MATLAB和指數(shù)平滑法在福建省人口老齡化中的運(yùn)用

黃 昱，劉金福，尤添革，周錚雯

（1.福建農(nóng)林大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，福建 福州 350002；2.福建農(nóng)林大學(xué) 海峽自然保護(hù)區(qū)研究中心，福建 福州 350002；3.生態(tài)與資源統(tǒng)計(jì)福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 福州 350002）

隨著經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，人口老齡化成為當(dāng)代中國所面臨的一個(gè)嚴(yán)重社會(huì)問題，即社會(huì)養(yǎng)老保障、勞動(dòng)力的減少、消費(fèi)與儲(chǔ)蓄等方面產(chǎn)生影響[1]，進(jìn)而可能對(duì)社會(huì)穩(wěn)定發(fā)展帶來一定負(fù)面影響。

福建省于21世紀(jì)初進(jìn)入老齡化社會(huì)，是目前人口的凈輸入省份，對(duì)其人口老齡化有一定的延緩作用，人口老齡化進(jìn)程略低于全國平均水平[2]，原因主要是福建省經(jīng)濟(jì)發(fā)展相對(duì)較快，吸引了大量省外人口遷移流動(dòng)，特別是勞動(dòng)年齡人口的不斷遷入，延緩了人口老齡化的進(jìn)程。

1 研究區(qū)現(xiàn)狀

從福建省六次人口普查數(shù)據(jù)看老齡化形勢(shì)，福建省老齡人口基數(shù)較大且加速增長。老齡人口比重從第四次人口普查（1990年）時(shí)的5.07%到第五次人口普查（2000年）時(shí)的6.69%，平均每年上升了0.17個(gè)百分點(diǎn)。2015年全省的老齡人口比重達(dá)到8.45%，比2010年上升了0.56個(gè)百分點(diǎn)，也超過國際老齡化標(biāo)準(zhǔn)1.45個(gè)百分點(diǎn)，超過同期中國老年系數(shù)平均水平（8.10%）0.35個(gè)百分點(diǎn)（表1、圖1）。

表1 福建省第六次人口普查年齡構(gòu)成Tab.1 Age composition of the sixth population census in Fujian Province %

圖1 福建省1953—2018年人口數(shù)占比Fig.1 Proportion of the population of Fujian Province from 1953 to 2018

對(duì)比2010年以后，2010—2018年，65歲及以上人口的比重上升1.11個(gè)百分點(diǎn)，可見隨著時(shí)間增長，福建省老年人口越來越多，逐步進(jìn)入老年化社會(huì)。

2 數(shù)據(jù)來源與預(yù)測(cè)模型

采用數(shù)據(jù)來源于福建省統(tǒng)計(jì)局（http://tjj.fj.gov.cn）及福建省統(tǒng)計(jì)年鑒，參考《2015年福建省1%人口抽樣調(diào)查分析報(bào)告》的數(shù)據(jù)資料。采用65歲及以上的老年人口數(shù)，通過MATLAB的ARIMA模型及指數(shù)平滑法對(duì)福建省老年人口數(shù)進(jìn)行建模分析，預(yù)測(cè)未來10 a的福建省老年人口數(shù)，比較2個(gè)的精準(zhǔn)性。

3 ARIMA模型預(yù)測(cè)

3.1 ARIMA模型原理

ARIMA模型，也稱為Box-Jenkins模型，是由Box和Jenkins在70年代初創(chuàng)立的一種時(shí)間序列建模方法[3]。ARIMA是最常見的預(yù)測(cè)模型，它是由自回歸、滑動(dòng)平均和差分變換3部分組成。

ARIMA（p,d,q）模型中的d為時(shí)間序列成為平穩(wěn)時(shí)所做的差分次數(shù)。AR是自回歸，p為自回歸項(xiàng)；MA為移動(dòng)平均，q為移動(dòng)平均項(xiàng)數(shù)[4]。

（1）階數(shù)為p的AR模型的算法方程

式中：yt表示樣本值，φi(i=1,2,…,p)表示AR(p)的參數(shù)，at表示白噪聲序列。

（2）階數(shù)為q的MA算法方程

式中：yt表示樣本值，θi(i=1,2,…,q)表示MA(q)的參數(shù)，εt表示白噪聲。

（3）一個(gè)ARMA(p,q)過程可以視為是AR(p)與MA(q)過程的迭加

式中：yt表示樣本值，φi(i=1,2,…,p)和θi(i=1,2,…,q)表示ARMA(p,q)的兩個(gè)參數(shù)，εt表示白噪聲，且εt～N（0，σ2）。

3.2 建模步驟

（1）數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗(yàn)

利用ARIMA模型建模必須確保數(shù)據(jù)具有平穩(wěn)性，對(duì)序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)有3種方法：第1種是時(shí)序圖法，第2種自相關(guān)圖法，第3種是構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的方法，如ADF檢驗(yàn)法(單位根檢驗(yàn))[5]。

（2）數(shù)據(jù)平穩(wěn)性處理

采用d階差分法對(duì)非平穩(wěn)數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)化[6]，給定前一時(shí)間序列值｛xt｝（t=1,2,…,k），當(dāng)前觀察序列集為｛xt+1｝（t=1,2,…,k），一階差分序列表示為：

同理二階差分方程可表示為：

（3）模型定階

根據(jù)差分次數(shù)確定參數(shù)d。根據(jù)自相關(guān)系數(shù)(ACF)和偏自相關(guān)系數(shù)(PACF)圖、AIC或者BIC準(zhǔn)則確定q,p階數(shù)，一般常用的是利用AIC準(zhǔn)則確定最佳模型階數(shù)[7]。

（4）模型參數(shù)估計(jì)

采用最大似然估計(jì)或者最小二乘估計(jì)。

（5）殘差白噪聲檢驗(yàn)

好的ARIMA模型盡量擬合線性成分，殘差表現(xiàn)為白噪聲?？蓪?duì)殘差進(jìn)行Q統(tǒng)計(jì)量和自相關(guān)圖進(jìn)行分析[8]。

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

式中：ρΛ是k階滯后的自相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值，m為自相關(guān)系數(shù)的階數(shù)(人為選定的一個(gè)數(shù))，n是樣本大小。

（6）對(duì)數(shù)據(jù)作出預(yù)測(cè)

（7）性能評(píng)估

3.3 結(jié)果分析

（1）數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗(yàn)

采用2000—2018年共19個(gè)65歲以上人口數(shù)據(jù)進(jìn)行建模預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如圖2、3所示。

圖2 數(shù)據(jù)時(shí)序圖Fig.2 Data sequence diagram

圖3 自相關(guān)和偏相關(guān)圖Fig.3 Autocorrelation and partial correlation graphs

圖2可看出從人口數(shù)是上下波動(dòng)的，但是有明顯的上升趨勢(shì)性變化，因此可以大致判定老年人口數(shù)是非平穩(wěn)的。老年人口數(shù)的ACF圖呈現(xiàn)出自相關(guān)系數(shù)圖呈現(xiàn)出倒三角狀態(tài)，其因此可判斷該時(shí)間序列是非平穩(wěn)的（見圖3）。

為了更加準(zhǔn)確的判斷數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性，接下來采用定量法——單位根檢驗(yàn)法（ADF）來對(duì)老年人口數(shù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。由結(jié)果可知，t值均大于1%,5%,10%置信水平，拒絕原假設(shè)，即該序列為非平穩(wěn)時(shí)間序列。

（2）數(shù)據(jù)平穩(wěn)性處理

對(duì)老年人口數(shù)進(jìn)行一階差分處理的到的時(shí)序圖如圖4所示。

圖4 一階差分時(shí)序圖Fig.4 First-order differential timing diagram

通過圖4時(shí)序圖觀察法可以看出一階差分后的序列無明顯的趨勢(shì)性變化，但是又有一定的下降趨勢(shì)，因此無法準(zhǔn)確判斷差分后老年人口數(shù)的平穩(wěn)性。

圖5 一階差分自相關(guān)圖和偏相關(guān)圖Fig.5 First-order differential autocorrelation graph and partial correlation graph

通過圖5看出差分序列的自相關(guān)系數(shù)隨著延遲階數(shù)衰減向零的速度比較快，且表現(xiàn)出1階截尾，因此一階差分后的老年人口數(shù)是平穩(wěn)的。

通過單位根(ADF)檢驗(yàn)法一階差分后數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性的判斷后，發(fā)現(xiàn)t值均小于5%,10%置信水平，接受原假設(shè)，即一階差分后的序列為平穩(wěn)時(shí)間序列。通過時(shí)序圖觀察法和單位根(ADF)檢驗(yàn)法都說明一階差分后的序列為平穩(wěn)時(shí)間序列。

（3）模型定階

通過AIC準(zhǔn)則可以得出,當(dāng)階數(shù)p=1,q=0的時(shí)候，AIC有最小值。因此確定ARIMA模型的最優(yōu)階數(shù)為p=1，q=0，d=1。即ARIMA（1,1,0）為最佳模型。

（4）模型參數(shù)估計(jì)

模型參數(shù)估計(jì)在MATLAB中有自帶的庫函數(shù)可直接調(diào)用。

（5）模型檢驗(yàn)-殘差分析

通過LB(Ljung-Box)檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量對(duì)殘差數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)。通過結(jié)果來看，顯著性水平為0.05，前1～8階的P值都顯著大于0.05，那么相關(guān)系數(shù)與零沒有顯著差異，即時(shí)間序列中有用的信息已經(jīng)被提取完畢，殘差數(shù)據(jù)為白噪聲序列，建模成功。

（6）數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)值如圖6所示。

圖6 福建省老年人口數(shù)預(yù)測(cè)Fig.6 Forecast of the elderly population in Fujian Province

從圖6中可以看出，福建省老年人口數(shù)隨著時(shí)間的推移，也逐漸增加，但是到了一定時(shí)期，老年人口數(shù)由于某些原因?qū)е缕錅p少，但是又逐步增加，其變化是不穩(wěn)定的。

4 指數(shù)平滑法

4.1 指數(shù)平滑法原理

指數(shù)平滑法屬于時(shí)間序列法中的一種，是由美國學(xué)者布朗（Robert G.Brown）于1960年提出的[9]，布朗認(rèn)為時(shí)間序列的發(fā)展具有規(guī)律性、穩(wěn)定性和規(guī)則性，能夠合理地向外順延。[10]根據(jù)平滑次數(shù)不同，指數(shù)平滑法分為一次指數(shù)平滑法、二次指數(shù)平滑法和三次指數(shù)平滑法等[11]。但它們的基本思想都是：預(yù)測(cè)值是以前觀測(cè)值的加權(quán)和，且對(duì)不同的數(shù)據(jù)給予不同的權(quán)數(shù)，新數(shù)據(jù)給予較大的權(quán)數(shù)，舊數(shù)據(jù)給予較小的權(quán)數(shù)[12]。

（1）指數(shù)平滑法基本公式

式中：St為時(shí)間t的平滑值；yt為時(shí)間t的實(shí)際值；St-1為時(shí)間t-1的平滑值；a為平滑常數(shù)，其取值范圍為[0,1]。

（2）一次指數(shù)平滑法

當(dāng)時(shí)間數(shù)列無明顯的趨勢(shì)變化，可用一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)[13]。其預(yù)測(cè)公式為：

（3）二次指數(shù)平滑法

二次指數(shù)平滑是對(duì)一次指數(shù)平滑的再平滑[14]，其預(yù)測(cè)公式為：

（4）三次指數(shù)平滑法

三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)是二次平滑基礎(chǔ)上的再平滑。其預(yù)測(cè)公式為：

4.2 指數(shù)平滑法的預(yù)測(cè)

4.2.1 平滑系數(shù)的確定

當(dāng)已知時(shí)間序列中的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)大于20時(shí)，可以近似認(rèn)為初始值對(duì)未來預(yù)測(cè)值的影響較小，因此可考慮將目標(biāo)序列的第一期數(shù)據(jù)作為模型初值。[16]當(dāng)目標(biāo)序列中的數(shù)值個(gè)數(shù)少于20，則可以取時(shí)間序列平均值作為當(dāng)模型的初值。[17]初始值取平均值246，令a=0.3、0.6、0.9，進(jìn)行一次指數(shù)平滑，結(jié)果如表2所示。

表2 一次平滑后老年人口數(shù)預(yù)測(cè)Tab.2 Forecast of the elderly population after a smoothing

由表2可看出，當(dāng)a=0.9的時(shí)候，數(shù)值最接近真實(shí)人口數(shù)，故平滑系數(shù)取0.9。

表3 三次平滑后老年人口數(shù)預(yù)測(cè)Tab.3 Forecast of the elderly population after three smoothing

4.2.2 模型確定

根據(jù)第一次指數(shù)平滑取得的平滑指數(shù)值，依次進(jìn)行二次平滑和三次平滑，得出人口預(yù)測(cè)如表3所示。

綜上所述，可以得出預(yù)測(cè)模型為Ft+m=At+Btm+Ctm2，即F2018+m=355+11.36m+0.298m2。

4.2.3 模型預(yù)測(cè)

通過預(yù)測(cè)模型，對(duì)福建省2019—2032年進(jìn)行老年人口預(yù)測(cè)，得出的人口預(yù)測(cè)值見圖7所示。

圖7 福建省老年人口數(shù)預(yù)測(cè)圖Fig.7 Forecast of the number of elderly in Fujian Province

從圖7中看出福建省老年人口數(shù)隨著時(shí)間的推移是在逐漸增加的。同理，對(duì)福建省總?cè)丝跀?shù)同時(shí)進(jìn)行三次指數(shù)平滑法，得出的預(yù)測(cè)模型為：F2018+m=3 941+27.969m-2.282m2，進(jìn)行預(yù)測(cè)得出福建省總?cè)丝跀?shù)預(yù)測(cè)。

圖8中更能清晰發(fā)現(xiàn)隨著年份的增加，老年人口數(shù)在總?cè)丝跀?shù)當(dāng)中的比例逐漸增加。

圖8 福建省預(yù)測(cè)老人人口數(shù)占比Fig.8 Proportion of the population of the elderly in Fujian Province

從上述圖表中可以看出，隨著時(shí)間的變化，福建省老年人口數(shù)的比例雖有漲幅，但沒有特別大的變化。

5 結(jié)論

研究通過分析福建省老年人口數(shù)，對(duì)人口老齡化進(jìn)行了分析，通過建立ARIMA（1,1,0）模型和指數(shù)平滑模型，對(duì)福建省未來的老年人口數(shù)做了一個(gè)預(yù)測(cè)。研究發(fā)現(xiàn)福建省老年人口數(shù)呈現(xiàn)逐步上升的趨勢(shì)，但是隨著時(shí)間的延續(xù)，老年人口數(shù)又逐漸減少，呈現(xiàn)一種周期性。繼而建立指數(shù)平滑模型F2018+m=355+11.36m+0.298m2，發(fā)現(xiàn)福建省老年人口數(shù)雖然呈現(xiàn)逐步增加的趨勢(shì)，但趨勢(shì)是平緩的。為了減緩進(jìn)入老齡化社會(huì)的腳步，需要正確認(rèn)識(shí)人口老齡化，抓住機(jī)遇，迎接挑戰(zhàn)，積極采取相應(yīng)的對(duì)策。[18]所以針對(duì)福建省人口老齡化，研究建議：

（1）實(shí)現(xiàn)健康老齡化，建立老年醫(yī)療健康保險(xiǎn)制度

建立健全老年醫(yī)療健康保險(xiǎn)制度是實(shí)現(xiàn)健康老齡化的現(xiàn)實(shí)路徑。[19]老年人脫離工作崗位之后，大部分成為了弱勢(shì)群體，而且老年人群是醫(yī)療保險(xiǎn)的絕大部分人口，所以制定并完善醫(yī)療保險(xiǎn)制度相關(guān)政策且建立醫(yī)療保障體系，改善老年人當(dāng)前醫(yī)療條件水平。[20]

（2）構(gòu)建老年人信息平臺(tái)，鼓勵(lì)用人單位對(duì)老年員工返聘

對(duì)于一些單位或者企業(yè)來說，老年員工擁有年輕員工所缺少的工作責(zé)任心，更重要的是擁有嫻熟的知識(shí)理論和技能運(yùn)用，所以政府可以搭建一個(gè)信息平臺(tái)專門為老年人服務(wù)，并可以鼓勵(lì)單位和企業(yè)對(duì)于老年員工進(jìn)行返聘。

（3）促進(jìn)構(gòu)建養(yǎng)老保險(xiǎn)制度體系框架

針對(duì)人口老齡化，政策設(shè)計(jì)者沒有辦法對(duì)其進(jìn)行改變，但是他們能夠制定合理的參數(shù)來平衡養(yǎng)老金的支出水平。這樣不僅能為政府的財(cái)政負(fù)擔(dān)減輕壓力又能減少企業(yè)的繳費(fèi)行為，并且能為老年人口提供充足的收入保障來避免出現(xiàn)老年貧困現(xiàn)象，最終達(dá)到長期財(cái)務(wù)收支平衡且能夠可持續(xù)性的發(fā)展。