黃土高原坡度因子的多重分形譜特征

夏積德, 叢佩娟, 李俊鋒

(1.楊凌職業(yè)技術學院, 陜西 楊凌 712100; 2.水利部 水土保持監(jiān)測中心, 北京 100053; 3.陜西測繪地理信息局, 陜西 西安 710054)

地形因子是水土流失、水文過程模擬的參數(shù)，科學量化地形因子對于水土流失這一地理界面過程的研究具有極為重要的意義。大量研究發(fā)現(xiàn)，自然界中大部分區(qū)域的地表形態(tài)復雜多變，呈現(xiàn)出明顯的不均勻性和分形特征，即具有以非整數(shù)維形式充填空間的形態(tài)特征。若僅采用普通分形維數(shù)的方法并不能詳細且全面地反映不同區(qū)域條件、不同尺度下的地形因子特征。在多重分形理論被提出后，由于其采用廣義維數(shù)和多重分形譜來描述分形客體，考慮了對象屬性在幾何支集的空間奇異性分布這一特點[1]，即能考慮到復雜分形體內(nèi)部不同區(qū)域呈現(xiàn)出不同分形特征，因而逐漸被用于包括地形地貌學在內(nèi)的各種地理學相關研究。沈中原等[2]借助多重分形理論構建了海拔信息空間分布概率計算模型；張建興等[3]探討了黃土高原若干流域的河網(wǎng)分形特征并基于此建立起產(chǎn)沙模數(shù)模型；王民等[4-5]運用多重分形理論及其實現(xiàn)方法分析了大理河流域地表形態(tài)的多重分形特征。這些研究多運用分形理論表征區(qū)域地貌形態(tài)的綜合特征[6]，但對于黃土高原地區(qū)地形因子(如坡度)的多重分形研究還很少涉及。因此，本文運用多重分形理論來研究黃土高原地區(qū)地形因子的特點，旨在為黃土高原地區(qū)開展地形因子方面的研究提供參考。本研究對區(qū)域水文過程、水土流失預報模型的建立具有積極意義。

1 研究區(qū)概況

黃土高原地處中國中北部地區(qū)，轄內(nèi)蒙古、山西、陜西、寧夏、甘肅、青海、河南7個省區(qū)，東西跨越1 000 km多，南北跨越近750 km，總面積約為6.40×104km2，海拔高度介于1 000～3 000 m，是中國4大高原之一。黃土高原整體表現(xiàn)出西北高東南低的特點，寧夏西南方的六盤山和山西西部的呂梁山將整個黃土高原劃分為3個部分，在此劃分基礎上進一步按照地形地貌特點將黃土高原劃分為山地區(qū)、黃土丘陵區(qū)、黃土塬區(qū)以及河谷平原區(qū)4種類型。山地區(qū)主要包括馬銜山地區(qū)、拉脊山地區(qū)、六盤山地區(qū)、子午嶺地區(qū)、太行山地區(qū)和呂梁山地區(qū)，海拔跨度大、地形地貌差異較大，由于長期受重力、流水以及風力等侵蝕因素的影響，山地區(qū)的地貌侵蝕現(xiàn)象嚴重，溝壑明顯，坡度較大；丘陵區(qū)作為黃土高原地區(qū)較為典型的地形地貌區(qū)域有著十分廣闊的分布區(qū)域，其占據(jù)了超過黃土高原地區(qū)一半的面積。丘陵區(qū)在黃土高原分布范圍遼闊，不同區(qū)域的丘陵區(qū)之間還存在不小的差異；黃土塬區(qū)中分布著大量塬面，塬面頂部十分平坦，地形復雜程度較低。與之形成強烈對比的是塬面周圍陡峭的溝壑，這些溝壑分布在一個又一個塬面之間，使得黃土塬區(qū)內(nèi)部的地形地貌形成了十分大的反差，地形復雜度對比強烈；河谷平原區(qū)以關中平原最具代表性，關中平原位于陜西省中部，呈東西帶狀分布，地形較為單一，多為平原，在長期的沖擊下形成了平坦開闊的地貌景觀。

2 研究方法

在黃土高原不同地貌類型區(qū)內(nèi)選擇合適的研究區(qū)，獲取各子研究區(qū)的DEM(來源于地理空間數(shù)據(jù)云(http:∥www.gscloud.cn/，空間分辨率為30 m×30 m，并在GIS中提取得到坡度因子的柵格數(shù)據(jù)；隨后，采用盒維數(shù)的計算方法，計算得到坡度因子的多重分形譜并對其主要參數(shù)及圖像特征進行對比分析。

2.1 多重分形譜的計算

盒維數(shù)方法是一種基于統(tǒng)計學原理的計算多重分形的方法，具有簡便且易于理解的特點，經(jīng)常被用于地形地貌多重分形的計算[7]。盒維數(shù)是用一系列緊密相連的正方形盒子去覆蓋分形體，即將研究對象分為很多個(假設有i行j列總計N個)尺度大小為r的正方形網(wǎng)格單元[8]，然后計算每個網(wǎng)格單元內(nèi)的概率測度。對于坡度因子來說，概率測度的大小可以用坡度概率函數(shù)表示，每個小網(wǎng)格單元的坡度概率函數(shù)的計算公式為：

(1)

式中：Pij(r) 表示位于第i行第j列的網(wǎng)格的坡度概率函數(shù);Air(r)表示位于第i行第j列的網(wǎng)格內(nèi)的坡度統(tǒng)計值;N表示網(wǎng)格單元的總個數(shù),其在數(shù)值上滿足:N=i×j。

根據(jù)公式(1)并結合多重分形理論[9-10]可知，坡度概率函數(shù)可以粗略衡量一個網(wǎng)格單元區(qū)域的地形特點，數(shù)值越小表示該網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)坡度越小，具有越平坦的地形特點，如塬面、平原等；反之，坡度概率函數(shù)的數(shù)值越大表示網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)的坡度越大，地形起伏程度越大，如峁、坡面等。

在盒維數(shù)方法中，檢驗一個研究對象是否具有多重分形特征，有一個配分函數(shù)的概念[11]，配分函數(shù)的計算公式如下：

(2)

式中：Xq(r)表示分形體的配分函數(shù);Pij(r)表示位于第i行第j列的網(wǎng)格的坡度概率函數(shù);q表示階矩,可以取任意實數(shù),配分函數(shù)中q的取值直接影響著不同的概率測度在整個配分函數(shù)上所占比重的大小。

對于給定的一對r和q，都可以通過公式(1)和公式(2)計算得到一個配分函數(shù)。在盒維數(shù)方法中，如果研究對象具有多重分形特征，那么配分函數(shù)Xq(r)和r之間應該滿足以下的關系[12]：

Xq(r)∝rτ(q)

(3)

式中：τ(q)是關于q的一個表達式,在探討研究對象是否具有多重分形特征的過程中無關緊要。

根據(jù)上述關系可知，對兩邊同時取對數(shù)，lnXq(r)和lnr滿足線性關系。因此繪制以lnr為橫軸，lnXq(r)為縱軸的散點分布圖，對其擬合，如果lnXq(r)—lnr圖像為一系列斜率不等的直線，則表明研究對象具有多重分形特征[13]，可以進一步計算其多重分形譜及其特征參數(shù)。

本研究利用Chhabra等[14]提出的一種建立在盒維數(shù)方法基礎上的通過擬合參數(shù)計算多重分形譜的方法來計算多重分形譜。這種方法需要設立一個經(jīng)過歸一化處理的測度集μij(q,r)，其計算公式如下：

(4)

在這個測度集的基礎上結合多重分形的概念，可以通過下面的公式來計算多重分形中的奇異指數(shù)α和分形維數(shù)f(α)：

(5)

(6)

奇異指數(shù)α是一個標度指數(shù)，它是反映分形體內(nèi)各個小區(qū)間的奇異程度的一個量，α的數(shù)值與其所在的位置有關。將分形上具有相同α值的小區(qū)間數(shù)記為f(α)，基于此可以得到α—f(α)的函數(shù)圖像，稱為奇異譜。橫坐標的范圍是多重分形譜奇異指數(shù)α的分布范圍，α的大小反映該部分的奇異程度。

在計算時，常常按照公式(5)和公式(6)的數(shù)學幾何意義借助擬合的方法來得到α和f(α)的值。將公式(5)處理可得：

(7)

公式(7)根據(jù)一次函數(shù)相關概念及其圖像性質可知α為∑μij(q,r)·lnPij(r)—lnr圖像的斜率，類似地，f(α)為∑〔μij(q,r)·lnμij(q,r)〕—lnr圖像的斜率。

首先確定一個q值，保持階矩q不變而改變尺度r，每選取一個r進行計算，按照公式(1)，(2)，(4)就可以得到一個對應的∑μij(q,r)·lnPij(r)—lnr和∑〔μij(q,r)·lnμij(q,r)〕，通過在二維坐標系中進行擬合便可得到每個q對應的奇異指數(shù)α和分形維數(shù)f(α)。改變階矩q的值，便能得到一系列的α和f(α)，而多重分形譜就是以α為橫坐標，f(α)為縱坐標的圖像。

2.2 特征參數(shù)的取值

(1) 格網(wǎng)大小(尺度)r的選取。根據(jù)多重分形理論，格網(wǎng)的大小直接影響到格網(wǎng)的總數(shù)量和每個格網(wǎng)的概率測度，這兩個因素決定著多重分形計算過程中的效率和準確性，因此從簡便、可實施的角度出發(fā)，需選取大小為30 m整數(shù)倍的格網(wǎng)來覆蓋研究區(qū)。結合所選4個研究區(qū)坡度數(shù)據(jù)的實際情況，規(guī)定一個柵格大小即30 m為一個單位，通過反復試驗最終選取格網(wǎng)尺度大小為20，30， 40，…，190，200個單位，亦即600，900，1 200，…，5 700，6 000 m，共19種。

(2) 階距q取值范圍的確定。公式(3)配分函數(shù)中q的取值直接影響著不同的概率測度在整個配分函數(shù)上所占比重的大小[15]，當q取正值且取值越大，配分函數(shù)越能反映具有較大坡度概率函數(shù)的那些網(wǎng)格單元的特征和性質；當q取負值且取值越小，則配分函數(shù)越能反映具有較小坡度概率函數(shù)的那些網(wǎng)格單元的特征和性質。因而q的取值對配分函數(shù)的計算結果影響很大，不同區(qū)域坡度的位置分布和大小范圍不同，各研究區(qū)q的取值范圍也不同，研究表明，在地形地貌多重分形的計算中，q值分布在0左右且通常介于±30之間[4]。

本研究對每一個子研究區(qū)在-50～50之間等間距選取不同的q值，通過盒維數(shù)計算多重分形譜的方法驗證q是否在合適的區(qū)間。在初步確定q的合適區(qū)間后繼續(xù)加密q的取值，最終得到每個研究區(qū)階矩q的最佳取值范圍見表1。

表1 研究區(qū)q最佳取值范圍

3 結果與分析

3.1 坡度概率分布特點

為更詳細、系統(tǒng)地了解各研究區(qū)坡度大小的分布情況，對4個研究區(qū)的坡度進行統(tǒng)計(圖1)。可以看出，山地區(qū)、黃土丘陵區(qū)、黃土塬區(qū)、河谷平原區(qū)的坡度介于0°～10°之間的柵格占比分別為35.80%，35.50%，60.75%，>99.99%；介于10°～20°之間的柵格占比分別為24.23%，40.59%，16.94%，<0.01%；介于20°～30°之間的柵格占比分別為20.48%，20.92%，13.74%，0%；介于30°～40°之間的柵格占比分別為15.76%，2.89%，7.54%，0%；介于40°～50°之間的柵格占比分別為3.63%，0.10%，1.02%，0%；介于50°～60°之間的柵格占比分別為0.1%，0%，0.01%，0%。

圖1 研究區(qū)不同地形坡度統(tǒng)計

由統(tǒng)計結果得知：①山地區(qū)的坡度分布區(qū)間最大，大部分柵格處于0°～20°這一中小坡度區(qū)間，坡度大于40°的區(qū)間在4個研究區(qū)中占比最高；②黃土丘陵區(qū)坡度介于0°～10°區(qū)間內(nèi)的占比最少，坡度大部分位于10°～20°這一坡度范圍內(nèi)。同時，大于30°的坡度占比較小，因此在黃土丘陵研究區(qū)內(nèi)大坡度的地形較少，地形特點較為均一；③黃土塬區(qū)有大面積的平坦塬面，坡度大部分介于0°～10°之間，因此坡度值往往很小，由于所選研究區(qū)面積固定為30 km×30 km，在這樣一個較大的范圍內(nèi)不可避免地包括了塬面周圍的切溝、坡面等非塬面地形，因此也存在少量坡度大于20°的非塬面特征柵格；④河谷平原區(qū)的坡度統(tǒng)計圖特征十分明顯，幾乎所有柵格的坡度均介于0°～10°之間，在4個研究區(qū)中地形最為平坦。

3.2 多重分形特征檢驗結果

在計算坡度信息多重分形譜前需要先驗證研究對象是否具有多重分形特征。為此，在平面坐標系中，以lnr為橫坐標，lnXq(r)為縱坐標，繪制出每個研究區(qū)的lnXq(r)曲線，4個研究區(qū)坡度地形因子繪制的lnXq(r)—lnr曲線見圖2。

從圖2中可以看出，每個研究區(qū)在各自合適的q范圍內(nèi)，當尺度對數(shù)滿足3.0≤lnr≤5.3時，配分函數(shù)對數(shù)與尺度對數(shù)之間存在很好的線性關系，表明黃土高原區(qū)域上述4個研究區(qū)的坡度信息具有明顯的多重分形特征，可以進行多重分形譜的計算。

圖2 研究區(qū)不同地形lnXq(r)-lnr特征

3.3 坡度信息多重分形譜及其參數(shù)

以坡度數(shù)據(jù)為基礎，利用多重分形理論原理和計算方法得到研究區(qū)坡度信息多重分形譜散點分布圖(圖3)及其參數(shù)結果(表2)。由圖3的多重分形譜可以看出，不同研究區(qū)的多重分形譜均為凸函數(shù)。在一個研究區(qū)內(nèi)，多重分形譜函數(shù)值隨著坡度奇異指數(shù)的增加均呈現(xiàn)出先遞增后遞減的變化特征。而在各研究區(qū)之間，坡度多重分形譜的對稱性、圖像分布范圍均有不同，這是由于各研究區(qū)多重分形譜參數(shù)的差異導致的。通過對多重分形譜圖的二維坐標系進行擬合，得到各研究區(qū)詳細的多重分形譜參數(shù)信息見表2。

圖3 研究區(qū)不同地形多重分形譜特征

表2 研究區(qū)多重分形特征參數(shù)

從多重分形譜參數(shù)統(tǒng)計表中可以看出，最小坡度奇異指數(shù)的最大值為1.94，出現(xiàn)在黃土丘陵區(qū)，最小值為1.82，出現(xiàn)在黃土塬區(qū)，說明在4個研究區(qū)中，坡度最大的地貌單元出現(xiàn)在黃土塬區(qū)(奇異指數(shù)最小值對應的是坡度最大地貌單元的性質)；最小坡度奇異指數(shù)相應的多重分形譜值的最大值為1.78，出現(xiàn)在黃土塬區(qū)，最小值為1.45，出現(xiàn)在黃土丘陵區(qū)，這說明最小坡度奇異指數(shù)對應的地貌類型單元在黃土塬區(qū)所占比例最大，這與魯克新等[16]的研究結果相一致，在黃土丘陵區(qū)所占比例最小，即坡度最大的子區(qū)域在黃土塬區(qū)占比最高，而在黃土丘陵區(qū)占比最低；最大坡度奇異指數(shù)的最大值為2.90，出現(xiàn)在黃土塬區(qū)，最小值為2.07，出現(xiàn)在黃土丘陵區(qū)，說明地形特征最簡單的地貌單元出現(xiàn)在黃土塬區(qū)；最大坡度奇異指數(shù)所對應的多重分形譜值最大值為1.63，出現(xiàn)在河谷平原區(qū)，最小值為1.56，出現(xiàn)在黃土塬區(qū)，說明最大坡度奇異指數(shù)對應的地貌類型單元在河谷平原區(qū)所占比例最大，在黃土塬區(qū)所占比例最小。黃土塬區(qū)對應的坡度奇異指數(shù)的極值最大，為1.08，山地區(qū)次之，為0.50，然后是河谷平原區(qū)的0.35，而黃土丘陵區(qū)為0.13。

在多重分形譜左端點值與右端點值之差這個參數(shù)上，從絕對值的大小來看，黃土塬區(qū)最大，數(shù)值為0.22，說明該研究區(qū)最小坡度奇異指數(shù)對應的地貌單元所占比例與最大坡度奇異指數(shù)對應的地貌單元所占比例的差異性最大，黃土丘陵區(qū)次之，差異性最小的是河谷平原區(qū)。從正負的角度來看，黃土丘陵區(qū)和河谷平原區(qū)為負值，山地區(qū)、黃土塬區(qū)為正值，說明前兩個研究區(qū)的大坡度地貌單元所占比重較后兩個研究區(qū)要小。

4 討論與結論

目前，已有大量研究者采用簡單分形維數(shù)、多重分形譜和聯(lián)合多重分形等方法來表征復雜地貌的形態(tài)及其特征[17]，但對于坡度因子的多重分形研究還很少涉及。本研究在DEM數(shù)據(jù)的基礎上，將黃土高原按照不同地形地貌劃分為山地區(qū)、黃土丘陵區(qū)、黃土塬區(qū)、河谷平原區(qū)，并對坡度因子的多重分形譜圖像和多重分形特征參數(shù)進行了對比分析，總結出各自區(qū)域的多重分形譜特點，為后續(xù)開展黃土高原地形因子方面的研究打下了基礎，對區(qū)域水文過程、水土流失預報模型的建立具有積極意義。

像元尺度的選取是地形因子分形維數(shù)計算的關鍵，像元尺度在范圍之外時，地形因子的分形計算沒有意義。本研究對研究區(qū)的多重分形特征進行驗證，結果表明尺度對數(shù)滿足3.0≤lnr≤5.3時，黃土高原地區(qū)坡度地形因子的配分函數(shù)對數(shù)與尺度對數(shù)之間的線性關系良好，表明黃土高原區(qū)域上述4個研究區(qū)的坡度信息具有明顯的多重分形特征，可以進行多重分形譜的計算。

不同地形的多重分形譜圖以及特征參數(shù)都有著明顯的差異，其橫坐標奇異指數(shù)α的大小反映該區(qū)域的奇異程度，這一參數(shù)的數(shù)值越大，表明分形體坡度特征的分異現(xiàn)象越大，其內(nèi)部越不均勻、越復雜，兩極化趨勢越明顯，α最小值、最大值所對應的多重分形譜值記為f(αmin)，f(αmax)，描述了小坡度單元區(qū)域和大坡度單元區(qū)域在整個研究區(qū)域內(nèi)所占的比例高低。通過多重分形譜的研究可以發(fā)現(xiàn)，最小坡度奇異指數(shù)的最小值為1.82，相應的多重分形譜值的最大值為1.78，最大坡度奇異指數(shù)在4個研究區(qū)內(nèi)最大，所對應的多重分形譜在4個研究區(qū)最小為1.57，說明坡度最小地貌單元在黃土塬區(qū)所占比例最小，坡度最大的地貌單元出現(xiàn)在黃土塬區(qū)且占比最高。黃土丘陵區(qū)、河谷平原區(qū)則表現(xiàn)出較小的奇異指數(shù)變化范圍，黃土丘陵區(qū)最小坡度奇異指數(shù)的最小值為1.94，最大值為2.07，河谷平原區(qū)最小坡度奇異指數(shù)的最小值為1.85，最大值為2.19，相比之下地形較為均一。

通過多重分形譜與統(tǒng)計直方圖對照研究可以發(fā)現(xiàn)，在4個研究區(qū)中，黃土塬區(qū)有不少坡度達到了40°，且坡度最大的地貌單元出現(xiàn)在黃土塬區(qū)且占比最高，在地勢平坦的塬面出現(xiàn)這種情況是由于所選研究區(qū)面積固定為30 km×30 km，而單個塬面通常面積有限，在這樣一個較大且規(guī)則的范圍內(nèi)不可避免地包括了塬面周圍的切溝、坡面等非塬面地形，因此其坡度統(tǒng)計中也存在少量坡度大于20°的非塬面特征柵格，這也是黃土塬區(qū)的多重分形譜中奇異指數(shù)最小、對應的多重分形譜值在4個研究區(qū)中最大的原因，同時也反映了研究區(qū)地形復雜的特點。結合多重分形理論的相關知識發(fā)現(xiàn)，本研究結果與實際情況有著較好的對應，表明基于多重分形理論與方法對黃土高原地區(qū)的地形因子進行量化研究是可行的，為黃土高原地區(qū)開展地形因子方面的研究提供了參考，對區(qū)域水文過程模擬、水土流失預報模型的建立具有積極意義?？蔀辄S土高原的地貌學研究、土壤侵蝕研究和水土保持規(guī)劃工作的開展提供技術支持和幫助。