改進(jìn)的雙曲正切函數(shù)的變步長(zhǎng)LMS 算法

章堅(jiān)武，余皓，章謙驊

（1.杭州電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院，浙江 杭州 310018；2.之江實(shí)驗(yàn)室智能網(wǎng)絡(luò)研究中心，浙江 杭州 311121）

1 引言

隨著現(xiàn)代通信技術(shù)的發(fā)展，毫米波通信以及同時(shí)同頻全雙工通信是目前5G 研究中的熱點(diǎn)研究領(lǐng)域[1-2]。在這些研究領(lǐng)域中，為更好地進(jìn)行高指向性波束校準(zhǔn)以及相應(yīng)的信號(hào)檢測(cè)，需要進(jìn)行干擾噪聲的自適應(yīng)對(duì)消，該類問(wèn)題是目前的研究難點(diǎn)之一。Widrow 等[3]最早在20 世紀(jì)80 年代提出了最小均方誤差（LMS,least mean square）算法，LMS 算法具有計(jì)算簡(jiǎn)便、實(shí)現(xiàn)難度低、適應(yīng)能力強(qiáng)等特點(diǎn)，在雷達(dá)波束成形、干擾噪聲自適應(yīng)對(duì)消和新一代移動(dòng)通信技術(shù)等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用[4-8]。

傳統(tǒng)LMS 算法的步長(zhǎng)為定值（下文稱為定步長(zhǎng)LMS 算法），不能同時(shí)滿足快速收斂和低穩(wěn)態(tài)誤差的要求。鑒于此，為了改善定步長(zhǎng)LMS 算法的性能，研究者開(kāi)展了大量的研究。文獻(xiàn)[9]提出了基于S 函數(shù)的變步長(zhǎng)LMS 算法，該算法利用S 函數(shù)控制步長(zhǎng)變化，使步長(zhǎng)因子在收斂初期取得一個(gè)較大值，在接近或達(dá)到收斂時(shí)，賦予步長(zhǎng)因子一個(gè)較小值。相較于定步長(zhǎng)LMS 算法，變步長(zhǎng)LMS 算法具有更快的收斂速度和更低的穩(wěn)態(tài)誤差。但在趨于收斂時(shí)，由于S 函數(shù)的特性，該算法在接近原點(diǎn)時(shí)曲線過(guò)于陡峭，會(huì)導(dǎo)致步長(zhǎng)因子取值迅速變化，使算法在穩(wěn)態(tài)時(shí)的誤差變大。文獻(xiàn)[10]將S 函數(shù)經(jīng)過(guò)平移翻轉(zhuǎn)變換，并引入?yún)?shù)改善了S 函數(shù)的底部變化，獲得了較好的性能，但由于該算法模型過(guò)于復(fù)雜，影響了算法的靈活性。文獻(xiàn)[11]則基于具有S函數(shù)曲線特性的Q 函數(shù)，并利用補(bǔ)償項(xiàng)的相對(duì)誤差互相關(guān)函數(shù)控制步長(zhǎng)的更新，提出了一種新的變步長(zhǎng)LMS 算法，由于Q 函數(shù)的特性，該算法同樣面臨著收斂時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差大的問(wèn)題。文獻(xiàn)[12]使用了梯度的統(tǒng)計(jì)平均控制步長(zhǎng)因子，提高了算法的收斂速度并獲得了較好的穩(wěn)態(tài)誤差性能，不足是該算法的抗干擾性能較差，且引入的判斷門限使算法的復(fù)雜度過(guò)高。文獻(xiàn)[13]通過(guò)引入指數(shù)函數(shù)，提出了基于指數(shù)函數(shù)的變步長(zhǎng)算法，但該算法在運(yùn)行過(guò)程中使用了過(guò)多的指數(shù)運(yùn)算，同樣導(dǎo)致算法的復(fù)雜度過(guò)高。文獻(xiàn)[14]在文獻(xiàn)[13]的基礎(chǔ)上，將其中的變步長(zhǎng)方法用于部分濾波加權(quán)系數(shù)的更新，提高了收斂速度，并降低了復(fù)雜度。然而，在低信噪比環(huán)境下，該算法在接近收斂時(shí)的步長(zhǎng)較大，導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)性能較差。文獻(xiàn)[15-16]則建立了步長(zhǎng)因子與迭代次數(shù)的非線性關(guān)系，可以提高算法的收斂速度，同時(shí)改善了抗干擾性能，但它們的跟蹤性能卻明顯不足。

綜上所述，已有的變步長(zhǎng)算法不能同時(shí)較好地解決噪聲干擾、系統(tǒng)跟蹤性能差、穩(wěn)態(tài)誤差較高等問(wèn)題。為了解決以上問(wèn)題，本文提出了基于改進(jìn)雙曲正切函數(shù)的變步長(zhǎng)LMS 算法（IVSSLMS,improved variable step-size LMS），該算法在雙曲正切函數(shù)的基礎(chǔ)上，利用誤差信號(hào)的相關(guān)值和步長(zhǎng)反饋因子，共同調(diào)節(jié)步長(zhǎng)因子的取值，使算法在保證快速收斂的同時(shí)，降低穩(wěn)態(tài)誤差，并提高了算法的系統(tǒng)跟蹤性能。與已有變步長(zhǎng)算法對(duì)比，本文所提算法具有更優(yōu)異的性能。

2 定步長(zhǎng)LMS 算法

自適應(yīng)濾波器的原理框架如圖1 所示。輸入信號(hào)x(n)經(jīng)過(guò)未知系統(tǒng)與外界噪聲v(n)疊加后形成期望信號(hào)d(n)，x(n)經(jīng)過(guò)自適應(yīng)濾波器后的輸出信號(hào)為y(n)。將期望信號(hào)d(n)與輸出信號(hào)y(n)相減得到誤差信號(hào)e(n)。e(n)反饋給自適應(yīng)濾波器來(lái)更新自適應(yīng)濾波器的加權(quán)系數(shù)向量，使更新后的輸出信號(hào)更加接近于期望信號(hào)，從而達(dá)到自適應(yīng)濾波的目的。

圖1 自適應(yīng)濾波器原理框架

自適應(yīng)濾波器的輸出信號(hào)y(n) 為

其中，X(n)=[x(n),x(n?1),…,x(n?M+1)]T，W(n)=[w(n),w(n?1),…,w(n?M+1)]T均為自適應(yīng)濾波器的加權(quán)系數(shù)向量，M為自適應(yīng)濾波器的階數(shù)。誤差信號(hào)e(n)為期望信號(hào)與自適應(yīng)濾波器輸出信號(hào)之差，其值為

誤差信號(hào)的均方誤差（MSE,mean square error）E[e2(n)]為

LMS 算法自適應(yīng)濾波器的加權(quán)系數(shù)更新式為

其中，μ為步長(zhǎng)因子，其值為常數(shù)；?(·)為求梯度。

對(duì)均方誤差的梯度向量?I進(jìn)行估計(jì)，如式(5)所示。

聯(lián)立式(4)和式(5)可得

定步長(zhǎng)的LMS 算法的流程為

由文獻(xiàn)[1]可知，LMS 算法的收斂條件為

其中，λmax為自適應(yīng)濾波器輸入信號(hào)自相關(guān)矩陣的最大特征值。

3 改進(jìn)的變步長(zhǎng)LMS 算法

傳統(tǒng)的定步長(zhǎng)LMS 算法中步長(zhǎng)因子為恒定值，不能同時(shí)改善收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差性能，為了解決這種問(wèn)題，各種變步長(zhǎng)算法被提出。覃景繁等[17]給出的步長(zhǎng)選取原則為步長(zhǎng)因子在算法初期應(yīng)取得一個(gè)較大值，使算法能夠快速收斂，當(dāng)算法趨于收斂時(shí)，使步長(zhǎng)因子取得一個(gè)較小值，以減小穩(wěn)態(tài)誤差。

由于步長(zhǎng)因子為正值，將式(11)變成偶函數(shù)，即

文獻(xiàn)[18]在雙曲正切函數(shù)的基礎(chǔ)上，利用誤差信號(hào)的相關(guān)值e(n)e(n-1)，代替e(n)減小了隨機(jī)噪聲的干擾，并通過(guò)引入?yún)?shù)改善了步長(zhǎng)因子的底部特性，一定程度上解決了定步長(zhǎng)LMS 算法的缺陷。但該算法的系統(tǒng)跟蹤能力略顯不足，因此，為了加強(qiáng)步長(zhǎng)與輸入信號(hào)的關(guān)系，使算法具有良好的跟蹤能力，本文在文獻(xiàn)[18]的基礎(chǔ)上加入一個(gè)步長(zhǎng)反饋因子J(n)，J(n)的表達(dá)式如式(13)所示。

將誤差信號(hào)的相關(guān)值e(n)e(n?1)代替e(n)，并把J(n)的二范數(shù)作為自變量代入式(12)中，得到式(14)。

為防止輸入信號(hào)功率突然增大導(dǎo)致算法發(fā)散，在加權(quán)系數(shù)向量更新時(shí)，加入“歸一化”算法對(duì)μ(n)進(jìn)行限制，即

其中，φ是為了避免分母過(guò)小而設(shè)置的常數(shù)，取值為0.01。

至此，IVSSLMS 算法流程可總結(jié)為

由式(18)可知，當(dāng)e(n)→0時(shí)，；當(dāng)e(n)→∞時(shí)，，即μ(n)的最大值為α。由式(10)可得，IVSSLMS 算法的收斂條件為

4 算法理論分析

4.1 參數(shù)選擇

本節(jié)通過(guò)誤差函數(shù)與步長(zhǎng)因子的關(guān)系曲線，將IVSSLMS 算法中參數(shù)對(duì)步長(zhǎng)的影響進(jìn)行討論分析，關(guān)系曲線如圖2 所示。其中，圖2(a)為β=20、m=600、k=0.6，α分別為0.1、0.2、0.3 時(shí)的步長(zhǎng)曲線；圖2(b)為α=0.3、m=600、k=0.6，β分別為15、25、50時(shí)的步長(zhǎng)曲線；圖2(c)為α=0.3、β=20、k=0.6，m分別取60、600、6 000 時(shí)的步長(zhǎng)曲線；圖2(d)為α=0.3、β=20、m=600，k取0.3、0.6、0.9 時(shí)的步長(zhǎng)曲線。

從圖2 可以看出，參數(shù)α對(duì)步長(zhǎng)的取值起到了至關(guān)重要的作用。隨著α的增大，步長(zhǎng)的取值也較大，即在滿足式(20)的情況下，較大的α能獲得較大的步長(zhǎng)，算法能獲得較高的收斂速度。

參數(shù)β、m、k對(duì)步長(zhǎng)函數(shù)的形狀影響較大。可以看到，β越小，m越大，k越小，則在同一誤差值下，步長(zhǎng)的取值越小。另外，由圖2(d)可以看出，若k選的過(guò)大，誤差信號(hào)還未為0 時(shí)，步長(zhǎng)因子就已經(jīng)為0 或幾乎為0，這將嚴(yán)重減緩算法的收斂速度。因此，在實(shí)際的工程運(yùn)用中，需要對(duì)α、β、m、k的取值進(jìn)行折中考慮。

圖2 各參數(shù)變化時(shí)μ(n)與e(n)曲線

4.2 算法抗干擾性分析

式(18)中涉及隨機(jī)性的因子只有e(n)e(n-1)||J(n)||2，采用統(tǒng)計(jì)平均來(lái)分析系統(tǒng)的抗干擾能力。步長(zhǎng)反饋因子J(n)=kJ(n?1)+e(n)X(n)，其中，J(0)為零向量，將步長(zhǎng)反饋因子進(jìn)行簡(jiǎn)化得到

計(jì)算e(n)e(n-1)||J(n)||2的期望為

由式(22)可以得到，當(dāng)i≠j時(shí)，由于0＜k＜ 1，n→∞，E{e(n)e(n?1)||J(n)||2}=0，即此時(shí)的步長(zhǎng)變化對(duì)算法沒(méi)有干擾。

當(dāng)i=j時(shí)，式(22)可以寫成

由式(23)可知，系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)平均特性不含噪聲v(n)，系統(tǒng)不受獨(dú)立噪聲v(n)的影響。因此IVSSLMS算法利用調(diào)節(jié)步長(zhǎng)因子可以提高算法的抗干擾能力。

5 仿真分析研究

5.1 算法參數(shù)對(duì)性能的影響分析

本文的所有仿真在MATLAB R2016a 軟件下進(jìn)行。設(shè)自適應(yīng)濾波器的階數(shù)M=6，假設(shè)未知系統(tǒng)為橫向FIR（finite impulse response）結(jié)構(gòu)，抽頭系數(shù)為[?0.580 6,0.653 7,?0.322 3,0.657 7,?0.058 2,0.289 5]，在迭代次數(shù)N=500 時(shí)將系統(tǒng)的抽頭系數(shù)設(shè)置為[?0.580 6,0.485 6,?0.238 7,0.159 6,?0.325 4,0.102 5]。假設(shè)自適應(yīng)濾波器的輸入信號(hào)x(n)和干擾噪聲v(n)均為0 均值的高斯白噪聲，x(n)的方差為1，v(n)的方差為0.001，即信噪比為30 dB。系統(tǒng)的取樣點(diǎn)數(shù)為1 000，每條學(xué)習(xí)曲線均為200 次獨(dú)立仿真后求其統(tǒng)計(jì)平均的結(jié)果。參數(shù)α和β變化時(shí)的學(xué)習(xí)曲線如圖3 所示。

圖3(a)是β=3 000、m=10、k=0.9，α分別取0.1、0.5、0.8、1.0、1.5 時(shí)的學(xué)習(xí)曲線。分析圖3(a)可知，在α從0.1 增加到1.5 的過(guò)程中，算法的收斂速度越來(lái)越快，但穩(wěn)態(tài)誤差也相應(yīng)提高。當(dāng)α=0.1 時(shí)，算法達(dá)到穩(wěn)態(tài)的次數(shù)為200 左右；當(dāng)α=1.5 時(shí)，算法達(dá)到穩(wěn)態(tài)的次數(shù)為50 左右，但α=1.5 時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差較大。經(jīng)過(guò)仿真驗(yàn)證，α為0.8 左右時(shí)算法性能較優(yōu)異。在工程應(yīng)用中，α的取值首先需要分析輸入信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，其次還要使α值滿足式(20)。

圖3(b)是α=0.8、m=10、k=0.9，β分別取2、25、200、3 500、40 000 時(shí)的學(xué)習(xí)曲線。分析圖3(b)可知，隨著β的增大，算法的穩(wěn)態(tài)誤差和收斂效果都逐漸變好。當(dāng)β分別為3 500 和40 000 時(shí)，兩者的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差接近。為了降低系統(tǒng)的計(jì)算量，提高算法的運(yùn)行速度，經(jīng)過(guò)仿真驗(yàn)證，β為3 500左右時(shí)算法性能較優(yōu)異。

圖3 參數(shù)α 和β 變化時(shí)的迭代次數(shù)與均方誤差曲線

參數(shù)m和k變化時(shí)的學(xué)習(xí)曲線如圖4 所示。

圖4(a)是α=0.8、β=3 000、k=0.9，m分別取1、15、150、5 000、10 000 時(shí)的學(xué)習(xí)曲線，分析圖4(a)可知，m=1 時(shí)的學(xué)習(xí)曲線與m=15 時(shí)學(xué)習(xí)曲線的收斂速度相近，但m=15 時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差較低。經(jīng)過(guò)仿真驗(yàn)證，m為15 左右時(shí)算法性能較優(yōu)異。

圖4(b)是α=0.8、β=3 000、m=1 000，k分別取0.6、0.7、0.8、0.9、1.5 時(shí)的學(xué)習(xí)曲線，分析圖4(b)可知，參數(shù)k越大，對(duì)應(yīng)算法趨于穩(wěn)態(tài)時(shí)的誤差越小。但k的值過(guò)大會(huì)導(dǎo)致算法的收斂速度降低，如k=1.5 所示。經(jīng)過(guò)仿真驗(yàn)證，k為0.9 左右時(shí)算法性能較優(yōu)異。

圖4 參數(shù)m 和k 變化時(shí)的迭代次數(shù)與均方誤差曲線

5.2 算法穩(wěn)健性分析

本節(jié)將分析IVSSLMS 算法的穩(wěn)健性，仿真設(shè)置的環(huán)境與5.1 節(jié)設(shè)置的環(huán)境相同，算法參數(shù)設(shè)置為α=0.85、β=3 500、k=0.9、m=15。不同信噪比下算法的學(xué)習(xí)曲線如圖5 所示。

圖5 不同信噪比下的學(xué)習(xí)曲線

由圖5 可知，在IVSSLMS 算法達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，隨著系統(tǒng)參數(shù)的改變，IVSSLMS 算法仍可以快速恢復(fù)到收斂狀態(tài)，這表明IVSSLMS 算法具有較好的跟蹤能力。在低信噪比條件下，IVSSLMS 算法仍可以保持良好的性能，這表明IVSSLMS 算法具有良好的穩(wěn)健性。

6 多種變步長(zhǎng)LMS 算法性能對(duì)比

本節(jié)將IVSSLMS 算法與文獻(xiàn)[18-21]這幾種變步長(zhǎng)算法在信噪比分別為30 dB 和15 dB 時(shí)進(jìn)行仿真，仿真設(shè)置的環(huán)境與5.1 節(jié)設(shè)置的環(huán)境相同。幾種變長(zhǎng)算法對(duì)比如表1 所示。

系統(tǒng)取樣點(diǎn)為1 000、每條曲線均為200 次獨(dú)立仿真后取平均的結(jié)果，仿真結(jié)果如圖6 所示。

由圖 6(a)可知，當(dāng)信噪比為 30 dB 時(shí)，IVSSLMS 算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差性能均明顯高于其他4 種變步長(zhǎng)LMS 算法，文獻(xiàn)[18]算法在系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)生變化時(shí)，收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差性能均受到嚴(yán)重影響，表明該算法的系統(tǒng)跟蹤能力較差。文獻(xiàn)[19]算法的穩(wěn)態(tài)誤差較高。文獻(xiàn)[20]算法的收斂速度快于文獻(xiàn)[21]算法，但穩(wěn)態(tài)誤差高于文獻(xiàn)[21]算法。由圖6(b)可知，當(dāng)信噪比為15 dB 時(shí)，文獻(xiàn)[18-20]算法的收斂速度均快于文獻(xiàn)[21]算法，但穩(wěn)態(tài)誤差低于文獻(xiàn)[21]算法。文獻(xiàn)[21]算法的穩(wěn)態(tài)誤差接近于 IVSSLMS 算法，但I(xiàn)VSSLMS 算法的收斂速度比文獻(xiàn)[21]算法快了2 倍以上。通過(guò)以上對(duì)比分析可知，在高低信噪比背景下，相比于這4 種變步長(zhǎng)LMS 算法，IVSSLMS算法的收斂速度優(yōu)勢(shì)明顯，穩(wěn)態(tài)誤差也較低，對(duì)外界系統(tǒng)的適應(yīng)性也更強(qiáng)。

表1 幾種變步長(zhǎng)算法對(duì)比

圖6 不同信噪比環(huán)境下各算法的學(xué)習(xí)曲線

7 結(jié)束語(yǔ)

本文分析了多種已有變步長(zhǎng)LMS 算法，提出了一種新的變步長(zhǎng)算法IVSSLMS。該算法基于改進(jìn)的雙曲正切函數(shù)，引入步長(zhǎng)反饋因子和誤差信號(hào)的相關(guān)值控制步長(zhǎng)因子的更新，使在收斂初期步長(zhǎng)獲得較大值提高算法的收斂速度，在趨于收斂時(shí)步長(zhǎng)獲得恒定的較小值減小穩(wěn)態(tài)誤差。仿真實(shí)驗(yàn)表明，IVSSLMS 算法在高/低信噪比下的性能相較于其他變步長(zhǎng)算法更優(yōu)異。但I(xiàn)VSSLMS 算法引入的參數(shù)較多，與其他變步長(zhǎng)算法相比計(jì)算量稍大，但以目前的硬件水平是完全可以接受的，因此IVSSLMS 算法具有廣闊的工程應(yīng)用場(chǎng)景和較高的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。