基于動量方程的頁巖氣體擴散能力表征模型與實驗研究

陳 璐，胡志明，熊 偉，楊 航，端祥剛，常 進(jìn)

(1.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；2.中國科學(xué)院滲流流體力學(xué)研究所，河北 廊坊 065007；3.中國石油勘探開發(fā)研究院，河北 廊坊 065007；4.中國石油西南油氣田分公司，四川 成都 610051)

0 引 言

頁巖儲層中廣泛發(fā)育微納米級的孔隙通道及微裂縫，在氣藏開發(fā)過程中，氣體的跨尺度運移會產(chǎn)生多種流動效應(yīng)[1-4]，經(jīng)典的Darcy滲流理論已不再適用，氣體擴散行為對流動過程產(chǎn)生較大影響，需要考慮基質(zhì)孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)、氣體流動狀態(tài)等因素。建立氣體擴散能力表征模型，有利于明確頁巖氣在孔隙通道中的流動規(guī)律[2,5-7]。Thorstenson等[8]開展了多孔介質(zhì)中氣體的擴散研究，提出一個與Klinkerberg常數(shù)bk有關(guān)的Knudsen擴散系數(shù)，認(rèn)為黏性和總擴散通量是相加的。Xiong等[9]提出某些擴散作用對于氣體運移有顯著的貢獻(xiàn)，且擴散能力與孔隙連通性、孔隙壓力和孔徑分布相關(guān)。目前開展氣體擴散模型的研究主要利用Fick擴散和Knudsen擴散等模型進(jìn)行耦合，或基于某一經(jīng)典擴散模型進(jìn)行演化修正，很少考慮孔隙結(jié)構(gòu)特征與氣體流動狀態(tài)。同時，并未開展實驗證明，多采用計算機數(shù)值模擬對模型進(jìn)行驗證，缺乏真實數(shù)據(jù)的支持。此次研究建立了考慮頁巖孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)與氣體流動參數(shù)的擴散模型DΓ，并提出近平衡態(tài)擴散實驗方法，通過實驗結(jié)果對模型的適用性進(jìn)行評價。與傳統(tǒng)擴散模型的建立思路相區(qū)別，DΓ模型源自流體力學(xué)動量方程中的擴散項，耦合了流動Kn數(shù)與孔隙參數(shù)，并結(jié)合毛管束理論，在極限流動狀態(tài)下可以表示為經(jīng)典擴散系數(shù)的形式。DΓ模型可以較為準(zhǔn)確地描述頁巖氣體的擴散能力，利用該模型可進(jìn)一步明確生產(chǎn)中氣體擴散對產(chǎn)量的貢獻(xiàn)，為氣井開發(fā)提供建議與支持。

1 基于流體動量方程的擴散系數(shù)模型

對于封閉的物質(zhì)體系，選取一段控制體微元，考慮流體黏性的微分形式動量方程在一維坐標(biāo)下可以表示為[10]：

(1)

式中：u為微元速度，m/s；t為時間坐標(biāo)，s；x為空間坐標(biāo)，m；F為體積力，m/s2；ρ為微元密度，kg/m3；p為微元平均壓力，Pa；ζ為體積黏度系數(shù)，Pa·s；μ為運動黏度系數(shù)，Pa·s。

Stokes[10]曾對ζ進(jìn)行了研究，提出Stokes假設(shè)，定義ζ=η+2μ/3，并建議將其值取為0，其中，η與體積變化和偏應(yīng)力張量的影響相關(guān)。在黏性流體的真實流動情形中，體積膨脹對流動的影響不可忽略，文獻(xiàn)[11]系統(tǒng)地對各類氣體在不同條件下的體積黏度系數(shù)進(jìn)行了測定或總結(jié)，并擬合出不同溫度下的變化規(guī)律，根據(jù)該文獻(xiàn)查得在300～340 K條件下CH4的體積黏度系數(shù)約為μ的280倍，文中采用文獻(xiàn)[11]中的結(jié)論。式(1)等號右端第3項表示為擴散項，代表因流體擴散對流場的影響，根據(jù)該項定義，擴散系數(shù)可表示為：

(2)

式中：D為流體擴散系數(shù)，m2/s。

根據(jù)薩特蘭公式：

(3)

式中：μ0為15 ℃時氣體黏度，1.789 4×10-5Pa·s；B為薩特蘭常數(shù)，110.4 K；T為溫度，K。

將式(3)代入式(2)中，得到單孔隙中擴散系數(shù)D的表達(dá)式：

(4)

頁巖中流動尺度較小，氣體Knudsen數(shù)較高，微尺度效應(yīng)明顯，直接使用式(4)對氣體擴散進(jìn)行描述會產(chǎn)生較大誤差，需要進(jìn)行修正：當(dāng)Kn數(shù)較高時，流態(tài)偏向于Knudsen擴散導(dǎo)致的自由分子流，其他類型傳質(zhì)過程不明顯，此時擴散系數(shù)用Knudsen擴散系數(shù)[7]來表示；當(dāng)Kn數(shù)較低時，氣體擴散行為偏向于由分子間碰撞導(dǎo)致的體相擴散，用體擴散系數(shù)Dbulk[12]來表示。修正后的擴散系數(shù)為：

Dm=D(1-e-Kn-1)

(5)

式中：Dm為氣體流態(tài)修正后的擴散系數(shù)，m2/s。

Kn數(shù)較高時，根據(jù)函數(shù)的Taylor展開形式，修正項1-e-Kn-1的取值可以近似為Kn-1；Kn數(shù)較低時，修正項1-e-Kn-1的取值接近常數(shù)1。從2種情況下的Dm取值可以看出，在極限情況下，Dm實際上為Knudsen擴散系數(shù)Dk[7]與體擴散系數(shù)Dbulk[12]的表現(xiàn)形式。

(6)

(7)

式中：l為流動空間直徑，m；λ為氣體分子平均自由程，m；C和C′為計算常數(shù)；Z為氣體壓縮因子；R為理想氣體常數(shù)，8.314 J/(mol·K)；Mr為氣體摩爾質(zhì)量，g/mol。

假設(shè)頁巖中孔隙通道橫截面積均為定值，其中半徑為r的通道中的擴散流量為：

(8)

式中：q(r)為半徑為r的通道中擴散流量，m3；p1、p2分別為進(jìn)口及出口壓力，Pa；l為孔隙通道的等效長度，m，根據(jù)迂曲度τ的定義，可以表示為頁巖長度L0與τ的乘積。

利用毛管束理論[13]，流過頁巖的總擴散流量可以表示為：

(9)

式中：rmin、rmax為樣品中最小與最大孔隙半徑，m；n(r)為半徑r的孔隙通道在頁巖中的個數(shù)；R0為頁巖樣品半徑，m；DΓ為等效擴散系數(shù)，m2/s；L0為頁巖長度，m。

通過化簡上式，可以得到等效擴散系數(shù)DΓ的表達(dá)式：

(10)

式中：V(r)為半徑為r的孔隙通道的體積，m3。

頁巖中發(fā)育的孔隙大多分布在2～10 nm，儲層壓力下，l在上述范圍時，Dm的變化較小，可忽略Dm隨l的變化，則：

(11)

式中：VΣpore為多孔介質(zhì)的內(nèi)部孔隙總體積，m3；πR02L0為多孔介質(zhì)的總體積，m3。

上述VΣpore與πR02L0的比值可以用孔隙度φ來表示，則得到擴散系數(shù)DΓ的最終表達(dá)式：

(12)

式中：Cμ,T為與氣體黏度和溫度有關(guān)的常數(shù)，4.102×10-4Pa·s/K0.5；φ為頁巖樣品孔隙度，%。

2 模型實驗驗證

2.1 實驗設(shè)備及實驗材料

針對文中擴散系數(shù)模型(12)，為了驗證模型的可行性與準(zhǔn)確性，提出一種近平衡態(tài)實驗方案來獲得氣體擴散系數(shù)，擴散系數(shù)與擴散流量、壓力梯度的關(guān)系可以表示為：

(13)

式中：Qd為擴散流量，m3/s；A為頁巖樣品橫截面積，m2；▽p為壓力梯度，Pa/m。

驗證實驗基于高溫高壓實驗平臺上進(jìn)行。主要儀器設(shè)備包括巖心夾持系統(tǒng)、溫度控制系統(tǒng)(高溫烘箱設(shè)備可提供100 ℃以上的恒定控溫，并對系統(tǒng)中溫度進(jìn)行實時監(jiān)測)、數(shù)字化壓力記錄系統(tǒng)(OMEGA公司，高精度壓力傳感器PX309-5KGI，量程為0～35 MPa，精度最大值±0.25%最小壓力波動，溫度范圍為-20～85 ℃，采樣間隔為60 s)。實驗流程如圖 1所示，實驗采用川南地區(qū)五峰-龍馬溪組的頁巖樣品，基礎(chǔ)物性參數(shù)見表 1。

表1 頁巖樣品基礎(chǔ)參數(shù)Table 1 Basic parameters of shale samples

圖1 近平衡態(tài)實驗流程Fig.1 Near equilibrium experimental flow

2.2 實驗原理與實驗設(shè)計

在常規(guī)儲層中，由于壓力梯度導(dǎo)致的Darcy流動依然存在，而頁巖儲層中的氣體流動不能用經(jīng)典Darcy滲流定律描述，因為氣體發(fā)生解吸擴散行為后產(chǎn)生了額外的流量，因此，通過樣品的總流量是由因Darcy滲流產(chǎn)生的黏性流量與氣體擴散產(chǎn)生的擴散流量組成。根據(jù)狀態(tài)方程，氣體總流量在一定時間內(nèi)的值可以通過壓力變化表示，黏性流量通過Darcy定律的積分形式表示，則擴散流量可以表示為：

(14)

(15)

Qd=Qt-Qv

(16)

式中：Qt為總流量，m3/s；Qv為黏性流量，m3/s；Qd為擴散流量，m3/s；Δp為Δt時間內(nèi)的壓力變化，Pa；Δt為采樣間隔，s；V為實驗流程中自由流動空間體積，m3；Km為樣品滲透率，m2；L為樣品長度，m。dm為dt時間內(nèi)氣體質(zhì)量的變化，kg/s。

進(jìn)行3組實驗分析，實驗前對兩端氣體平衡容器充入不同初始壓力的氣體，待氣體充分飽和后，開啟閥門等待容器中氣體壓力自由平衡，記錄兩端氣體壓力隨時間的變化。實驗參數(shù)見表2。

表2 實驗參數(shù)Table 2 Experimental parameters

2.3 實驗結(jié)果與模型驗證

利用3組實驗中樣品兩端壓力隨時間變化的原始數(shù)據(jù)，通過式(13)～(15)計算得到實驗擴散流量；利用式(11)得到理論擴散系數(shù)，再利用式(12)得到擬合擴散流量。3組實驗中實驗擴散流量與擬合擴散流量隨壓力梯度的變化關(guān)系如圖 2所示。

由圖2可知，隨著實驗進(jìn)行，擴散流量由10-5cm3/s降至10-8cm3/s，與壓力梯度存在一定線性關(guān)系，DΓ模型計算的擴散流量與實驗結(jié)果擬合程度較好，吻合度均在90%以上，間接驗證了DΓ模型的合理性。3組實驗中實驗擴散系數(shù)與DΓ模型隨Kn數(shù)的變化曲線如圖 3所示。

圖2 實驗擴散流量與模型擬合擴散流量隨壓力梯度關(guān)系Fig.2 Relationships of experimental diffusion flow rate and model fitting diffusion flow rate with pressure gradient

圖3 擴散系數(shù)與Kn的關(guān)系Fig.3 Relationship between diffusion coefficient and Kn

根據(jù)數(shù)據(jù)分析得到實驗擴散系數(shù)與DΓ模型曲線的相關(guān)系數(shù)分別為0.966 8，0.954 8，0.967 5，吻合程度較好。圖3表明，氣體在頁巖中的擴散系數(shù)與Kn數(shù)負(fù)相關(guān)，根據(jù)式(11)可以表示為指數(shù)形式，但隨著Kn數(shù)的增加，擴散系數(shù)減小得更為緩慢，可以預(yù)見，當(dāng)Kn數(shù)增大到一定程度時，擴散系數(shù)將無限接近于Knudsen擴散系數(shù)Dk。

3 模型影響因素分析與開發(fā)應(yīng)用建議

從DΓ模型式(11)可以看出，氣體在頁巖中的擴散過程與氣體密度ρ、溫度T、流動Kn數(shù)以及孔隙度φ等有關(guān)。對于單一氣體流動過程而言，其密度與孔隙壓力滿足氣體狀態(tài)方程，Kn數(shù)可以用T、p與l來表示，因此，擴散系數(shù)是上述三者的函數(shù)。在儲層溫度(70 ℃)下，取孔隙度φ為5%，τ為1.3。氣體擴散系數(shù)在不同孔隙通道中隨壓力水平的變化如圖4所示，隨當(dāng)前Kn數(shù)變化如圖5所示。

圖4表明，隨著壓力的降低擴散系數(shù)逐漸增大，孔隙直徑較大時擴散系數(shù)增大幅度可達(dá)50倍，壓力低于20.000 MPa，壓力的降低對擴散系數(shù)影響較大；壓力高于30.000 MPa可忽略壓力的影響。隨著孔隙直徑的增加擴散系數(shù)逐漸增加，在壓力較低時擴散系數(shù)增大近15倍，孔隙直徑低于10 nm，孔隙直徑繼續(xù)降低，擴散系數(shù)變化幅度較大，孔隙直徑大于20 nm后擴散系數(shù)基本不再發(fā)生變化。圖5表明，Kn數(shù)低于0.2或壓力高于20.000 MPa后，擴散系數(shù)基本不再變化，說明低Kn數(shù)流動中影響氣體擴散的主要因素是壓力。而針對高壓環(huán)境下流動，圖4表明擴散系數(shù)基本不隨孔隙直徑變化，說明此時氣體的擴散系數(shù)僅與儲層溫度相關(guān)。當(dāng)Kn數(shù)大于0.2后，擴散系數(shù)快速降低，此時必須考慮Kn數(shù)對擴散系數(shù)的影響，在孔隙直徑低于1 nm后，雖Kn數(shù)較大，但此時擴散系數(shù)隨壓力變化較小。在頁巖氣井的開發(fā)周期中，生產(chǎn)初期氣體產(chǎn)量較高，傳統(tǒng)Darcy滲流是氣體流動的主要方式，隨著生產(chǎn)的進(jìn)行，儲層壓力逐漸降低，流動Kn數(shù)增加，氣體擴散開始逐漸起作用并維持生產(chǎn)，是開發(fā)中后期氣體產(chǎn)出的主要傳質(zhì)方式，也是氣井長期穩(wěn)產(chǎn)的關(guān)鍵因素。從DΓ隨壓力變化的曲線可以看出，隨著壓力下降，氣體在致密低滲的儲層中擴散系數(shù)迅速增大，基質(zhì)的實際導(dǎo)流能力增強，在Darcy滲流能力隨著開發(fā)過程逐漸降低時，氣體擴散對生產(chǎn)的貢獻(xiàn)不可忽視。因此，為了更好地發(fā)揮氣體擴散對生產(chǎn)的作用，通過一些現(xiàn)場手段如降低井底壓力、適當(dāng)增加目標(biāo)深度的溫度、采用增壓開采等方式，提高氣體在頁巖中的擴散系數(shù)，從而提高氣體流量，支撐氣井保持長期高產(chǎn)穩(wěn)產(chǎn)。利用此次研究所建立的擴散系數(shù)新模型，結(jié)合頁巖表觀滲透率的概念，可以進(jìn)一步建立起氣體流動模型，并對氣井的不同流動行為下的產(chǎn)氣量進(jìn)行計算，從而獲取在不同開發(fā)階段下各類流動對總產(chǎn)氣量的貢獻(xiàn)，對及時改變開發(fā)方式，提高產(chǎn)量有重要意義。

圖4 擴散系數(shù)隨壓力與孔隙直徑的變化關(guān)系Fig.4 Relationships between diffusion coefficient,pressure and pore diameter

圖5 擴散系數(shù)隨Kn數(shù)的變化關(guān)系Fig.5 Relationship between diffusion coefficient and Kn number

4 結(jié) 論

(1) 提出一種利用動量方程描述擴散系數(shù)，并耦合Kn數(shù)與頁巖孔隙結(jié)構(gòu)修正的新方法，建立了與頁巖孔隙度、迂曲度、氣體密度、溫度和Kn數(shù)相關(guān)的擴散系數(shù)新模型，與自主研發(fā)的近平衡態(tài)實驗方案獲得的擴散流量進(jìn)行驗證，擬合度達(dá)到90%以上。

(2) 根據(jù)對DΓ模型的分析，孔隙直徑低于10 nm或流動Kn數(shù)大于0.2后必須考慮兩者變化對擴散系數(shù)的影響，否則會對頁巖中氣體實際擴散能力的表征造成誤差。結(jié)合現(xiàn)場實際，建議在生產(chǎn)壓力低于20 MPa情況下，為減小因氣體擴散能力增大對產(chǎn)量計算帶來的影響，利用文中擴散模型建立起頁巖表觀滲透率模型來描述流動過程。

(3) 在頁巖儲層真實氣體流動過程中，氣體擴散對于流動的貢獻(xiàn)不可忽視，是氣井長期穩(wěn)產(chǎn)的關(guān)鍵因素，根據(jù)模型計算的結(jié)果，通過降低井底壓力、提高儲層溫度、采用增壓開采等方式，可有效提高氣體擴散系數(shù)，從而增加氣井產(chǎn)量。