圓錐曲線經(jīng)典教學(xué)案例分析與研究

（大連市交通口岸職業(yè)技術(shù)學(xué)校 大連交通技師學(xué)院，遼寧 大連 116011）

根據(jù)“立德樹人”的人才培養(yǎng)目標(biāo)要求，體現(xiàn)以“服務(wù)為宗旨，就業(yè)為導(dǎo)向”，基于知識(shí)目標(biāo)定位于理解橢圓、雙曲線、拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)、能力目標(biāo)定位于能從生活專業(yè)實(shí)例中抽象出橢圓、雙曲線、拋物線的模型、并會(huì)解決實(shí)際應(yīng)用問題，提升數(shù)學(xué)建模的能力、素養(yǎng)目標(biāo)定位于通過圓錐曲線的圖像歸納性質(zhì)進(jìn)一步掌握屬性結(jié)合思想方法，通過小組討論解決與圓錐曲線相關(guān)應(yīng)用題，養(yǎng)成團(tuán)隊(duì)協(xié)作的意識(shí)。

一、經(jīng)典教學(xué)案例賞析

經(jīng)典教學(xué)案例（一）

1.生活與專業(yè)情境創(chuàng)設(shè)

以貼近生活和專業(yè)崗位的實(shí)例作為教學(xué)素材，通過AR 視覺感受與雙曲線相關(guān)的無線電導(dǎo)航定位系統(tǒng)，播放熱電廠建造冷卻塔的視頻，通過AR 視覺感受汽車主減速器中運(yùn)用的是準(zhǔn)雙曲面齒輪的傳動(dòng)原理。

2.問題引領(lǐng)，形成概念

通過實(shí)驗(yàn)一拉鏈法畫出雙曲線圖像和實(shí)驗(yàn)二利用幾何畫板繪制雙曲線圖像直觀感知雙曲線曲線的形成過程，進(jìn)而通過以上情境創(chuàng)設(shè)教師給出問題（1）在畫雙曲線的過程中，拉鏈的兩端的位置是固定的還是運(yùn)動(dòng)的？（2）在畫雙曲線的過程中，拉鏈的兩端長度之差變了沒有？ 說明了什么？（3）在畫雙曲線的過程中，拉鏈的兩端長度之差與兩定點(diǎn)間距離有怎樣的關(guān)系。進(jìn)而得出雙曲線的定義。

3.應(yīng)用舉例，鞏固新知

案例題目：已知雙曲線型冷卻塔的建模圖形如下，焦距為10，雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差為8，求該數(shù)學(xué)建模下冷卻塔的標(biāo)準(zhǔn)方程。

生活探究：利用雙曲線相交測定位置的無線電導(dǎo)航系統(tǒng)，由發(fā)射臺(tái)（岸臺(tái)，至少3 個(gè)）和接收臺(tái)（汽車上的接收臺(tái)）組成。形成雙曲線的幾何原理是：到兩個(gè)固定點(diǎn)距離差為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，是以這兩個(gè)固定點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線，平面上兩條雙曲線就可確定一點(diǎn)。

經(jīng)典教學(xué)案例（二）

1.生活情境創(chuàng)設(shè)

首都北京為什么會(huì)變“放射環(huán)形”交通結(jié)構(gòu)為“雙曲線”式？在北京市域內(nèi)，構(gòu)建通過式（by-pass）的快速交通走廊，組織交通樞紐，創(chuàng)造“雙曲線”式交通軸，作為溝通市域大動(dòng)脈，緩解城市交通向中心的聚焦。也就是說，機(jī)動(dòng)車輛盡可能在三環(huán)、四環(huán)外面行駛，避免公路車流向北京中心城區(qū)聚集。雙曲線交通結(jié)構(gòu)可緩擁堵

雙曲線型冷卻塔不僅結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、強(qiáng)度大，且造型美觀體現(xiàn)了雙曲線的對(duì)稱美。

2.實(shí)驗(yàn)探究新知

學(xué)生以小組為單位，借助幾何畫板，類比橢圓歸納得出雙曲線的性質(zhì)與研究方法，探究雙曲線的對(duì)稱性、頂點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸。進(jìn)而在情境創(chuàng)設(shè)下探究新知。

3.生活實(shí)例應(yīng)用

通過貼近汽車專業(yè)的問題已知汽車主減速器中的是準(zhǔn)雙曲面齒輪的情境創(chuàng)設(shè)，進(jìn)而引領(lǐng)案例的實(shí)際應(yīng)用性。借助天文望遠(yuǎn)鏡的反向虛聚焦原理，原理提到雙曲線繞實(shí)軸旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)旋轉(zhuǎn)雙曲面。從旋轉(zhuǎn)雙曲面的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)射的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)雙曲面的反射，會(huì)使得光線散開，雙曲線的這種反向虛聚焦的性質(zhì)，在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)中有著重要的應(yīng)用。

二、案例的反思與改進(jìn)

以學(xué)生的發(fā)展為本，關(guān)注知識(shí)的形成、發(fā)展過程，重視學(xué)生對(duì)解析幾何一般研究方法的理解和領(lǐng)悟，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)中的深層次的數(shù)學(xué)思維參與，把學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)滲透在教學(xué)的活動(dòng)之中。

我們?cè)诒菊n程的設(shè)計(jì)與實(shí)施過程中，與專業(yè)課對(duì)接，教師擴(kuò)展知識(shí)面，不斷學(xué)習(xí)，找到更多學(xué)生感興趣的對(duì)接內(nèi)容?；谇榫硠?chuàng)設(shè)專業(yè)化：通過汽車雙作用葉片泵、準(zhǔn)雙曲面齒輪、汽車前照燈軸截面等專業(yè)情境導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和職業(yè)自豪感，感受數(shù)學(xué)在生活與專業(yè)中的應(yīng)用價(jià)值。實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)信息化：借助幾何畫板、GeoGebra 軟件、智慧教室、UMU 學(xué)習(xí)平臺(tái)等，幫助學(xué)生直觀形象的理解抽象概念。引導(dǎo)學(xué)生突破知識(shí)形成自主化：遵循“學(xué)生主體，教師主導(dǎo)”的教學(xué)理念，通過實(shí)踐、探索、歸納學(xué)生自主活動(dòng)，經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生過程，提升數(shù)學(xué)思維能力。更新教學(xué)以及教學(xué)手段創(chuàng)新，采用混合式教學(xué)模式，線上自學(xué)線下互動(dòng)利用信息平臺(tái)，采取任務(wù)驅(qū)動(dòng)法、實(shí)驗(yàn)探究等多種教學(xué)方法，有效達(dá)成了各項(xiàng)教學(xué)目標(biāo)，突破重難點(diǎn)。

需要改進(jìn)的從教學(xué)形式來看，小組合作探究體現(xiàn)了學(xué)生是活動(dòng)的主體，通過小組間的互動(dòng)、合作，使學(xué)習(xí)更有效。從教學(xué)效果來看，學(xué)生是活動(dòng)的主體，通過翻轉(zhuǎn)課堂這種形式增加了師生之間的互動(dòng)、合作，使學(xué)習(xí)更有效率。翻轉(zhuǎn)課堂對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)自覺性有一定要求，教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生學(xué)情等實(shí)際情況合理選擇，真正做到一切從學(xué)生出發(fā)。

三、教學(xué)案例實(shí)施成效

通過案例的分析，學(xué)生能從生活與專業(yè)中抽象出橢圓、雙曲線、拋物線數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用其解決簡單的實(shí)際問題。通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和動(dòng)手折紙，學(xué)生分析問題、解決問題的能力得到提升。對(duì)不同教學(xué)內(nèi)容采用有針對(duì)性的教學(xué)方法，知識(shí)目標(biāo)得以達(dá)成。學(xué)以致用，在文化系列素質(zhì)賽中，學(xué)生積極參與畫圖比拼大賽、最強(qiáng)大腦、趣味速算等，提升了邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。