2020高考平面向量考題展示

近幾年高考命題中，對(duì)向量的考查主要以向量的基本概念、定理、運(yùn)算等為命題視角，本文就2020高考題中的平面向量題目進(jìn)行歸類(lèi)分析.

一、準(zhǔn)確理解相關(guān)概念、定理的本質(zhì)

考點(diǎn)1：向量的模長(zhǎng)的計(jì)算

例1 （2020全國(guó)Ⅰ卷第14題）設(shè)a，b為單位向量，且|a+b|=1，則|a-b|=.

分析：向量求模長(zhǎng)問(wèn)題常常根據(jù)|a|=a2，問(wèn)題得解.

解析：因?yàn)閍，b為單位向量，所以|a|=|b|=1，

所以|a+b|=（a+b）2=|a|2+2a·b+|b|2=2+2a·b=1，

解得：2a·b=-1，所以|a-b|=（a-b）2=|a|2-2a·b+|b|2=3.

故答案為：3.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量模的計(jì)算公式及轉(zhuǎn)化能力，模長(zhǎng)問(wèn)題常常通過(guò)平方計(jì)算完成.

考點(diǎn)2：向量的垂直（平行）

例2 （2020全國(guó)Ⅱ卷）已知單位向量a，b的夾角為45°，ka-b與a垂直，則k=.

分析：首先求得向量的數(shù)量積，然后結(jié)合向量垂直的充要條件即可求得實(shí)數(shù)k的值.

解析：由題意可得：a·b=1×1×cos45°=22，

由向量垂直充分必要條件可得：（ka-b）·a=0，

即k×a2-a·b=k-22=0，解得k=22.

故答案為：22.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量的數(shù)量積定義與運(yùn)算法則，向量垂直的充分必要條件等知識(shí)，意在考查同學(xué)們的轉(zhuǎn)化和計(jì)算求解能力.

考點(diǎn)3：向量的夾角

例3 （2020全國(guó)Ⅲ卷）已知向量a，b，a，b滿(mǎn)足|a|=5，|b|=6，a·b=-6，則cos〈a，a+b〉=（）

A.-3135 B.-1935 C.1735 D.1935

分析：計(jì)算出a·（a+b）、|a+b|的值，利用平面向量數(shù)量積公式可計(jì)算出cos〈a，a+b〉的值.

解析：∵|a|=5，|b|=6，a·b=-6，

∴a·（a+b）=|a|2+a·b=52-6=19.

|a+b|=（a+b）2=a2+2a·b+b2

=25-2×6+36=7，

因此，cos〈a，a+b〉=a·（a+b）|a|·|a+b|=195×7=1935.

故選：D.

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量夾角余弦值的計(jì)算，同時(shí)也考查了平面向量數(shù)量積的計(jì)算以及向量模的計(jì)算，考查計(jì)算能力.

二、重視對(duì)相關(guān)運(yùn)算法則的理解和運(yùn)用

平面向量的運(yùn)算包括加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積、線性運(yùn)算等，這幾種運(yùn)算通常有兩種形式，即幾何形式與代數(shù)運(yùn)算.例如從幾何上來(lái)看，加法運(yùn)算有平行四邊形法則（兩向量共起點(diǎn)）、三角形法則（兩向量首尾相連）;減法有三角形法則;數(shù)乘運(yùn)算體現(xiàn)的是共線向量的關(guān)系等.代數(shù)運(yùn)算，即坐標(biāo)運(yùn)算.對(duì)同一問(wèn)題的解答通常可以從這兩種思路入手.

例4 （2020北京卷）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P滿(mǎn)足AP=12（AB+AC），則|PD|= ;PB·PD=.

分析：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD所在直線分別為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得|PD|以及PB·PD的值.

解析：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD所在直線分別為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A（0，0）、B（2，0）、C（2，2）、D（0，2），

AP=12（AB+AC）

=12（2，0）+12（2，2）=（2，1），

則點(diǎn)P（2，1），∴PD=（-2，1），PB=（0，-1），

因此，|PD|=（-2）2+12=5，

PB·PD=0×（-2）+1×（-1）=-1.

故答案為：5;-1.

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的模和數(shù)量積的計(jì)算，建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力.

例5 （2020天津卷）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=60°，AB=3，BC=6，且AD=λBC，AD·AB=-32，則實(shí)數(shù)λ的值為 ，若M，N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且|MN|=1，則DM·DN的最小值為.

分析：可得∠BAD=120°，利用平面向量數(shù)量積的定義求得λ的值，然后以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)M（x，0），則點(diǎn)N（x+1，0）（其中0≤x≤5），得出DM·DN關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得DM·DN的最小值.

解析：∵AD=λBC，∴AD∥BC，

∴∠BAD=180°-∠B=120°，

AB·AD=λBC·AB=λ|BC|·|AB|cos120°

=λ×6×3×（-12）=-9λ=-32，

解得λ=16，

以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系xBy，∵BC=6，∴C（6，0），∵AB=3，∠ABC=60°，∴A的坐標(biāo)為A（32，332），

又∵AD=16BC，則D（52，332），設(shè)M（x，0），則N（x+1，0）（其中0≤x≤5），

DM=（x-52，-332），DN=（x-32，-332），

DM·DN=（x-52）（x-32）+（332）2

=x2-4x+212=（x-2）2+132，

所以，當(dāng)x=2時(shí)，DM·DN取得最小值132.

故答案為：16;132.

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

例6 （2020山東卷第7題）已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則AP·AB的取值范圍是（）

A.（-2，6） B.（-6，2）

C.（-2，4） D.（-4，6）

分析：向量問(wèn)題可以建立坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求得范圍;根據(jù)圖形的對(duì)稱(chēng)性建立坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式計(jì)算求解.

方法一：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），則A（0，0），B（2，0），C（3，3），D（2，4），E（0，4），F(xiàn)（-1，3），設(shè)P（x，y），則-1

分析：根據(jù)向量的數(shù)量積的幾何意義，確定AP在AB方向上的投影的范圍.結(jié)合正六邊形的特征AP在AB方向上的投影的取值范圍是（-1，3），利用向量數(shù)量積的定義，AP·AB表示AB的模與AP在AB方向上的投影的乘積，關(guān)鍵是確定AP在AB方向上的投影的范圍.

方法二：（利用投影幾何意義）AB的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，AP在AB方向上的投影最大，最大值是2+2cos60°=3;

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí)，AP在AB方向上的投影最小，最小值是2cos120°=-1，

由于點(diǎn)P在六邊形內(nèi)，所以端點(diǎn)值不能取到，所以可以得到AP在AB方向上的投影的取值范圍是（-1，3），結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知AP·AB等于AB的模與AP在AB方向上的投影的乘積，所以AP·AB的取值范圍是（-2，6），故選：A.

點(diǎn)評(píng)：幾何運(yùn)算體現(xiàn)了向量“形”的特征，代數(shù)運(yùn)算體現(xiàn)了向量“數(shù)”的特征.應(yīng)用幾何運(yùn)算解題時(shí)要注意挖掘所求向量與已知向量、特殊向量的關(guān)系.應(yīng)用代數(shù)運(yùn)算時(shí)，要合理建立平面直角坐標(biāo)系，正確寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算.

綜上所述，向量的復(fù)習(xí)既要注重基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固，也要注意思想方法的提煉，還要注意題型的歸納和總結(jié)，只有這樣才能在解決問(wèn)題時(shí)得心應(yīng)手.

（作者：胡磊，山東省平邑縣第一中學(xué)西校）