巧解直線與圓錐曲線相交的中點(diǎn)弦問題

陳陽恒

[摘 要]中點(diǎn)弦問題是直線與圓錐曲線相交的典型題型，可通過一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系或用點(diǎn)差法求解.若在客觀題中解決圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題用這兩種方法未免耗時(shí)太多.應(yīng)用圓錐曲線的中點(diǎn)弦公式，能快速解決這類圓錐曲線中點(diǎn)弦的客觀題.

[關(guān)鍵詞]直線;圓錐曲線;相交;中點(diǎn)弦

[中圖分類號(hào)] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號(hào)] ? ?1674-6058（2020）32-0034-02

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考的考查熱點(diǎn)，通?？疾橹本€與圓錐曲線相交的問題，一般涉及求定值、定點(diǎn)、取值范圍或證明存在性等問題.解決這些問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

一、求直線與圓錐曲線相交的中點(diǎn)弦問題的常規(guī)方法

在直線與圓錐曲線相交的問題中，中點(diǎn)弦問題是常見的典型題型，如求中點(diǎn)弦方程、求（過定點(diǎn)、平行弦）弦中點(diǎn)軌跡等問題，在客觀題或解答題中都有可能出現(xiàn).求解這類問題的主要方法有兩種：

（1）聯(lián)立直線方程與圓錐曲線的方程，消元后得到一個(gè)一元二次方程，通過設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立等式求解，注意不能忽視對(duì)判別式的討論.

由上面的例子可以發(fā)現(xiàn)，用圓錐曲線的中點(diǎn)弦公式解決客觀題中有關(guān)弦中點(diǎn)、弦所在直線的斜率、弦中點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率等問題時(shí)可簡(jiǎn)化運(yùn)算步驟，快速求出正確結(jié)果，大大地節(jié)省了時(shí)間，達(dá)到快速解題的目的.

在實(shí)際教學(xué)中，可以讓學(xué)生記熟這組公式，在客觀題中遇到相應(yīng)的問題只需代入公式求解即可.但需強(qiáng)調(diào)該組公式更多適用于選擇填空題中的中點(diǎn)弦問題，對(duì)于圓錐曲線解答題中涉及的中點(diǎn)弦問題而言，考慮到解答題需寫出必要的解題過程，還是應(yīng)從常規(guī)思路入手，把完整的解題步驟寫出來.

[ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻(xiàn) ? ]

凡曉莉.巧解圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題[J].中學(xué)教學(xué)參考，2018（17）：19.

（責(zé)任編輯 陳 昕）