小議“構(gòu)造函數(shù)”巧解不等式

◇ 山東 李百玲

提升學(xué)生高中數(shù)學(xué)能力,除了掌握必要的基礎(chǔ)知識(shí),更重要的是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的靈活運(yùn)用.函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸是高中數(shù)學(xué)中比較重要的兩大思想,而構(gòu)造函數(shù)的解題思路恰好是這兩種思想的良好體現(xiàn).

在近幾年高考數(shù)學(xué)試卷中,許多與函數(shù)相關(guān)的解不等式的題目,尤其是壓軸小題,經(jīng)常能用到構(gòu)造函數(shù)法.所謂構(gòu)造函數(shù)是指通過一定方式,設(shè)計(jì)并構(gòu)造一個(gè)與待解答問題相關(guān)的函數(shù),并探究其單調(diào)性,借助圖象或利用運(yùn)算結(jié)果,從而得到不等式的解集.本文重點(diǎn)探討如何合理地構(gòu)造函數(shù).

1 構(gòu)造f(x)與x的關(guān)系

當(dāng)題目所給的不等式中除了f(x)外,僅含有x,常用的構(gòu)造形式有.對(duì)于xf′(x)＋f(x)＞0,構(gòu)造h(x)＝x f(x);對(duì)于x f′(x)－f(x)＞0,構(gòu)造.

例1設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x＜0時(shí),f(x)＋x f′(x)＜0,且f(－4)＝0,則不等式xf(x)＞0的解集為________.

解析

設(shè)F(x)＝x f(x),則有F′(x)＝f(x)＋xf′(x),當(dāng)x＜0時(shí),f(x)＋xf′(x)＜0,F′(x)＜0,所以F(x)在(－∞,0)上單調(diào)遞減.因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),x為奇函數(shù),所以F(x)為奇函數(shù),故F(x)在(0,＋∞)上也單調(diào)遞減.

根據(jù)f(－4)＝0可得F(－4)＝0,從而函數(shù)圖象如圖1所示,根據(jù)圖象知x f(x)＞0的解集為(－∞,－4)∪(0,4).

圖1

變式f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(1)＝0,當(dāng)x＜0時(shí),有xf′(x)－f(x)＞0恒成立,則不等式f(x)＞0的解集為________.

解析

2 構(gòu)造f(x)與e x的關(guān)系

由于(ex)′＝ex,當(dāng)給出的不等式中出現(xiàn)f(x)±f′(x)型,我們首先考慮f(x)與ex的關(guān)系,和的形式優(yōu)先考慮構(gòu)造F(x)＝f(x)·ex,差的形式優(yōu)先考慮構(gòu)造.

例2已知f(x)是定義在R上的函數(shù),導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足f′(x)＜f(x)對(duì)于x∈R恒成立,則有( ).

A.f(2)＞e2f(0),f(2 020)＞e2020f(0)

B.f(2)＜e2f(0),f(2 020)＞e2020f(0)

C.f(2)＞e2f(0),f(2 020)＜e2020f(0)

D.f(2)＜e2f(0),f(2 020)＜e2020f(0)

解析

變式已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),滿足f(0)＝e2且f(x)＞f′(－x),則關(guān)于x的不等式的解集為( ).

A.(－∞,－2) B.(－2,＋∞)

C.(－∞,0) D.(0,＋∞)

解析

根據(jù)原函數(shù)是偶函數(shù)可知f′(－x)為奇函數(shù),又f′(－x)－f(x)＜0,故構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)ex,其在R上單調(diào)遞增,將f(x＋2)＞轉(zhuǎn)化為F(x＋2)＞F(0),再根據(jù)其單調(diào)性可得x＋2＞0,從而B選項(xiàng)正確.

3 構(gòu)造f(x)與sin x,cos x的關(guān)系

類比前兩類,若題中出現(xiàn)三角函數(shù),就需要構(gòu)造f(x)與sinx,cosx結(jié)合的函數(shù),具體如下:

例3已知函數(shù)y＝f(x)對(duì)于任意滿足f′(x)cosx＋f(x)sinx＞0(其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)),則下列不等式不成立的是( ).

解析

變式已知且αsinα－βsinβ＞0,則下列結(jié)論正確的是( ).

A.α＞βB.α2＞β2

C.α＜βD.α＋β＞0

解析

構(gòu)造f(x)＝xsinx,則f′(x)＝sinx＋時(shí),導(dǎo)函數(shù)f′(x)≥0,f(x)單調(diào)遞增時(shí),f′(x)＜0,f(x)單調(diào)遞減.又因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),根據(jù)單調(diào)性可知選B.

以上是構(gòu)造函數(shù)在解決與不等式有關(guān)的小題中的應(yīng)用,在求解時(shí),根據(jù)問題的條件或目標(biāo),構(gòu)造出一種新的函數(shù)關(guān)系,在新函數(shù)下轉(zhuǎn)化并利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決原問題,這是一種行之有效的解題手段.構(gòu)造函數(shù)法解題具有較大的靈活性和技巧性.根據(jù)要解決的問題,靈活構(gòu)造轉(zhuǎn)化,有的放矢,從而使問題迎刃而解.