三角函數(shù)中的結(jié)構(gòu)不良型題的解題策略

解決任何一個(gè)數(shù)學(xué)問題都是聯(lián)系題中的條件和結(jié)論，運(yùn)用適當(dāng)?shù)乃季S方式進(jìn)行探究，相對(duì)其他的問題，三角函數(shù)中的結(jié)構(gòu)不良型題更注重思維性，主要有以下的思維方式：

1.將題中的已知和結(jié)論都看作條件，有機(jī)地結(jié)合，推導(dǎo)出要證的結(jié)論或求出參量的范圍.

2.利用特殊和一般，個(gè)體和總體的辯證關(guān)系，通過個(gè)體來發(fā)現(xiàn)普遍的規(guī)律，或根據(jù)普遍的規(guī)律代入個(gè)體中，從而加強(qiáng)題目的條件，這樣便于盡快解決問題.

3.對(duì)于存在性問題的求解，應(yīng)先假設(shè)存在，再根據(jù)題中所給的條件，要么推出存在的范圍，要么得出矛盾.若得出矛盾則說明不存在.

4.條件或結(jié)論開放性問題，應(yīng)發(fā)散自己的思維，結(jié)合所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分析，從而可尋找出所要補(bǔ)的條件和能得出的結(jié)論.

典型例題：在①cos2B-3sinB+2=0，②2bcosC=2a-c，③ba=cosB+13sinA三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答.

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若，且a，b，c成等差數(shù)列，則△ABC是否為等邊三角形？若是，寫出證明;若不是，說明理由，

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

解：選①

∵cos2B=1-2sin2B，∴2sin2B+3sinB-3=0，

即（2sinB-3）（sinB+3）=0，解得sinB=-3（舍去）或sinB=32.

∵0

故△ABC是等邊三角形.

選②

由正弦定理可得2sinBcosC=2sinA-sinC，

故2sinBcosC=2sin（B+C）-sinC.

整理得2cosBsinC-sinC=0.

∵00.即cosB=12.

∵0

又∵a，b，c成等差數(shù)列.∴2b=a+c.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB.可得a2+c2-2ac=0，即a=c.故△ABC是等邊三角形.

選③

由正弦定理得sinBsinA=cosB+13sinA，

∵sinA≠0，∴3sinB-cosB=1.

即sin（B-π6）=12，∵0

由余弦定理b2=a2+c2-2accosB.可得a2+c2-2ac=0，即a=c.故△ABC是等邊三角形.

自主練習(xí)：

1.在條件①（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，②asinB=bcos（A+π6），③bsinB+C2=asinB中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問題中，并給出問題解答.

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，b+c=6，a=26，求△ABC的面積.

解：若選①：

由正弦定理得（a+b）（a-b）=（c-b）c，即b2+c2-a2=bc，所以

cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，

因?yàn)锳∈（0，π），所以A=π3.又a2=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc，a=26，b+c=6，

所以bc=4，

所以S△ABC=12bcsinA=12×4×sinπ3=3.

若選②：

由正弦定理得sinAsinB=sinBcos（A+π6）.

因?yàn)?

即tanA=33，因?yàn)?

又因?yàn)閍2=b2+c2-2bccosπ6，

所以bc=（b+c）2-a22+3=62-（26）22+3，

即bc=24-123，

所以S△ABC=12bcsinA=12×（24-123）×12=6-33.

若選③：

由正弦定理得sinBsinB+C2=sinAsinB，因?yàn)?

所以sinB+C2=sinA，又因?yàn)锽+C=π-A，

所以cosA2=2sinA2cosA2，

因?yàn)?

∴sinA2=12，A2=π6，所以A=π3.

又a2=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc，

a=26，b+c=6，所以bc=4，

所以S△ABC=12bcsinA=12×4×sinπ3=3.

2.在△ABC中，a+b=11，再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：

（1）a的值;

（2）sinC和△ABC的面積.

條件①：c=7，cosA=-17;

條件②：cosA=18，cosB=916.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

分析：選擇條件①（1）由余弦定理求出（a+b）（a-b）=49+2b，再結(jié)合a+b=11，即可求出a的值.

（2）由正弦定理可得sinC，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出.

選擇條件②（1）根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系和正弦定理可得ab=sinAsinB=65，再結(jié)合a+b=11，即可求出a的值.

（2）由兩角和的正弦公式求出sinC，再根據(jù)三角形面積公式求得結(jié)果.

解析：選擇條件①（1）由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，即a2-b2=49-14b×（-17）=49+2b，

∴（a+b）（a-b）=49+2b，

∵a+b=11，∴11a-11b=49+2b，即11a-13b=49，

聯(lián)立a+b=1111a-13b=49，解得a=8，b=3，

故a=8.

（2）在△ABC中，sinA>0，

∴sinA=1-cos2A=437，

由正弦定理可得asinA=csinC，

∴sinC=csinAa=7×4378=32，

∴S△ABC=12absinC=12×8×3×32=63.

選擇條件②（1）在△ABC中，sinA>0，sinB>0，C=π-（A+B），

∵cosA=18，cosB=916，

∴sinA=1-cos2A=378，

sinB=1-cos2B=5716，

由正弦定理可得asinA=bsinB，∴ab=sinAsinB=65，

∵a+b=11，∴a=6，b=5，故a=6;

（2）在△ABC中，C=π-（A+B），

∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=378×916+5716×18=74，

∴S△ABC=12absinC=12×6×5×74=1574.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系，兩角和的正弦公式，正余弦定理，三角形的面積公式等知識(shí)，考查了運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力.

（作者：熊如佐，江蘇省東海高級(jí)中學(xué)）