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    銳角三角函數(shù)拓展探究類問題例析

    2020-11-28 07:35:49盧會鑫
    關(guān)鍵詞:銳角三角函數(shù)

    盧會鑫

    [摘 要]中考是選拔性考試,初高中銜接的內(nèi)容常作為中考的拓展探究題出現(xiàn),既考查了初中數(shù)學(xué)知識,也考查了學(xué)生運用知識的能力.文章對銳角三角函數(shù)拓展探究類問題進行分析探討,以開闊學(xué)生的視野,培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力.

    [關(guān)鍵詞]銳角;三角函數(shù);拓展探究類問題

    [中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標(biāo)識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058(2020)32-0024-02

    高中階段,銳角三角函數(shù)會擴展到任意角的三角函數(shù),學(xué)習(xí)三角函數(shù)的半角、倍角、和差公式等,并把三角函數(shù)作為一種函數(shù),畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的圖像,研究這些函數(shù)的性質(zhì).中考是選拔性考試,初高中銜接的內(nèi)容常作為中考的拓展探究題出現(xiàn),既考查了初中數(shù)學(xué)知識,也考查了學(xué)生運用知識的能力.銳角三角函數(shù)部分就出現(xiàn)了以下的拓展探究類問題.

    一、從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)

    銳角三角函數(shù)是放在直角三角形中進行定義的,任意角的三角函數(shù)是把角放在平面直角坐標(biāo)系中,讓角的始邊與x軸的正半軸重合,頂點與坐標(biāo)原點重合,讓角的終邊繞頂點做逆時針旋轉(zhuǎn),然后在角的終邊上任取一點的坐標(biāo)(x,y),這點到原點的距離為r,于是定義這個角的正弦為y:r,這個角的余弦為x:r,這個角的正切為y:x,這樣就使任意角都有了三角函數(shù)值,它是根據(jù)點的坐標(biāo)來求三角函數(shù)值的.

    二、從直角三角形邊與邊的比到等腰三角形邊與邊的比

    銳角三角函數(shù)反映的是直角三角形中邊與邊的比,這是因為在直角三角形中,當(dāng)一個銳角固定時,這個直角三角形的形狀也固定了,根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì),我們根據(jù)這個銳角度數(shù)畫出的所有直角三角形都相似,即這個直角三角形的三邊的比也被確定.按同樣的道理,在等腰三角形中,當(dāng)一個頂角或底角固定時,這個等腰三角形的形狀也就固定了,我們根據(jù)這個頂角或底角畫出的所有等腰三角形都相似,即這個等腰三角形的三邊之比也被確定.利用這一點,我們也可以在等腰三角形中建立角與邊的對應(yīng)關(guān)系,這也是三角函數(shù)關(guān)系.

    三、從任意三角形的銳角到直角三角形的銳角

    求任意三角形銳角的三角函數(shù)值,如銳角三角形或鈍角三角形,通常有兩種方法:(1)需要作高構(gòu)造兩個直角三角形,通過解兩個直角三角形求解;(2)將任意三角形中的銳角用等角代換,通過求與之相等的角的三角函數(shù),得到所求角的三角函數(shù).但是在網(wǎng)格中,當(dāng)連接格點而成的兩條線段相交時,它們的夾角在網(wǎng)格中,夾角的頂角并不是格點,此時求夾角的三角函數(shù)值并不容易,需要通過平行線將夾角轉(zhuǎn)化為以格點為頂角的角.

    評注:本題第2小題雖然通過平行線將所求角轉(zhuǎn)化為以格點為頂點的角,但是它并不是直角三角形的銳角,這時需要通過作高進行再次轉(zhuǎn)化,從這里我們看到,對于網(wǎng)格里兩條連接格點線段的夾角,都可以通過等角轉(zhuǎn)化求出它的三角函數(shù)值.

    對于銳角三角函數(shù)的拓展探究類問題,還包括倍角三角函數(shù)探究、半角三角函數(shù)探究、角差角三角函數(shù)探究、銳角三角形與正弦定理、銳角三角函數(shù)與余弦定理等,它們都是對銳角三角函數(shù)的有益拓展,既開闊了學(xué)生的視野,也培養(yǎng)了學(xué)生分析問題與解決問題的能力,同時也實現(xiàn)了初高中數(shù)學(xué)的有效銜接,可謂一舉多得.

    (責(zé)任編輯 陳 昕)

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