圓形截面非均勻?qū)ΨQ配筋的無(wú)量綱諾模圖*

任志文 周東華 雙超 李露 羅莎

(昆明理工大學(xué)建筑工程學(xué)院 昆明 650504)

0 引言

圓形截面是在工程中常見(jiàn)的截面形式，如橋墩、抗滑樁和樁基礎(chǔ)等?！痘炷两Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》[1](下文簡(jiǎn)稱為《規(guī)范》)給出了計(jì)算圓形截面配筋的超越方程組，其求解的難點(diǎn)在于須迭代求解，通常超越方程組可能存在有很多解，迭代計(jì)算所得到的解是否是真正所需要的解，在很大程度上取決于給定的迭代初始值，因此迭代求解并不簡(jiǎn)單，還需有個(gè)經(jīng)驗(yàn)積累的過(guò)程。在工程設(shè)計(jì)中求解超越方程組是十分不便的，也并不可取，而最為需要的是能簡(jiǎn)單快速計(jì)算的方法或能手算的工具?！兑?guī)范》中引用了等效矩形應(yīng)力圖換算，而換算系數(shù)又是用矩形截面換算系數(shù)α1和β1，這樣就存在了兩次近似，換算時(shí)使得合力點(diǎn)的位置比真實(shí)位置外移了2.9%，導(dǎo)致內(nèi)力壁增大，偏于不安全[2]。另外，《規(guī)范》公式是基于縱向鋼筋沿圓周均勻布置推導(dǎo)的，一部分位于中性軸附近的鋼筋因應(yīng)變很小，其應(yīng)力遠(yuǎn)小于屈服強(qiáng)度，使得這部分鋼筋對(duì)截面承載力的貢獻(xiàn)很小，這對(duì)于配筋量較大的大直徑圓形截面(如抗滑樁)是很不經(jīng)濟(jì)的。因此本文擬通過(guò)推導(dǎo)、計(jì)算和繪制諾模圖來(lái)提供方便設(shè)計(jì)人員手算的實(shí)用工具，同時(shí)還要考慮鋼筋沿周邊可不均勻布置的方式，即將計(jì)算上所需的受力鋼筋盡可能地布置在遠(yuǎn)離中性軸的地方，從而增大力臂和提高鋼筋的使用效率。

1 非均勻配筋計(jì)算方法推導(dǎo)

1.1 支撐條件

文中公式推導(dǎo)時(shí)所采用的符號(hào)含義均與《規(guī)范》中相應(yīng)符號(hào)一致?；炷僚c鋼筋的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(本構(gòu)關(guān)系)采用《規(guī)范》給出的公式：

(1)

(2)

圓形和環(huán)形截面配筋及承載力計(jì)算的無(wú)量綱諾模圖[2]中根據(jù)規(guī)范推出了混凝土和鋼筋應(yīng)變的變化范圍，即圖1的5個(gè)應(yīng)變區(qū)域。

注：εc1、εc2分別為混凝土截面的上、下邊緣應(yīng)變；分別為鋼混截面的上、下部鋼筋應(yīng)變。圖1 混凝土及鋼筋應(yīng)變變化區(qū)域

如圖1所示的5個(gè)應(yīng)變區(qū)域，涵蓋了混凝土與鋼筋所有受力下可能出現(xiàn)的應(yīng)變之間的變化情況。5個(gè)區(qū)域的特點(diǎn)以及對(duì)應(yīng)的受力情況參考新的混凝土配筋計(jì)算方法:無(wú)量綱圖表法[3]。

1.2 圓形截面中鋼筋應(yīng)力和內(nèi)力計(jì)算

與常規(guī)規(guī)范[4-13]的設(shè)計(jì)理念不同的是，本文的配筋方式如圖2所示，圓形截面中的上邊緣與下邊緣同樣的角度內(nèi)配均勻的受力鋼筋。為方便積分計(jì)算，可先假定上面有受力鋼筋的部分為90°，沿y軸對(duì)稱分布，下面與上面部分沿x軸對(duì)稱分布。

注：φ為截面任意角度；dφ為截面任意角度的積分增量；εsi為任意角度對(duì)應(yīng)的應(yīng)變；rsdφ為積分增量對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)；z為長(zhǎng)度坐標(biāo)。圖2 鋼筋截面參數(shù)

可以將均勻分布的鋼筋等效看作連續(xù)的，鋼筋的總面積(As)便會(huì)均勻地平攤到上下有受力筋的部分，由此部分的角度可得弧長(zhǎng)為半圓的周長(zhǎng)，因此鋼筋總面積均攤到弧長(zhǎng)為

(3)

根據(jù)混凝土和鋼筋的應(yīng)變對(duì)應(yīng)變化，可以得出受壓區(qū)高度與混凝土及鋼筋應(yīng)變之間的幾何關(guān)系：

(4)

截面配筋部分任意單元處的應(yīng)變(僅在有配筋部分使用，無(wú)配筋區(qū)域鋼筋應(yīng)變?chǔ)舠0=0)：

(5)

為了使式(5)中的z與截面配筋部分任意單元具有相關(guān)性，如圖2所示引入?yún)?shù)hi，可得：

z=x-hi=x-(r-rscosφ)

(6)

(7)

將式(7)代入式(2)求得截面任意單元應(yīng)力即

(8)

由圖2可知，鋼筋的應(yīng)變隨截面上邊緣和鋼筋下邊緣的應(yīng)變而改變，參考式(2)，鋼筋應(yīng)力的分布有兩種形式，一種為三角形(-εy<εs<εy)，另一種為矩形(εs<-εy,εs>εy) 。兩種分布形式的內(nèi)力計(jì)算如下。

(1)矩形區(qū)鋼筋應(yīng)力彎矩計(jì)算

此區(qū)域與上面的區(qū)別是鋼筋應(yīng)力變?yōu)榱艘粋€(gè)常量，故此軸力及彎矩的計(jì)算如下

(9)

(2)三角形區(qū)鋼筋應(yīng)力彎矩計(jì)算

三角區(qū)截面鋼筋任意單元的應(yīng)變即為式(8)，對(duì)式(8)積分即可求得其軸力為

(10)

對(duì)過(guò)圓心的水平軸取矩積分可得到鋼筋三角區(qū)的彎矩為

(11)

此時(shí)求得的軸力與彎矩與截面尺寸有聯(lián)系，為了消除這種關(guān)聯(lián)性，應(yīng)將式(9)和式(10)除以πr2fc，式(11)除以πr3fc，即得到鋼筋無(wú)量綱的軸力和彎矩。

(12)

式(12)中的上下限與式(1)相關(guān)，εsi達(dá)到屈服應(yīng)變前為彈性，屬于三角形區(qū)，達(dá)到屈服應(yīng)變后為塑性，屬于矩形區(qū)。為方便表達(dá)積分上下限與應(yīng)變區(qū)間的聯(lián)系，引入一個(gè)值q，令q=(r-hi)/r，則圓心角φj=arccos(q)。結(jié)合圖1的5種應(yīng)變區(qū)域，可將式(12)中的上下限分為3種情況，如表1所示。

表1 鋼筋各應(yīng)變區(qū)積分角度計(jì)算

1.3 圓形截面中混凝土的應(yīng)力和內(nèi)力計(jì)算

與式(7)相同的原理可推出混凝土任意單元的應(yīng)變與圓心角之間的關(guān)系如圖3所示。

(13)

圖3 混凝土截面參數(shù)

將式(13)代入式(1)便可得到圓形截面混凝土任意單元的應(yīng)力。

(14)

引入系數(shù)K1、K2、K3，將式(14)改寫為

(15)

與鋼筋應(yīng)變的三角形區(qū)和矩形區(qū)相似，混凝土的應(yīng)變根據(jù)式(1)可分為拋物線區(qū)和矩形區(qū)。下面分別推導(dǎo)拋物線區(qū)和矩形區(qū)的內(nèi)力及彎矩。

矩形區(qū)混凝土的軸力和彎矩為

(16)

(17)

拋物線區(qū)混凝土的軸力和彎矩計(jì)算由式(15)積分可得出此區(qū)域的軸力和彎矩為

(18)

(19)

同式(12)相似，為了消除軸力和彎矩與混凝土截面尺寸的聯(lián)系，令式(16)和式(18)除以 πr2fc，式(17)和式(19)除以πr3fc，即是無(wú)量綱的軸力與彎矩。

(20)

式(20)的積分上下限可歸納為表2。

表2 混凝土各應(yīng)變區(qū)積分角度計(jì)算

由鋼筋和混凝土的無(wú)量綱彎矩，可根據(jù)應(yīng)變的變化區(qū)間推導(dǎo)出總的無(wú)量綱軸力與彎矩，當(dāng)滿足εc1≥-0.002和εs≥-εy時(shí)，為

(21)

當(dāng)滿足εc1<-0.002和εs<-εy時(shí)，為

(22)

將構(gòu)件破壞前的所有應(yīng)變區(qū)域代入運(yùn)算，混凝土應(yīng)變與鋼筋應(yīng)變便成為了已知量，無(wú)量綱軸力也成為了已知量，對(duì)無(wú)量綱彎矩m賦值，即可得到相應(yīng)的強(qiáng)度配筋率。使用Matlab軟件編程計(jì)算即可得到圖4，使此公式運(yùn)用更為簡(jiǎn)便。

圖4 圓形截面非均勻?qū)ΨQ配筋諾模圖

2 計(jì)算例題

為了驗(yàn)證本文的計(jì)算方法是否合理有效，特選取以下示例與規(guī)范配筋進(jìn)行比較。已知圓形截面參數(shù)為：r=400 mm、as=60 mm、C40、HRB400。分別取不同的受力情況，且分別用《規(guī)范》與本文方法計(jì)算，結(jié)果如表3。

表3 算例1～7

由表3內(nèi)的計(jì)算結(jié)果可以得到：《規(guī)范》僅可用于偏心受壓，遇到小偏拉以及大偏拉時(shí)，算出的配筋面積比本文少了甚多，而本文的計(jì)算圖皆由本構(gòu)關(guān)系推導(dǎo)，《規(guī)范》的計(jì)算存在著兩次近似的過(guò)程——等效矩形應(yīng)力換算和換算系數(shù)近似值。因此本文的配筋方法相對(duì)更為合理。在軸壓和軸拉時(shí)，配筋面積很接近，相對(duì)而言，本文的方法更加精確。而純彎以及大小偏壓都能不同程度地節(jié)儉鋼筋，這是因?yàn)槠氖軌阂约凹儚潟r(shí)，中性軸附近鋼筋應(yīng)力小，非均勻配筋布置正是減少了中性軸附近的鋼筋。

3 結(jié)語(yǔ)

與《規(guī)范》不同之處在于，本研究未使用矩形等效系數(shù)，全程利用積分的形式推導(dǎo)公式，消除了迭代所產(chǎn)生的誤差的影響，使得配筋結(jié)果更加精確?！兑?guī)范》屬于超越方程，運(yùn)算時(shí)還需計(jì)算機(jī)編程輔助才可求解，由截面鋼筋混凝土應(yīng)變間的關(guān)系得出：純彎、大偏壓和小偏壓時(shí)，中性軸處鋼筋應(yīng)變小，鋼筋未能達(dá)到合理利用，由算例可知，運(yùn)算結(jié)果確實(shí)可有效地節(jié)省配筋面積，為工程實(shí)際提供一種簡(jiǎn)便且有效的圓形截面非均勻配筋計(jì)算方法。