混合分?jǐn)?shù)布朗運動的赫斯特指數(shù)估計方法

孫琳

(廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣州 510090)

0 引言

本文采用二次變差理論和矩法估計方法，得到了波動率由混合分?jǐn)?shù)布朗刻畫下，赫斯特指數(shù)的矩法估計值。并采用Malliavin隨機理論分析了估計量的收斂性。具體來說作了以下三方面的工作。首先采用矩估計方法，結(jié)合二次變差理論，推導(dǎo)出波動率由混合分?jǐn)?shù)布朗刻畫下，赫斯特指數(shù)的矩法估計值。其次，利用混合分?jǐn)?shù)布朗運動的性質(zhì)和Malliavin隨機理論研究了該估計量的收斂性質(zhì)。最后，給出了數(shù)值算例，通過數(shù)值例子說明了本文給出的估計量的精確性。

1 參數(shù)估計及一致收斂性

為了體現(xiàn)金融資產(chǎn)波動率的長期記憶性，近年來，許多學(xué)者采用分?jǐn)?shù)布朗運動刻畫金融資產(chǎn)的隨機波動率，即t時刻的觀察量滿足：

因此：

另一方面，由于：

農(nóng)場雖然耕地面積較大但大型谷物聯(lián)合收割機和配套農(nóng)具數(shù)量多遠(yuǎn)多于地方，部分合作社和農(nóng)戶要等到農(nóng)場收獲完成后租賃農(nóng)場機械進行收獲作業(yè)，錯過了最佳收獲時期無法保證顆粒歸倉。

即有：

定理1估計量?是無偏的。

故估計量是無偏的，定理證畢。

定理2估計量不是L2一致收斂的，且偏差的極限可以表示為：

下面首先介紹高斯過程乘積期望的公式。假設(shè)Y1、Y2、Y3和Y4是期望為零的高斯過程，且，則:

由于混合分?jǐn)?shù)布朗運動是高斯過程，根據(jù)高斯過程乘積期望的公式(7)得:

易證

另一方面，令D表示對布朗運動的Malliavin導(dǎo)數(shù)，則對于任意a＜b且s＜t

根據(jù)(6)、(8)和(9)得:

同時由定理1知?是無偏估計量，結(jié)合(4)和(10)易得

定理證畢。

2 數(shù)值算例

為了說明本文提出的估計量的準(zhǔn)確性，我們對本文提出的估計量進行數(shù)值分析。首先根據(jù)文獻(xiàn)的算法產(chǎn)生分?jǐn)?shù)布朗運動以及根據(jù)文獻(xiàn)的方法產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，繼而通過Matlab軟件模擬得到不同的赫斯特指數(shù)下模型(2)的觀察路徑。對于每次模擬，我們分別設(shè)定N=500、1000和10000且同時每次計算采用1000個樣本數(shù)據(jù)。然后根據(jù)(3)式得到θ?的估計值，最后用θ?代替(5)式中的θ得到赫斯特指數(shù)的估計量H?。計算所得結(jié)果分別如表1所示，其中表1分別給出了估計量均值、中值、標(biāo)準(zhǔn)差以及均方根誤差。

表1 不同樣本量下矩法估計量H?的估計結(jié)果

從表中的結(jié)果我們可以看出，隨著樣本容量的增大，

估計均值都非常接近實際值，且方差非常小。從而我們可以得出只要樣本容量足夠大的話，方差就可能接近于零。因此數(shù)值例子說明了矩法估計量的精確性和可行性。

3 結(jié)論

本文采用二次變差理論和矩法估計方法，得到了波動率由混合分?jǐn)?shù)布朗驅(qū)動下，長記憶系數(shù)的矩法估計值。同時采用極限理論和Malliavin隨機分析理論研究了估計量的收斂性，進一步用數(shù)值算例說明了本文提出的估計量的精確性和可行性。故本文在理論和實際應(yīng)用上都有所創(chuàng)新。當(dāng)然，如何采用更好方法得到更高階收斂的估計量有待進一步研究。

[1]Gloter,A.M.Hoffmann.Stochastic Volatility and Fractional Brown?ian Motion[J].Stochastic Processes and Their Applications,2004,113(1).

[2]Coeurjolly,J.Estimating the Parameters of a Fractional Brownian Mo?tion by Discrete Variations of Its Sample Paths[J].Statistical Infer?ence for Stochastic Processes,2001,（4）.

[3]Tudor,C.,F.Viens.Variations and Estimators for the Self-Similarity Order through Malliavin Calculus[J].The Annals of Probability,2009,37(6).

[4]Paxson,V.Fast,Approximate Synthesis of Fractional Gaussian Noise for Generating Self-Similar Network Traffic[J].Computer Communica?tions Review,1997,27.

[5]Higham,D.J.An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations[J].SIAM Review,2001,43.