靜力平衡分析可得：

ΔP·πR2-2πRL·τw=0.

式中：ΔP為管道兩端壓差；R為管道半徑；L為管路長(zhǎng)度；τw為管壁四周的剪切應(yīng)力.

同理，對(duì)任意半徑為r的流體部分，進(jìn)行靜力平衡分析可得:

ΔP·πr2-2πrL·τ=0.

(2)

式中：ΔP為圓柱體兩端壓差；r為圓柱體半徑；L為圓柱體長(zhǎng)度；τ為圓柱體的剪切應(yīng)力.

將式(2)代入式(1)可得:

(3)

對(duì)式(3)兩邊分離變量，并進(jìn)行積分可得:

(4)

式中C為常數(shù).根據(jù)邊界條件，r=R時(shí)，u=0，可求得常數(shù)C的數(shù)值為

將常數(shù)C代入式(4)可得流體在管道內(nèi)的任一流層的速度分布u為

當(dāng)考慮τB存在情況時(shí)，流體在管道內(nèi)的速度分布如圖3所示.

圖3 流體在圓管內(nèi)的層流流動(dòng)

當(dāng)τB不為0時(shí)，管道中柱塞流區(qū)和剪切流區(qū)同時(shí)存在，柱塞流區(qū)和剪切流區(qū)的特征為：在柱塞流區(qū)r0內(nèi)，各流層的速度相等且最大；在剪切流區(qū)各流層的速度不等，且越靠近管壁速度越小.

2.2 管道流量方程

管道流量即管道流速與管道截面積的乘積，因此管道流量可用管道內(nèi)流體速度分布方程進(jìn)行積分求得，即

積分后可得流量Q的表達(dá)式為

(5)

式(5)即非牛頓流體管道流動(dòng)方程.可見只要能夠準(zhǔn)確確定充填料漿的流變參數(shù)，就通過該方程能準(zhǔn)確計(jì)算充填漿體在不同壓差、管徑和管路長(zhǎng)度條件下的充填流量.反之，如果只要能夠通過簡(jiǎn)單的管道試驗(yàn)(L管、傾斜管或環(huán)管等)準(zhǔn)確測(cè)定充填漿體在不同壓差、管徑或管路長(zhǎng)度條件下的充填流量，也就可以通過以該方程所構(gòu)建的非牛頓流體管道流動(dòng)方程組準(zhǔn)確的反向求解流變參數(shù).

當(dāng)n=1時(shí)，τB不等于0時(shí)，為Buckingham流體，此時(shí)式(5)可簡(jiǎn)化為

(6)

漿體流速v的計(jì)算公式為

(7)

聯(lián)立式(2)、(6)、(7)可得Buckingham流動(dòng)方程:

當(dāng)n≠1時(shí)，τB=0時(shí)，為假塑性流體或脹塑性流體，此時(shí)式(5)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

當(dāng)n=1時(shí)，τB=0時(shí)，為牛頓流體，此時(shí)式(5)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為Poiseuille定律:

2.3 過渡流速方程

非牛頓流體管道流動(dòng)方程僅適用于管道層流，對(duì)于非層流狀態(tài)的管道流動(dòng)，本方程并不適用.為了對(duì)管道流動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行判別，需要引入雷諾數(shù)并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出過渡流速方程，明確非牛頓流體管道流動(dòng)方程的適用條件，從而實(shí)現(xiàn)料漿流態(tài)的準(zhǔn)確判別和管道流動(dòng)方程的正確應(yīng)用.

雷諾數(shù)Re計(jì)算公式為

(8)

式中：D(2R)為管道直徑；η為料漿表觀黏度；v為料漿平均流速；ρm為料漿比重.

根據(jù)式(8)可見，表觀黏度越小，雷諾數(shù)越大.表觀黏度是指在一定速度梯度下，用相應(yīng)的剪切應(yīng)力除以剪切速率所得的商.表觀黏度η的定義為

(9)

聯(lián)立式(3)、(9)可得非牛頓流體在管道內(nèi)的表觀黏度分布為

(10)

由式(10)可知r=R時(shí)，η有最小值，由于η與Re負(fù)相關(guān)，此時(shí)Re有最大值.即管壁處的雷諾數(shù)滿足層流狀態(tài)時(shí)，管道內(nèi)任意位置也滿足層流狀態(tài).

為求解管壁處的雷諾數(shù)，取r=R，同時(shí)聯(lián)立式(7)、(8)、(10)可得非牛頓流體管道流動(dòng)雷諾數(shù)Re的最大值為

(11)

方程(11)即非牛頓流體過渡流速方程，當(dāng)非牛頓流體在管道內(nèi)流動(dòng)時(shí)，根據(jù)方程(11)計(jì)算得雷諾數(shù)Re的最大值小于2 300時(shí)，充填漿體在管道內(nèi)才全部呈現(xiàn)層流狀態(tài)，此時(shí)本文推導(dǎo)的非牛頓流體管道流動(dòng)方程才能成立.

2.4 近似管道流量方程

由于本文推導(dǎo)的非牛頓流體管道流量方程形式復(fù)雜、計(jì)算量極大，為了便于現(xiàn)場(chǎng)工作人員應(yīng)用，需要對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化以減少計(jì)算量、簡(jiǎn)化計(jì)算過程.

在礦山常見工況條件下(0 Pa<τB<100 Pa、3.6 MPa<ΔP<7.2 MPa、900 m

由圖4可見，均質(zhì)充填漿體在常見管道輸送工況條件下，其實(shí)際壁面剪切速率與管道平均流速正相關(guān)、與管道直徑負(fù)相關(guān)，且du/dr≈8v/D.由于管壁處du/dr≈8v/D，即

(12)

將8v/D替換為4v/R，聯(lián)立式(7)、(12)并化簡(jiǎn)后可得：

(13)

式(13)即非牛頓流體近似管道流量方程.通過該方程能近似計(jì)算已知流變參數(shù)的充填漿體在不同壓差、管徑和管路長(zhǎng)度條件下的充填流量.反之，也可以通過該方程所構(gòu)建的近似管道流動(dòng)方程組反向近似求解流變參數(shù).

圖4 常見工況du/dr與8v/D數(shù)值對(duì)比

3 試 驗(yàn)

3.1 試驗(yàn)材料

試驗(yàn)中采用礦山全尾砂、325普通硅酸鹽水泥混合制備非牛頓流體充填料漿.礦山全尾砂取自某銅礦山尾礦庫，體積質(zhì)量為2 670 kg/m3，容重為1 392 kg/m3，孔隙率為47.87%.圖5為該礦山銅尾砂及水泥的粒徑分布圖，全尾砂中-74 μm篩下顆?？偭空急葹?0.85%，-37 μm占比46.96%，水泥中的細(xì)顆粒含量占比尾砂更大，可以看出該礦山尾砂及水泥粒徑較細(xì)，適于制備均質(zhì)充填料漿.試驗(yàn)材料的化學(xué)成分分析可參考文獻(xiàn)[22]，此處不再贅述.

圖5 水泥和尾砂的粒徑分布

按照11%的水泥摻量與水、尾砂混合，強(qiáng)力攪拌制備為充填料漿，所制備的充填料漿基本物理性質(zhì)見表1.

表1 充填料漿基本物理性質(zhì)

3.2 試驗(yàn)裝置

試驗(yàn)系統(tǒng)是由深錐濃密機(jī)、可儲(chǔ)存水泥的微粉稱、一級(jí)攪拌機(jī)、二級(jí)攪拌機(jī)、膏體柱塞泵、充填管道、壓力傳感器和上位機(jī)構(gòu)成的環(huán)管實(shí)驗(yàn)裝置，如圖6所示.

該環(huán)管裝置設(shè)置的充填管道內(nèi)徑為Φ150 mm.為監(jiān)測(cè)管內(nèi)壓力，共設(shè)置壓力表2塊，分別標(biāo)記為P1、P2號(hào)壓力表，P1與P2號(hào)壓力表之間管道長(zhǎng)度為26 m，為監(jiān)測(cè)管道流量，在柱塞泵與管道接口法蘭處布設(shè)OPTIFLUX 4300C型流量計(jì).

圖6 環(huán)管試驗(yàn)裝置系統(tǒng)布置

3.3 試驗(yàn)原理

由于本文試驗(yàn)采用固定式環(huán)管試驗(yàn)裝置，其管徑R、充填管路長(zhǎng)度L不變，通過膏體泵改變不同的管道兩端壓差ΔP1、ΔP2和ΔP3，測(cè)出口斷面流量Q1、Q2、Q3，代入下式(14)，通過解方程組，即可求得料漿的屈服應(yīng)力τB、稠度系數(shù)K和冪率指數(shù)n.將試驗(yàn)參數(shù)代入下式得到充填料漿流變參數(shù)的數(shù)值解以后，將屈服應(yīng)力τB、稠度系數(shù)K和冪率指數(shù)n的數(shù)值代入式(11)判別其是否為層流，當(dāng)Re<2 300時(shí)，為層流，此時(shí)流動(dòng)方程成立.

以近似解方法求解流變參數(shù)近似解的原理與解析解一致，對(duì)于本文試驗(yàn)采用的試驗(yàn)裝置，其管徑R、充填管路長(zhǎng)度L不變，通過膏體泵改變不同的管道兩端壓差ΔP1、ΔP2和ΔP3，測(cè)出口斷面流量Q1、Q2、Q3，代入下式，通過解方程組，即可求得料漿的3個(gè)流變參數(shù)即屈服應(yīng)力τB、稠度系數(shù)K和冪率指數(shù)n的近似解，將近似解方法所求得的流變參數(shù)數(shù)值與解析解所得流變參數(shù)數(shù)值對(duì)比，考察其差異.

(15)

4 結(jié)果與討論

利用環(huán)管試驗(yàn)裝置在不同ΔP條件下以某充填配比所制備的充填料漿測(cè)得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果見表2.

將表2試驗(yàn)數(shù)據(jù)與試驗(yàn)裝置參數(shù)分別代入方程組(14)、(15)，進(jìn)行流變參數(shù)解析解和近似解的計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見表3.

表3 試驗(yàn)料漿流變參數(shù)

將表2試驗(yàn)數(shù)據(jù)、試驗(yàn)裝置參數(shù)和表3中流變參數(shù)的解析解代入方程(11)，可得試驗(yàn)中ΔP1、ΔP2和ΔP3在3組試驗(yàn)條件下的Re分別為287.8、143.7和29.6.由于3組實(shí)驗(yàn)中Re遠(yuǎn)小于2 300，所以3組管道試驗(yàn)中料漿均為層流狀態(tài)，流動(dòng)方程成立.

在3.6 MPa<ΔP<7.2 MPa、900 m

5 結(jié) 論

1)含屈服應(yīng)力的非牛頓流體在管道內(nèi)流動(dòng)時(shí)，柱塞流區(qū)和剪切流區(qū)同時(shí)存在，柱塞流區(qū)和剪切流區(qū)各流層的流速、剪應(yīng)力、表觀黏度和管道流量等與管道參數(shù)及流變參數(shù)有明確的數(shù)學(xué)關(guān)系，通過本文非牛頓流體管道流動(dòng)方程及方程組可對(duì)充填參數(shù)或流變參數(shù)等進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算.

2)均質(zhì)充填漿體在常見管道輸送工況條件下，其實(shí)際壁面剪切速率與管道平均流速正相關(guān)、與管道直徑負(fù)相關(guān).本文根據(jù)這一現(xiàn)象，通過近似計(jì)算，將非牛頓流體管道流動(dòng)方程進(jìn)行了簡(jiǎn)化，推導(dǎo)出了較為準(zhǔn)確的非牛頓流體近似管道流量方程，該方程計(jì)算量較小、計(jì)算過程簡(jiǎn)單，對(duì)于現(xiàn)場(chǎng)工程應(yīng)用有較高的實(shí)用價(jià)值.

圖7 精確解法與近似解法的三維圖像對(duì)比

3)采用工業(yè)級(jí)環(huán)管管道試驗(yàn)系統(tǒng)對(duì)非牛頓流體充填料漿的流變參數(shù)進(jìn)行測(cè)定.基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)和方程可視化方法繪制的三維圖像對(duì)比表明本文所推導(dǎo)的非牛頓流體管道流動(dòng)方程解析解法與近似解法所得結(jié)果基本一致，可供廣大礦山工作人員參考.