整體關(guān)聯(lián)、局部突破，全面學(xué)好“有理數(shù)”

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初中數(shù)學(xué)共有代數(shù)、幾何、統(tǒng)計、概率四大篇章，如果說第1章給我們展示的是初中數(shù)學(xué)學(xué)什么、怎么學(xué)、為什么這樣學(xué)的基本面貌的話，那么第2章“有理數(shù)”就真的掀開了初中代數(shù)篇章的第一頁。在學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的時候，我們要做到“整體關(guān)聯(lián)、局部突破”。何為“整體關(guān)聯(lián)”？小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識是散點狀的，而初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識是連線狀的，知識之間都是相互關(guān)聯(lián)的。到了初中階段，我們在學(xué)習(xí)的時候一定要把所學(xué)的知識聯(lián)系起來，形成一個整體，這樣才能見到初中數(shù)學(xué)的“森林”。何為“局部突破”？與小學(xué)數(shù)學(xué)相比，初中數(shù)學(xué)難點增多、內(nèi)涵加深，要學(xué)好初中數(shù)學(xué)必須在這些難點處取得突破、深刻理解知識內(nèi)涵，這樣才能做到“廣而深”。下面就結(jié)合有理數(shù)的相關(guān)內(nèi)容給同學(xué)們做個具體介紹。

一、整體關(guān)聯(lián)，形成知識主線

本章內(nèi)容主要有三大塊，一是“數(shù)的擴充”。在小學(xué)認(rèn)識的正數(shù)、0和負(fù)數(shù)的基礎(chǔ)上全面深入學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)，與正數(shù)構(gòu)成對應(yīng)的系列數(shù)。二是“與數(shù)有關(guān)的概念”。先學(xué)習(xí)研究數(shù)的工具——數(shù)軸，在此基礎(chǔ)上研究相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)（內(nèi)涵擴充）。三是“數(shù)的運算”，包括有理數(shù)的加法、減法、乘法、除法、乘方及混合運算，無理數(shù)的運算在后面的學(xué)習(xí)中進一步展開。具體可以從以下3個方面去進行知識關(guān)聯(lián)，進而提高對有理數(shù)的整體認(rèn)識。

1.掌握研究數(shù)的基本路徑。本章是代數(shù)中“數(shù)”研究的起始章，為今后數(shù)的研究提供了思路和方法，所以，非常有必要梳理本章研究的基本路徑。從上面的三大板塊內(nèi)容可以看出，首先肯定要研究新擴充的數(shù)的定義，在此基礎(chǔ)上認(rèn)識這類數(shù)的性質(zhì)，然后對擴充后的數(shù)進行分類，接著研究這類數(shù)的運算，最后利用數(shù)的知識解決生活中的問題。從中可以看出“數(shù)的定義—數(shù)的性質(zhì)—數(shù)的分類—數(shù)的運算—數(shù)的應(yīng)用”這一研究基本路徑。

2.掌握數(shù)的分類。引進負(fù)數(shù)之后，那么數(shù)就有了正、負(fù)之分。所以對數(shù)的分類就產(chǎn)生了一種新的標(biāo)準(zhǔn)，那就是按數(shù)的性質(zhì)進行分類。比如可以把數(shù)分成正數(shù)、0、負(fù)數(shù)三類，這樣整數(shù)就可以分成正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù);分?jǐn)?shù)就可以分成正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù);有理數(shù)可以分成正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù);無理數(shù)可以分為正無理數(shù)、負(fù)無理數(shù)。當(dāng)然原來的分類標(biāo)準(zhǔn)還是適用的，比如可以把有理數(shù)分成整數(shù)、分?jǐn)?shù)，整數(shù)再分成正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)，分?jǐn)?shù)再分成正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)等。可以看出，有了兩個對數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，可以對數(shù)進行兩次分類。隨著學(xué)習(xí)的深入，你會發(fā)現(xiàn)，有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，這樣又可以對實數(shù)進行兩次分類。

3.掌握數(shù)的運算。數(shù)學(xué)運算屬于代數(shù)推理，是我們初中生必備的核心素養(yǎng)之一。有理數(shù)的運算共有加法、減法、乘法、除法和乘方5 種，每一種運算都有其運算法則。在具體計算時，都是先確定符號，再確定絕對值，分步計算這一點一定要引起我們的高度重視，否則很容易出錯。當(dāng)然，小學(xué)里學(xué)習(xí)的加法與減法互為逆運算，乘法與除法互為逆運算，這點是不變的，隨著后面知識的學(xué)習(xí)，你們會發(fā)現(xiàn)乘方與開方互為逆運算。同時我們還可以發(fā)現(xiàn)，有理數(shù)的減法可以轉(zhuǎn)化為加法進行，有理數(shù)的除法可以轉(zhuǎn)化為乘法進行，這說明，數(shù)雖然推廣了，但前面所研究的關(guān)于數(shù)的結(jié)論和方法，仍然適用，比如運算律。

二、局部突破，全面深化認(rèn)識

在本章的學(xué)習(xí)過程中，我們會遇到的第一個難點是對“數(shù)”的全面認(rèn)識，第二個難點是對“相反數(shù)、絕對值”的全面認(rèn)識，第三個難點是對“運算法則”的全面認(rèn)識。對于上述三個難點，我們需要局部突破，可以利用數(shù)學(xué)的思想方法來全面認(rèn)識和加深理解。

1. 利用特殊與一般的思想方法理解“數(shù)的擴充”。對于具體的數(shù)而言，我們可以根據(jù)定義很快區(qū)分它屬于什么數(shù)。比如，-3 是負(fù)數(shù)，是負(fù)整數(shù)，是負(fù)有理數(shù)，是有理數(shù);-53是負(fù)數(shù)，是負(fù)分?jǐn)?shù)，是負(fù)有理數(shù)，是有理數(shù)。對于一個一般的數(shù)而言，我們通常用一個字母a 來表示，這時我們就要根據(jù)具體問題來對a 進行判定。當(dāng)a 代表一個一般的數(shù)時，a=0、a=1、a=-1是其三種特殊情形，解決相關(guān)問題時，我們可以采用“特殊元素、優(yōu)先考慮”的原則進行驗證。比如，相反數(shù)等于本身的數(shù)是什么？絕對值等于本身的數(shù)是什么？倒數(shù)等于本身的數(shù)是什么？平方等于本身的數(shù)是什么？立方等于本身的數(shù)是什么？當(dāng)把a=0、a=1、a=-1分別代入進行驗證就可以得出：相反數(shù)等于本身的數(shù)是0，絕對值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)，倒數(shù)等于本身的數(shù)是±1，平方等于本身的數(shù)是0、1，立方等于本身的數(shù)是0、±1。當(dāng)然，我們也可以通過列出方程（-a=a，| a |=a，1a=a，a2=a，a3=a），用特殊值法求出結(jié)論。

2. 利用數(shù)形結(jié)合的思想方法理解“相反數(shù)與絕對值”。相反數(shù)與絕對值都可以從代數(shù)與幾何兩個視角來認(rèn)識，從代數(shù)角度看相反數(shù)，就是這兩個數(shù)只有符號不同，特殊時為0，從幾何角度看就是數(shù)軸上左右兩個點到原點的距離相等。從代數(shù)角度看絕對值，正數(shù)的絕對值就是本身，0的絕對值是0，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，從幾何角度看就是這個數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，可見絕對值具有非負(fù)性。在這其中，數(shù)軸充當(dāng)了數(shù)形結(jié)合的工具，借助數(shù)軸，可以直觀地研究相關(guān)問題，還可以預(yù)防分類討論問題的漏解，所以建議同學(xué)們研究有理數(shù)相關(guān)問題的時候，不妨畫一根數(shù)軸，充分利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來分析解決問題。

3. 利用分類討論和轉(zhuǎn)化的思想方法理解“數(shù)的運算”。隨著負(fù)號的引入，涉及數(shù)的運算問題就變得稍微復(fù)雜一點，既要考慮符號，又要考慮絕對值。先說分類討論，比如一般在研究數(shù)的加法的時候，兩個數(shù)相加分幾種情況呢？應(yīng)該有“正正、正零、正負(fù);零正、零零、零負(fù);負(fù)正、負(fù)零、負(fù)負(fù)”9種情況，在具體歸納加法法則的時候，合并成“同號兩數(shù)、異號兩數(shù)、一數(shù)一0”三種情形，這是為了讓運算法則更加方便記憶和運用。再來說說轉(zhuǎn)化，有理數(shù)的運算與小學(xué)的數(shù)的運算有聯(lián)系嗎？答案是肯定的。看看每個法則就知道了，都是把有理數(shù)的運算分成兩步，第一是確定符號，第二步就是小學(xué)里的運算。這樣實際上就把有理數(shù)的運算轉(zhuǎn)化成了小學(xué)里的算術(shù)運算，由此可見轉(zhuǎn)化思想功能的強大，化繁為簡，化難為易，化未知為已知，化腐朽為神奇。

有理數(shù)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的開端，希望同學(xué)們一要保持?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的高度熱情，二要養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，三要對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做堅持不懈的努力，四要重視數(shù)學(xué)知識及關(guān)聯(lián)，同時認(rèn)識和重視思想方法，只有這樣，才能真正把初中數(shù)學(xué)學(xué)好、學(xué)深、學(xué)透。