三次Cardinal樣條函數(shù)的自由參數(shù)優(yōu)化方案 *

李軍成,劉成志

(湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院,湖南 婁底 417000)

1 引言

在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，數(shù)據(jù)插值一直都是重要的研究課題。由于三次Cardinal樣條[1]不僅無(wú)需求解方程組即可直接插值于給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，而且當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)保持不變時(shí)還可通過(guò)所含的自由參數(shù)對(duì)插值曲線的形狀進(jìn)行調(diào)控，這些優(yōu)點(diǎn)使其被應(yīng)用在許多工程領(lǐng)域[2,3]。近年來(lái)，為了進(jìn)一步擴(kuò)展多項(xiàng)式形式的三次Cardinal樣條，研究者們構(gòu)造了基于三角函數(shù)的Cardinal樣條[4,5]、基于雙曲函數(shù)的Cardinal樣條[6]以及五次多項(xiàng)式Cardinal樣條[7]等。這些擴(kuò)展型的三次Cardinal樣條雖然在某些方面要優(yōu)于傳統(tǒng)的三次Cardinal樣條，但其表示形式的復(fù)雜度也隨之提高。因此，傳統(tǒng)三次Cardinal樣條仍具有較高的研究?jī)r(jià)值。

雖然在利用三次Cardinal樣條進(jìn)行插值時(shí)，可通過(guò)所含的自由參數(shù)對(duì)插值效果進(jìn)行任意修改，但若要使得插值曲線能滿足某些特定的幾何要求，則需要合理地選定自由參數(shù)的取值。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，往往很難對(duì)自由參數(shù)進(jìn)行合理的選擇，此時(shí)則需要給出自由參數(shù)的選取方案。為了使得構(gòu)造的平面三次Cardinal樣條曲線盡可能光順，文獻(xiàn)[8,9]提出利用曲率變化極小化選取自由參數(shù)。在插值問(wèn)題中，往往需要構(gòu)造具有良好的形狀保持效果或逼近效果的插值函數(shù)，因此如何選定自由參數(shù)的最優(yōu)取值使得構(gòu)造的三次Cardinal樣條函數(shù)具有良好的形狀保持效果或較好地逼近給定的函數(shù)也是值得研究的問(wèn)題。為此，本文討論了插值問(wèn)題中數(shù)據(jù)插值與函數(shù)逼近這2種情形下三次Cardinal樣條函數(shù)所含自由參數(shù)最優(yōu)取值的計(jì)算方案。分別通過(guò)極小化二次平均振蕩與逼近誤差，獲得三次Cardinal樣條函數(shù)所含自由參數(shù)的唯一解，從而使得構(gòu)造的插值曲線能具有良好的形狀保持效果或較好地逼近給定的函數(shù)。

2 三次Cardinal樣條函數(shù)

給定平面上一列數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)(i=0,1,…,n)，設(shè)xi+1-xi=h(即相鄰節(jié)點(diǎn)間等距)，對(duì)于xi≤x≤xi+1，t=(x-xi)/h，三次Cardinal樣條[1]對(duì)應(yīng)的函數(shù)可表示為:

Si(t)=b0(t)yi-1+b1(t)yi+

b2(t)yi+1+b3(t)yi+2

(1)

(2)

其中，i=1,2,…,n-2，α∈R為自由參數(shù)。

由式(1)計(jì)算可得:

(3)

(4)

由式(3)可知，除數(shù)據(jù)點(diǎn)(x0,y0)與(xn,yn)外，三次Cardinal樣條函數(shù)插值于其他給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)(i=1,2,…,n-1)。若要求三次Cardinal樣條函數(shù)也插值于數(shù)據(jù)點(diǎn)(x0,y0)與(xn,yn)，則需要添加2個(gè)輔助數(shù)據(jù)點(diǎn)(x-1,y-1)與(xn+1,yn+1)。為方便起見(jiàn)，在實(shí)際應(yīng)用中常將添加的2個(gè)輔助數(shù)據(jù)點(diǎn)取為(x-1,y-1)=(x0,y0),(xn+1,yn+1)=(xn,yn)。

進(jìn)一步地，由式(3)與式(4)可得Si(xi+1)=Si+1(xi+1),S′i(xi+1)=S′i+1(xi+1)，即三次Cardinal樣條函數(shù)滿足C1連續(xù)。

顯然，當(dāng)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)(i=-1,0,…,n+1)時(shí)，三次Cardinal樣條函數(shù)的形狀將完全由自由參數(shù)α決定。

例1設(shè)數(shù)據(jù)點(diǎn)為xi=iπ/2,yi=cos(xi),i=0,1,2,3,4。圖1所示為補(bǔ)充2個(gè)輔助數(shù)據(jù)點(diǎn)后參數(shù)α取不同值時(shí)的三次Cardinal樣條函數(shù)曲線，其中長(zhǎng)虛線對(duì)應(yīng)的參數(shù)為α=-0.2，短虛線對(duì)應(yīng)的參數(shù)為α=-0.5，實(shí)線對(duì)應(yīng)的參數(shù)為α=-0.8。

Figure 1 Cubic Cardinal spline curves with different parameters圖1 不同參數(shù)對(duì)應(yīng)的三次Cardinal樣條函數(shù)曲線

由圖1可知，當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)保持不變時(shí)，可通過(guò)修改參數(shù)α的取值對(duì)三次Cardinal樣條函數(shù)的插值效果進(jìn)行修改。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，往往要求插值曲線能滿足特定的幾何要求。此時(shí)，則需要合理地選定參數(shù)α的取值。下面給出插值問(wèn)題中2種不同情形下，如何合理地選取三次Cardinal樣條函數(shù)中參數(shù)α的取值。

3 Cardinal樣條函數(shù)的自由參數(shù)優(yōu)化方案

3.1 具有極小二次平均振蕩的三次Cardinal樣條函數(shù)

在插值問(wèn)題中，數(shù)據(jù)插值是一種常見(jiàn)的情形。而在數(shù)據(jù)插值中，保形插值一直都是重要的研究課題[10 - 13]。下面討論如何選取參數(shù)α的最優(yōu)取值，使得三次Cardinal樣條函數(shù)曲線具有良好的形狀保持效果。

對(duì)于給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)(i=0,1,…,n)，令xi=x0+hi(h為步長(zhǎng)，且h>0)，若設(shè)L(x):=Li(x)=(1-t)yi+tyi+1,t=(x-xi)/h，顯然線性插值函數(shù)L(x)是最簡(jiǎn)單的保形插值。因此，為了使得添加2個(gè)輔助點(diǎn)(x-1,y-1)與(xn+1,yn+1)后的三次Cardinal樣條函數(shù)Si(x)(i=0,1,…,n-1)具有良好的形狀保持效果，可定義目標(biāo)函數(shù):

(5)

由文獻(xiàn)[14,15]可知，通過(guò)極小化式(5)構(gòu)造出的三次Cardinal樣條函數(shù)與L(x)最為接近。本文將通過(guò)極小化式(5)所構(gòu)造出的三次Cardinal樣條函數(shù)稱為具有極小二次平均振蕩的三次Cardinal樣條函數(shù)。

為討論方便，將式(1)改寫(xiě)為:

Si(x)=ui(x)α+vi(x)

(6)

其中，

ui(x):=-(t3+2t2-t)yi-1-(t3-t2)yi+

(t3-2t2+t)yi+1+(t3-t2)yi+2

vi(x):=(2t3-3t2+1)yi-

(2t3-3t2)yi+1

由式(6)得：

(7)

將式(7)代入式(5)，可得:

I1(α)=A1α2+2B1α+C1

(8)

其中，

由式(8)有:

(9)

(2) 當(dāng)A1=0時(shí)，I1(α)=2B1α+C1，此時(shí)函數(shù)I1(α)沒(méi)有極值點(diǎn)。在這種情況下，可通過(guò)適當(dāng)調(diào)整部分樣本點(diǎn)yi的取值以使得A1>0成立。

于是,可得如下定理：

定理1對(duì)于給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)(i=0,1,…,n)，令(x-1,y-1)=(x0,y0)，(xn+1,yn+1)=(xn,yn)，當(dāng)A1≠0時(shí)，要使插值于數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)(i=0,1,…,n)的三次Cardinal樣條函數(shù)具有極小二次平均振蕩，則參數(shù)應(yīng)取為α=-B1/A1。

例2將數(shù)據(jù)點(diǎn)取為(x0,y0)=(0,0)，(x1,y1)=(1,1)，(x2,y2)=(2,3)，(x3,y3)=(3,4)，(x4,y4)=(4,7)，(x5,y5)=(5,8)，補(bǔ)充2個(gè)輔助數(shù)據(jù)點(diǎn)(x-1,y-1)=(0,0)，(x6,y6)=(5,8)。利用具有極小二次平均振蕩的三次Cardinal樣條函數(shù)進(jìn)行插值時(shí)，經(jīng)計(jì)算可得參數(shù)α約為0.038 0。繪制的具有極小二次平均振蕩的三次Cardinal樣條函數(shù)曲線(實(shí)線)、參數(shù)α=1.2時(shí)的三次Cardinal樣條函數(shù)曲線(短虛線)以及數(shù)據(jù)多邊形(長(zhǎng)虛線)如圖2所示。

Figure 2 Cubic Cardinal spline curve with minimal quadratic average oscillation圖2 具有極小二次平均振蕩的三次Cardinal樣條函數(shù)曲線

由圖2可知，相對(duì)于參數(shù)取α=1.2時(shí)的三次Cardinal樣條函數(shù)曲線，具有極小二次平均振蕩的三次Cardinal樣條函數(shù)曲線明顯能更好地保持?jǐn)?shù)據(jù)多邊形的形狀。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)需要構(gòu)造具有良好形狀保持效果的三次Cardinal樣條函數(shù)時(shí),可通過(guò)所提出的方案選取自由參數(shù)的最優(yōu)取值。

3.2 具有極小逼近誤差的三次Cardinal樣條函數(shù)

在插值問(wèn)題中，函數(shù)逼近是另一種常見(jiàn)的情形。下面討論如何選取參數(shù)α的最優(yōu)取值，使得三次Cardinal樣條函數(shù)能較好地逼近給定的函數(shù)。

給定函數(shù)y=f(x)(a≤x≤b)，設(shè)xi=a+hi，h=(b-a)/n，yi=f(xi)(i=0,1,…,n)。添加2個(gè)輔助點(diǎn)(x-1,y-1)與(xn+1,yn+1)后，為了使得三次Cardinal樣條函數(shù)Si(x)(i=0,1,…,n-1)能較好地逼近函數(shù)y=f(x)，可將式(5)中的Li(x)替換為f(x)，即定義目標(biāo)函數(shù):

(10)

顯然，通過(guò)極小化式(10)構(gòu)造出的三次Cardinal樣條函數(shù)逼近函數(shù)y=f(x)的效果最好。 本文將通過(guò)極小化式(10)所構(gòu)造出的三次Cardinal樣條函數(shù)稱為具有極小逼近誤差的三次Cardinal樣條函數(shù)。

與定理1類似，可得如下定理：

定理2對(duì)于給定的函數(shù)y=f(x)(a≤x≤b)，設(shè)xi=a+h′i，h′=(b-a)/n，yi=f(xi)(i=0,1,…,n)，令(x-1,y-1)=(x0,y0)，(xn+1,yn+1)=(xn,yn)。當(dāng)A2≠0時(shí)，要使插值于函數(shù)y=f(x)的三次Cardinal樣條函數(shù)具有極小逼近誤差，則參數(shù)應(yīng)取為α=-B2/A2，其中,

例3給定函數(shù)y=1/(1+x2)，取xi=-5+i，i=0,1,…,10，補(bǔ)充2個(gè)輔助數(shù)據(jù)點(diǎn)(x-1,y-1)=(x0,y0)，(x11,y11)=(x10,y10)。利用具有極小逼近誤差的三次Cardinal樣條函數(shù)逼近給定的函數(shù)時(shí)，經(jīng)計(jì)算可得參數(shù)α約為-0.000 9。繪制的具有極小逼近誤差的三次Cardinal樣條函數(shù)曲線(實(shí)線)、參數(shù)α=1.4時(shí)的三次Cardinal樣條函數(shù)曲線(短虛線)以及原函數(shù)曲線(長(zhǎng)虛線)如圖3所示。

Figure 3 Cubic Cardinal spline curve with minimal approximation error圖3 具有極小逼近誤差的三次Cardinal樣條函數(shù)曲線

由圖3可知，相對(duì)于參數(shù)α=1.4時(shí)的三次Cardinal樣條函數(shù)曲線，具有極小逼近誤差的三次Cardinal樣條函數(shù)曲線明顯能更好地逼近給定的函數(shù)。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)需要構(gòu)造能較好地逼近給定函數(shù)的三次Cardinal樣條函數(shù)時(shí)，可通過(guò)本文提出的方案選取自由參數(shù)的最優(yōu)取值。

4 結(jié)束語(yǔ)

在利用三次Cardinal樣條函數(shù)進(jìn)行插值時(shí)，為了使得插值曲線能滿足某些特定的幾何要求，需要合理地選定三次Cardinal樣條函數(shù)所含自由參數(shù)的取值。本文分別給出了通過(guò)極小化二次平均振蕩與逼近誤差來(lái)選取三次Cardinal樣條函數(shù)所含自由參數(shù)最優(yōu)取值的方案，所獲得的插值曲線具有良好的形狀保持效果或能較好地逼近給定的函數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)需要構(gòu)造滿足相應(yīng)幾何要求的三次Cardinal樣條曲線時(shí)，可利用本文所提出的方案選取自由參數(shù)的最優(yōu)取值。