數(shù)列綜合應(yīng)用“三劍客”

◇ 山東 李愛霞 梁桂媛

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,也是歷年高考考查的重點(diǎn)之一.特別是數(shù)列綜合應(yīng)用問題,往往還以解答題的形式出現(xiàn),所以我們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)應(yīng)給予重視.近幾年高考數(shù)列的綜合應(yīng)用試題從數(shù)列的概念、等差數(shù)列和等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法入手,涉及函數(shù)、方程、不等式、解析幾何、概率等知識(shí)的綜合性試題,在解題過程中通常用到等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法,是屬于中高檔難度的題目.下面結(jié)合數(shù)列綜合應(yīng)用常見的“三劍客”加以實(shí)例剖析.

1 探究性問題

例1已知數(shù)列{a n}滿足a1＝1,a n·a n＋1＝a n－3a n＋1.若.

(1)求數(shù)列{c n}的前n項(xiàng)和S n;

(2)試問:是否存在互不相同的正整數(shù)p,q,r,使S p,S q,S r成等差數(shù)列?若存在,求出p,q,r的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

解析

(2)若存在互不相同的正整數(shù)p,q,r,使S p,S q,S r成等差數(shù)列,不妨設(shè)p＜q＜r,則

等號(hào)兩邊同時(shí)除以3q,得

因?yàn)閜,q,r∈N?,且p＜q＜r,所以r－q∈N?,r－q＋p＋1∈N?,故式①等號(hào)左邊3p＋1＋3r＋1－2×3r－q＋p＋1＋3r－q為整數(shù),而p－q＜0,所以3p－q∈(0,1),所以式①等號(hào)右邊2－3p－r∈(1,2),所以不存在互不相同的正整數(shù)p,q,r,使Sp,Sq,Sr成等差數(shù)列.

點(diǎn)評(píng)

20世紀(jì)80年代以來，越來越多的攝影藝術(shù)家開始采用“設(shè)計(jì)”的方式進(jìn)行創(chuàng)作。他們有意識(shí)地跟隨廣告業(yè)照亮的道路，運(yùn)用想象與才智掙脫了古典現(xiàn)代主義的束縛。他們不是在現(xiàn)實(shí)世界中尋找主題，直接“拍攝”，而是選擇自行“創(chuàng)造”一個(gè)全新的視覺世界。

數(shù)列中的探究性問題,往往以開放性與探索性等形式出現(xiàn),此類問題以等差數(shù)列、等比數(shù)列等基本知識(shí)為基礎(chǔ),綜合數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式,用來判斷數(shù)列的類型、存在性問題,利用開放思維創(chuàng)新、探索思維拓展等加以考查與應(yīng)用.

2 恒成立問題

例2已知λ＜0,數(shù)列{an}滿足an＋1－λan＝λ－λ2(n∈N?),且a1＝3λ.

(1)求證:數(shù)列{an－λ}是等比數(shù)列;

(2)若對(duì)任意的m,n∈N?,都有恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

解析

(1)因?yàn)閍n＋1－λan＝λ－λ2,所以an＋1－λ＝λ(an－λ),因?yàn)閍1＝3λ,λ＜0,所以a1－λ＝2λ＜0,從而an－λ≠0,所以,所以數(shù)列{an－λ}是首項(xiàng)為2λ、公比為λ的等比數(shù)列.

(2)由(1)知an－λ＝2λ·λn－1,即an＝2λn＋λ,據(jù)題意知得－1＜λ＜0.當(dāng)n＝2k,k∈N?時(shí),a2k＝2λ2k＋λ＞λ,故

當(dāng)n＝2k－1,k∈N?時(shí),a2k－1＝2λ2k－1＋λ＜λ,故

所以數(shù)列{a2k－1}單調(diào)遞增;

因?yàn)閷?duì)任意m,n∈N?,都有,所以

且0＞a2＞a4＞a6＞…＞a2k＞…＞λ,所以的最小值為所以.

綜上所述,實(shí)數(shù)λ的取值范圍是.

點(diǎn)評(píng)

數(shù)列恒成立問題能夠很好地考查數(shù)列、函數(shù)、不等式等知識(shí)以及化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想,因此備受命題者青睞,在復(fù)習(xí)時(shí)要有針對(duì)性地訓(xùn)練,從而靈活掌握與應(yīng)用.加強(qiáng)這一類問題的訓(xùn)練有利于提高綜合解題能力,在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到積極的作用.

3 創(chuàng)新定義問題

例3若無窮數(shù)列{an}滿足:存在k∈N?,對(duì)于任意的n≥n0(n0∈N?),都有an＋k－an＝d(其中d為常數(shù)),則稱{an}具有性質(zhì)“P(k,n0,d)”.

(1)若{an}具有性質(zhì)“P(3,2,0)”,且a2＝3,a4＝5,a6＋a7＋a8＝18,求a3;

(2)若無窮數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,無窮數(shù)列{cn}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,b1＝c3＝2,b3＝c1＝8,an＝bn＋cn,判斷{an}是否具有性質(zhì)“P(2,1,0)”,并說明理由.

解析

(1)因?yàn)閧an}具有性質(zhì)“P(3,2,0)”,所以an＋3－an＝0,n≥2,由a2＝3,得a5＝a8＝3,由a4＝5,得a7＝5,因?yàn)閍6＋a7＋a8＝18,所以a6＝10,即a3＝10.

(2){an}不具有性質(zhì)“P(2,1,0)”.

設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d,由b1＝2,b3＝8,得2d＝8－2＝6,所以d＝3,故bn＝3n－1.設(shè)等比數(shù)列{cn}的公比為q,由c3＝2,c1＝8,得又q＞0,所以所以an＝3n－1＋24－n,若{an}具有性質(zhì)“P(2,1,0)”,則an＋2－an＝0,n≥1.

因?yàn)閍2＝9,a4＝12,所以a2≠a4,故{an}不具有性質(zhì)“P(2,1,0)”.

點(diǎn)評(píng)

數(shù)列創(chuàng)新定義的綜合問題往往是在等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)上加以類比、提升與拓展,解決此類問題往往需要將其轉(zhuǎn)化為熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列來分析與求解,實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新能力與轉(zhuǎn)化思維的統(tǒng)一,知識(shí)與能力的綜合,達(dá)到創(chuàng)新目的.

由于數(shù)列是特殊的函數(shù),而不等式是深刻認(rèn)識(shí)與解析函數(shù)和數(shù)列的重要工具之一,三者的交會(huì)并以探究性、恒成立或創(chuàng)新定義等形式出現(xiàn),是近年來高考命題的新熱點(diǎn).