運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，巧解理綜物理選擇題

□福建省南靖第一中學(xué) 張偉凡

高考物理選擇題涉及的要對(duì)物體受力的分析及步驟：

一、受力分析要點(diǎn)

1.明確研究對(duì)象。

2.分析物體或結(jié)點(diǎn)受力的個(gè)數(shù)和方向。

3.作圖時(shí)按力的示意圖作圖。

4.每個(gè)力標(biāo)出相應(yīng)的符號(hào)，用相應(yīng)字母表示。

二、受力分析步驟

1.按力的性質(zhì)分類，畫(huà)出物體的受力：①重力；②接觸力（彈力和摩擦力）；③場(chǎng)力（電場(chǎng)力、磁場(chǎng)力）。

2.判斷力的方向：

①結(jié)合力產(chǎn)生的原因判斷；

②結(jié)合物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)判斷；

③由牛頓運(yùn)動(dòng)定律判斷力的方向。

三、熟練一些常見(jiàn)的數(shù)學(xué)解題方法

如圖像求解法；幾何圖形法；三角函數(shù)法，正弦定理，余弦定理的應(yīng)用；特殊點(diǎn)討論法；數(shù)列極限法；數(shù)學(xué)歸納法；解析幾何法等。高中物理問(wèn)題的解析需要結(jié)合數(shù)學(xué)方法，在解題過(guò)程中運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解析物理問(wèn)題，可以使復(fù)雜問(wèn)題顯出一些解題思路。

（2019 全國(guó)卷Ⅱ）2019 年1 月，我國(guó)嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功在月球背面軟著陸，在探測(cè)器“奔向”月球的過(guò)程中，用h 表示探測(cè)器與地球表面的距離，F(xiàn) 表示它所受的地球引力，能夠描述F隨h變化關(guān)系的圖像是（ ）

（多選）（2018·高考全國(guó)卷Ⅲ）地下礦井中的礦石裝在礦車(chē)中，用電機(jī)通過(guò)豎井運(yùn)送到地面。某豎井中礦車(chē)提升的速度大小v隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖所示，其中圖線①②分別描述兩次不同的提升過(guò)程，它們變速階段加速度的大小都相同；兩次提升的高度相同，提升的質(zhì)量相等。不考慮摩擦阻力和空氣阻力，對(duì)于第①次和第②次提升過(guò)程，( )。

A．礦車(chē)上升所用的時(shí)間之比為4∶5

B．電機(jī)的最大牽引力之比為2∶1

C．電機(jī)輸出的最大功率之比為2∶1

D．電機(jī)所做的功之比為4∶5解析方法：本題可以利用圖像知識(shí)，用圖像求解法。

根據(jù)兩次提升相同的高度，可以得出結(jié)論，兩圖線與時(shí)間軸所圍成面積大小相等，則對(duì)于第①次和第②次提升過(guò)程中，礦車(chē)上升所用的時(shí)間之比為2t0∶(2t0+∶5，A正確；加速過(guò)程中牽引力最大，從圖中畫(huà)出的兩條線可以看出，開(kāi)始加速時(shí)，兩車(chē)對(duì)應(yīng)加速度大小是一樣的，從中可以得出兩車(chē)最大牽引力相等；由圖像可知，兩次提升的過(guò)程中礦車(chē)的最大速度之比為2∶1，根據(jù)功率公式P=FV，得最大功率之比為2∶1；因?yàn)閮纱翁嵘^(guò)程中礦車(chē)的初、末速度都為零，根據(jù)動(dòng)能定理：電機(jī)所做的功等于克服重力做的功，由于重力做功大小相等，所以電機(jī)所做的功之比為1∶1。所以本題選擇AC。

（2016·高考全國(guó)卷Ⅰ）利用三顆位置適當(dāng)?shù)牡厍蛲叫l(wèi)星，可使地球赤道上任意兩點(diǎn)之間保持無(wú)線電通訊。目前，地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍。假設(shè)地球的自轉(zhuǎn)周期變小，若仍僅用三顆同步衛(wèi)星來(lái)實(shí)現(xiàn)上述目的，則地球自轉(zhuǎn)周期的最小值約為( )。

A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h

解析方法：幾何圖形法。

本題隱含要求學(xué)生能建構(gòu)天體運(yùn)動(dòng)幾何模型，這一設(shè)置，充分體現(xiàn)了物理學(xué)科所的核心素養(yǎng)能力要求。設(shè)地球半徑為R，本題要求學(xué)生能獨(dú)立畫(huà)出只用三顆地球同步衛(wèi)星使地球赤道上任意兩點(diǎn)之間保持無(wú)線電通訊時(shí)同步衛(wèi)星的最小軌道半徑示意圖，根據(jù)圖中幾何關(guān)系可得，同步衛(wèi)星的最小軌道半徑r＝2R。設(shè)地球自轉(zhuǎn)周期的最小值為T(mén)，再開(kāi)普勒第三定律可得，，解得T≈4 h，選項(xiàng)B正確。

（2017 高考全國(guó)卷Ⅰ第21 題）21.如圖，柔軟輕繩ON 的一端O 固定，其中間某點(diǎn)M 拴一重物，用手拉住繩的另一端N。初始時(shí)，OM 豎直且MN 被拉直，OM 與MN 之間的夾角為現(xiàn)將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角α不變。在OM由豎直被拉到水平的過(guò)程中（ ）

A．MN上的張力逐漸增大

B．MN上的張力先增大后減小

C．OM上的張力逐漸增大

D．OM上的張力先增大后減小解法一：三角形圖解法。

高考能力的考查，要用到一定幾何方法，如本題可用三角形圖解法。結(jié)合力的動(dòng)態(tài)分析方法：以重物為研究對(duì)象，受重力mg，OM 繩上拉力F2，MN 上拉力F1，由題意知，三個(gè)力合力始終為零，矢量三角形如圖所示，在F2轉(zhuǎn)至水平的過(guò)程中，MN 上的張力F1逐漸增大，OM上的張力F2先增大后減小，所以選擇AD。

解法二：用特殊點(diǎn)討論法。

剛開(kāi)始時(shí)，豎直位置OM 拉力等于重力，從圖中的兩種情況可以看出，OM 的拉力先大于重力，后小于重力的大小，所以O(shè)M 先增大后減??；而拉力MN 隨著一開(kāi)始OM 拉力等于重力，MN 拉力為零，從圖中可以看出，末位置MN 在豎直位置拉力等于重力，所以MN 拉力一直在增大。

解法三：正弦定理應(yīng)用。

正弦定理在數(shù)學(xué)知識(shí)里是一個(gè)很重要的定理，有者廣泛的應(yīng)用。解答相關(guān)物理題也離不開(kāi)正弦定理。TOM、TMN與G 可圍成封閉三角形。由正弦定理可知

由題意可知，由∠3 緩慢0°增加到90°，此過(guò)程中，由于(π-α)不變，所以∠2 是由（α ?90°）逐漸減小至α - 90°（?90°），sin∠2先增大后減小。sin∠3一直增加，二繩張力與之成正比，變化相同。所以O(shè)M上的力先增大后減小，MN上的力逐漸增大。

以上為幾點(diǎn)從實(shí)踐中總結(jié)出的運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決理綜物理選擇題的方法。

（責(zé)編 侯芳）