二次疫情到來的預(yù)測模型

（西華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 611730）

1 問題重述

問題一：建立數(shù)學(xué)模型，選擇三個國家進(jìn)行研究，評估它們出[1]現(xiàn)第二次高峰的風(fēng)險大小，并給出復(fù)工復(fù)產(chǎn)的政策性建議，以避免第二次高峰的出現(xiàn)；

問題二：建立合理的數(shù)學(xué)模型并討論哪些參數(shù)是最重要的，而這些參數(shù)如果不準(zhǔn)確，會對防疫工作和疾病流行的過程帶來怎樣的影響；

問題三：我國的無癥狀感染者的數(shù)量持續(xù)降低，但是并未清零，也有一些無癥狀感染者未被發(fā)現(xiàn)，請結(jié)合第一階段的模型，充分考慮我國的疫情現(xiàn)狀，評估重啟大型體育賽事（比如中超足球聯(lián)賽或者 CBA 籃球聯(lián)賽）的可能性，并給出分階段（無觀眾賽事、部分觀眾賽事、全部觀眾但要求戴口罩賽事、全面放開賽事）重啟的時間表；

問題四：為了能夠順利重啟一些大型體育賽事，給有關(guān)部門寫一份有關(guān)于疫情防控的備忘錄。

2 問題分析

2.1 問題1 分析

2.1.1 總體分析

首先問題1 是一個非常值得深度關(guān)注的問題，因為“二次高峰”的影響力或許會遠(yuǎn)超第一次疫情爆發(fā)所帶來的影響并可能會隨著病毒的變異以及各類指標(biāo)的失效而更難以控制[2]這樣顯然是對整個國家乃至全球都是相當(dāng)不利的，因此需要給定一個閾值，針對不同的國家來評估其“二次高峰”的風(fēng)險大小，結(jié)合各個國家的醫(yī)療水平以及社會形勢然后做出相應(yīng)的措施以及復(fù)工復(fù)產(chǎn)規(guī)劃來避免二次高峰的到來。

2.1.2 影響因素分析與聯(lián)系

在第一次疫情得到有效緩解后，各個國家各個地區(qū)便會陸續(xù)開展復(fù)工復(fù)產(chǎn)。因此隨著人流量的逐步上升，個體的日平均接觸率也會有所上升，各地區(qū)的無癥狀感[3]染者此時便會穿插在人群中，感染率不由的有所增長，而此時隔離率卻并沒有迅速跟進(jìn)，病人的恢復(fù)率也沒有大幅度上升。這些因素與第“二次高峰”到來的隱患大小密切相關(guān)。雖然此時醫(yī)療條件相比于疫情初期會有很大提升，但是如果未能正確把控復(fù)工復(fù)產(chǎn)的時間，那么第二次高峰的到來或許是必然的。因此在上一階段模型的分析基礎(chǔ)上，需要著重考慮在疫情期間各國人流量的移入移出，然后做出相應(yīng)的措施。

2.2 問題2 的分析

2.2.1 總體分析

建立了加入個人防護(hù)因素的SEIR 模型，對基本再生數(shù)、潛伏期時間、代間隔等幾個重要的參數(shù)進(jìn)行變量控制，討論出最重要的參數(shù)以及會對防疫工作和疾病流行的過程帶來怎樣的影響。

2.2.2 影響因素分析與聯(lián)系

通過建立模型考慮重要的參數(shù)，對防疫工作和疾病流行的過程給出了具體的預(yù)測，對后面的疫情防控工作起了重要的預(yù)防工作。

2.3 問題3 的分析

當(dāng)前我國疫情還存在無癥狀感染者，這些無癥狀感染者的存在嚴(yán)重影響了我們的生活，使得整個社會的管控不確定性越來越大，并且這個因素不僅僅會造成感染人數(shù)急劇增加和疫情的二次爆發(fā)，也影響著一些重大賽事是否能重啟。重啟的時間，重啟后怎么制定觀眾的觀看方式等等，因此引入SIR 模型來對被傳染率的影響因素進(jìn)行研究，從而可以分析得出重啟重大賽事的時間和防護(hù)措施。

無癥狀感染者的概念：根據(jù)國家衛(wèi)生健康委發(fā)布的《新型冠狀病毒肺炎防控方案(第六版)》，無癥狀感染者是指無相關(guān)臨床癥狀(如發(fā)熱、咳嗽、咽痛等可自我感知或可臨床識別的癥狀與體征)，呼吸道等標(biāo)本新冠病毒病原學(xué)(通常指核酸檢測)或血清特異性免疫球蛋白M(IgM)抗體檢測陽性者。無癥狀感染者不是確診病例，因此不算新增感染病人。2020年3 月4 日國家衛(wèi)生健康委公布的第七版中，對這一規(guī)定沒有[4]改變（參考于百度百科）。

3 模型假設(shè)

（1）假設(shè)地區(qū)和國家的總?cè)丝跀?shù)不變。

（2）將境外輸入病例作為該國家的初始患病人數(shù)。

（3）與感染者密切接觸的人群若被感染則其定位為易感染內(nèi)（Sk）或者潛伏內(nèi)（Ek）。

（4）復(fù)工之前本國人口流動為0。

（5）新冠肺炎對不同年齡組的感染率略有不同，對健康人的感染率一樣。

（6）處于潛伏期的患者在一定時間后會出現(xiàn)患病特征成為患病者。

（7）SI 服從均值的指數(shù)分布。

（8）人群中所有人都有被感染的概率，康復(fù)人群不會再被感染。

（9）真實(shí)的感染者=感染者I-假陽性患者I2+假陰性患者I1。

（10）假設(shè)假陰性率為36%（數(shù)據(jù)根據(jù)日本醫(yī)生上昌広所說，在所有被檢測的患者中，真實(shí)的新冠病毒感染者占20%，而檢測的靈敏度為70%，特異度為90%所計算出來）。

（11）潛伏期患者與以表現(xiàn)出癥狀的的傳染能力是相同的。

（12）隔離的患者都是住院患者。

（13）假設(shè)武漢的患者人數(shù)接觸率的額影響曲線等于中國的患者接觸率的影響。

（14）附件中所給的數(shù)據(jù)真實(shí)有效。

（15）不會出現(xiàn)超級感染者，如果出現(xiàn)，會被第一時間隔離，不會造成大范圍傳播。

（16）新型肺炎病毒在此階段不會出現(xiàn)變異。

（17）確診者被完全完全隔離，不再具有傳染性。

（18）境外輸入病歷已基本得到控制，不再是影響我國疫情的主要因素。

4 定義與符號說明

問題一的符號：

問題二的符號：

問題三的符號：

5 模型的建立與求解

5.1 問題一的模型建立

從新冠病毒疫情爆發(fā)開始，世界全球各個國家都陸續(xù)在積極整合疫情實(shí)時大數(shù)據(jù)報告，主要針對了各國疫情的新增趨勢、確診疑似趨勢、累計死亡和治愈人數(shù)、治愈率和死亡率、境外輸入輸出比例和累計趨勢等。我們主要收集了我國和美國還有意大利的各項數(shù)據(jù)，并且進(jìn)行了數(shù)據(jù)整理與選擇。由于我國是首先發(fā)現(xiàn)該病例，因此我們以我國為中心，并考慮境外輸入輸出的影響來研究各國的疫情的發(fā)展趨勢。我們從微信公眾號青檸疫服上收集到[5]了我國境外輸入新增趨勢和境外輸入累計趨勢（參考微信程公眾號青檸疫服）。為了估計各個國家的初期患病人數(shù)，我們從“世界人口網(wǎng)”（https://www.renkou.org.cn/）上收集了三個國家截止到2020年4 月11 日的總?cè)丝跀?shù)量（見表格一所示）。

表一

表二

依據(jù)目前疫情的發(fā)展情況，以及各國政府采取的控制措施，我們建立了一個SEIR 倉室模型。針對于各個國家的隔離措施，如果有近似k 比率與感染者接觸的人被隔離了且被感染，則其自動轉(zhuǎn)為Ek，反之不變。對于被隔離的個體，如果被感染則會以A*B*O 的速度被送到Ek 內(nèi)，如果沒有被感染則會以A*(1-B)*O 的速度轉(zhuǎn)移到Sk 內(nèi)。同時感染者從被確診（確診速率E1 參數(shù)估計為0.133）到恢復(fù)到健康水平，其恢復(fù)率為F3（參數(shù)估計為0.1022），考慮到遷入遷出其SEIR 具體模型如下所示:

其中下標(biāo)i 可取值分別為1、2、3 分別代表中國、美國、意大利。人口的流動用表示，其中j 表示人的狀態(tài)（分別包含易感染者、潛伏期者、有感染癥狀者和無癥狀感染者）。由于疫情從1 月28 日在中國發(fā)生，并在之后的一段時間內(nèi)美國和意大利并沒有報告病例數(shù)。所以我們只考慮我國人口的境外輸入量和輸出量（參考微信程公眾號青檸疫服），則表示人口從我國流向第i 個國家。我國在3月28 日正式宣布封國，因此，可以假設(shè)在3 月28 日以后沒有人口流動了。此時=0?？紤]到復(fù)工復(fù)產(chǎn)時人口重新開始流動了。此時有境外的輸入輸[6]出比例又呈上升趨勢，大約有700 人出入中國，其中黑龍江、上海等地所占比例最大，大約占了52%。由此根據(jù)人口的流動趨勢和分布可以計算出函數(shù)矩陣，這里矩陣表示人口流動的鄰接矩陣,一共分為三段（1 月28-3 月28）。由我國的遷入遷出趨勢圖，以及人口數(shù)量表可以計算出不同國家的控制數(shù)，并假設(shè)在中間階段人口沒有流動，取值為0。

根據(jù)所給模型，利用再生矩陣的方法，我們可以計算出控制措施實(shí)施過程中再生數(shù)的取值。其公式如下：Rc=[(BAp(1-k))/(E1+g+F1) ...+(BA(1-p)(1-k)τ)/F2...+(BAω(1-k))/C]S(0)

5.2 模型一的求解

其中S(0)表示易感染者的初值，然而考慮到前期社會整體對這種新型病毒的認(rèn)識不足(此時重視程度較低),再加上醫(yī)療資源緊張,因此導(dǎo)致前期我國的報告病例數(shù)相對較低,而其它國家疫情暴發(fā)比我國晚,報告病例數(shù)據(jù)相比我國較為模糊。因此,我們基于除我國外的其他國家的累計病例數(shù)（參考微信程公眾號青檸疫服）,采用最小二乘法來估計系統(tǒng)參數(shù)。由于大部分國家的報告病例數(shù)基本都是從2 月15 日開始,并且前幾天的數(shù)據(jù)也不太準(zhǔn)確,所以我們采用從2 月15 日至 4 月 30 日 的數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計。我們將數(shù)據(jù)分為三個階段以期評估各國逐步加強(qiáng)的控制措施的影響,第一階段為 2 月 15 日至 3 月 5 日,第二階段為 3 月 6 日至4 月 12 日,第三階段為 4 月 13 日至 4 月30 日。首先,根據(jù)所建模型我們先分析第一階段包含數(shù)據(jù)的所有參數(shù)。為了考慮各地不斷加強(qiáng)的控制措施對疫情的影響,而控制措施的影響主要體現(xiàn)在接觸數(shù)A 和隔離率k 的變化,假設(shè)各國家間的參數(shù)A 和k 的取值不同，固定其他參數(shù)不變,分別利用這三段數(shù)據(jù)重新估計每個國家的參數(shù)A 和k.模擬的起始時間 為 2 月 15 日,我國的模型初值見表2,其他國家易感者的初值假設(shè)為當(dāng)?shù)乜側(cè)丝跀?shù),其余初值為 0 (見表3).具體參數(shù)估計值和三個時間段期間的控制再生數(shù)的估計值見表2和3,利用Matlab 仿真軟件進(jìn)行模型擬合。表3 中的數(shù)字下標(biāo)1、2、3 分別代表3 個不同的階段。

表三

圖4

在疫情初期，由于需要花大量的時間在病毒的研究上，因此統(tǒng)計出來的病例數(shù)是明顯低于實(shí)際的病例數(shù)的。并且由于我國是第一個發(fā)現(xiàn)病例的國家，因此從其它國家的病例數(shù)來估計我國的實(shí)際病例數(shù)也是很重要的[7]，根據(jù)模型可以知道在我國在3 月28 日封國以后，我國疫情已經(jīng)得到了較好的控制。根據(jù)估計的參數(shù)值，我們得到了中國、意大利、美國三個國家的三個階段的再生數(shù)（表三）[8]。從表中可以看出，在全球疫情初期美國的再生數(shù)為5.15，明顯大于我國和意大利，因此美國的疫情惡化趨勢有著很大的潛伏性。而我國的再生數(shù)較小，一方面由于一部分病例流入了其它的國家（占很小的比例），另一方面可能為核酸檢測試劑并沒有完全檢查出所有的病例（與社區(qū)宣傳效果、檢查范圍等因素密切相關(guān)）[9]。而對于之后的階段，我國再生數(shù)已經(jīng)有了明顯的下降，意大利也是如此，但是美國還在上升(由于各國的疫情防治的重視程度不同以及醫(yī)療體系的因素)。對于再生數(shù)小于1 表明：目前新發(fā)感染率比較低，疫情已經(jīng)得到了有效的控制。

5.3 問題二的模型建立

SEIR 模型，將人群分為：（如圖4）

基礎(chǔ)的SEIR 模型沒有考慮到防控隔離、假陽性、假陰性對防疫工作和疾病流行過程的影響，因此在原有的基礎(chǔ)上新增了幾類人群，如圖4 所示。

表5.1

表5.2

在疫情初期，基本再生數(shù)R0 的均值由公式⑧和第一階段計算所得指數(shù)增長K 指，計算的出初期的基本再生數(shù)均值為3.4，即為在初期指數(shù)增長階段，一個典型的患者可以傳染大約3.4 個人。

表6.1（疫情爆發(fā)期）

表6.2（數(shù)據(jù)來源：國家衛(wèi)生委員會）

疫情爆發(fā)期由建立的模型可得，基本再生數(shù)R0=2.8，即為一個典型的新冠患者可以傳染2.8 個易感人，代間隔均值約為5.0d。

表4

5.4 問題三的模型建立

結(jié)合一階段問題2 對無癥狀感染者預(yù)測的模型來分析無癥狀感染者的人數(shù)的范圍。由第一階段的模型可知，無癥狀感染者的人數(shù)在四月份基本得到控制，現(xiàn)在每日新增人數(shù)基本控制在個位數(shù)，整體疫情基本得到控制[10]。

當(dāng)病毒高度適應(yīng)人群后，無癥狀感染者是否更難發(fā)現(xiàn)，是否會造成疫情的二次爆發(fā)這些種種的問題都值得去勘測。為了更好預(yù)估賽事重啟時間，我們決定研究被傳染比例的重要影響因素，如何來降低被傳染的比例是最賽事能否重啟的重[11]要參考。以CBA 籃球聯(lián)賽是否能重啟為例，如果要重啟該賽事，我們需要對有足夠的應(yīng)對能力來降低感染者的日接觸率，足夠的醫(yī)療能力來提高日治愈率，只有這樣，才能為重啟賽事提供切實(shí)可行的保障。由此我們引入SIR模型[12]。

在可行域D 中進(jìn)行分析：

在可行域中繪制兩條曲線。當(dāng)s0 大于s 時，i(t）先上升后下降到0，表示傳染病擴(kuò)散；當(dāng)s0 小于s 時，i(t)單調(diào)下降到0，表示傳染病不再擴(kuò)散,在可行域中繪制出了兩條曲線，令k=。

預(yù)防傳染病蔓延的手段,傳染病不蔓延的條件—s0

提高閾值k,則當(dāng)防護(hù)措施提高時，日接觸率降低；醫(yī)療水平提高時，日治愈率增加。

當(dāng)s=無窮時，帶入相關(guān)軌跡線，可得i=0。

提高閾值k,降低被傳染比例。

6 結(jié)果分析

6.1 問題一的結(jié)果以及模型檢驗

為了研究復(fù)工對各個國家的疫情的影響，我們基于我國在疫情期間的流動網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和流動量的模擬模型，并且考慮了不同的復(fù)工時間以及控制強(qiáng)度的影響分別采用第一階段和第二階段的人均接觸數(shù)A 和隔離率k 在模擬時只考慮其它國家對我國的境外輸入量得到，在復(fù)工時間分為3個時間段，分別為2 月3 日、3 月15 日、4 月3 日對各個國家疫情的影響用Matlab 軟件進(jìn)行預(yù)測分析[13]。

可得，在前兩個時間段內(nèi)復(fù)工的話，只有我國的疫情擴(kuò)大趨勢沒有過大的增幅，其它兩個國家都有明顯的上升，因此如果控制措施不嚴(yán)格的話[14]，病情將會在20 天內(nèi)再次爆發(fā)。對于在最后一個時間段內(nèi)復(fù)工的話，我國和意大利的疫情并不會嚴(yán)重化，但是對于美國來講，這段時間復(fù)工仍然是非常的不樂觀。

因此由于各個國家從2 月15 日才相繼給出疫情發(fā)展情況（我國較為提前），為了不斷加強(qiáng)防控措施的有效性，我們分階段的給出了三個國家的控制再生數(shù)。并有數(shù)據(jù)分析，模型仿真可以知道，在前兩個時間點(diǎn)里開展復(fù)工復(fù)業(yè)的話，再生數(shù)除了我國在第二個階段比較低以外，其它國家都比較大。有很大的傳播風(fēng)險，然而對于第三個時間點(diǎn)即4 月3 日復(fù)工，我國和意大利的再生數(shù)均小于1，則新發(fā)感染率明顯降低。因此模型仿真完畢，與實(shí)際情況近似相符[15]。

圖9

圖10

6.2 問題二的結(jié)果及模型分析

哪些參數(shù)是最重要的：

時間段不變,根據(jù)各個參數(shù)的變化值，控制變量法可以得出最重要的參數(shù)有：基本再生數(shù)、感染規(guī)模加倍時間、個人防護(hù)。

對防疫工作和疾病流行程度帶來了什么影響：

假陰性率為36%（數(shù)據(jù)根據(jù)日本醫(yī)生上昌広所說，在所有被檢測的患者中，真實(shí)的新冠病毒感染者占20%，而檢測的靈敏度為70%，特異度為90%所計算出來），這部分假陰性患者不能被檢測計檢測出來，所以可能會造成的危害較大。個人防護(hù)和隔離措施一定要做好。

假陽性率雖然也是檢測計的故障，容易造成感染患者統(tǒng)計數(shù)據(jù)上的夸大，但是假陽性的危害沒有假陰性的危害嚴(yán)重。

時刻關(guān)注潛伏期時間，有特殊患者的潛伏期時間超過了14 天。對于無癥狀患者的分布要時刻采取注意。

6.3 問題三的結(jié)果

由于每只球隊都會有自己的主場地，并且現(xiàn)在每個地方的疫情情況不太一樣，有感染率相對高一些的地方，這個時候就需要每個地方的球隊董事會根據(jù)當(dāng)?shù)厍闆r來設(shè)置一個閾值k0，當(dāng)計算所得的值高于這個閾值時，就可以考慮開賽。由問題一的模型我們可知，我國疫情可能在二次爆發(fā)，這個時間段應(yīng)該尤為注意防護(hù)措施。滿足什么條件時能不帶口罩呢？一是在無人員聚集的地方可以不帶口罩，二是在通風(fēng)條件良好地方可以不帶口罩。顯然，對于CBA 的舉報地就不滿足第一點(diǎn)，如果由模型3 評估可以重啟賽事時，那么每個觀眾席之間的距離需要間隔一米以上。僅僅如此還不夠，也需要滿足良好的通風(fēng)條件以及相應(yīng)的應(yīng)急措施。由此我們可以制定出CBA 賽事的重啟時間表。

6.4 問題四的結(jié)果

給國家安全局的備忘錄：6 月初就可以舉行賽事了，但是有幾點(diǎn)必須要注意的事項：限制現(xiàn)場觀眾的人數(shù)（根據(jù)場地限制，以及該地區(qū)近段時間的疫情控制情況而定）；觀眾于觀眾之間的位置距離要設(shè)計>1.5 米；在進(jìn)場處進(jìn)行溫度檢測，溫度超過37.2 攝氏度請移步網(wǎng)上觀看；現(xiàn)場設(shè)置醫(yī)護(hù)人員，處理應(yīng)對緊急狀況；賽前對于運(yùn)動員的身體狀況一定要反復(fù)檢查，確保不能有一點(diǎn)疏漏，舉行賽事時不可避免的時隊員與隊員之間的接觸。[16]

7 模型評價與推廣

7.1 模型的優(yōu)點(diǎn)

（1）在建模過程中，模型一巧妙的運(yùn)用SEIR 模型，結(jié)合人口流動矩陣，評估了二次疫情高峰的隱患大小。

（2）模型二引入了個人防護(hù)因素的SEIR 模型更加貼近實(shí)情，考慮了基本再生數(shù)、潛伏期時間、代間隔幾個重要的參數(shù)。

（3）模型三建立SIR 模型，引入了被傳染率，較準(zhǔn)確的評估出重大賽事的重啟時間。

（4）各個模型之間緊密聯(lián)系，和真實(shí)情況較為貼近，仿真結(jié)果進(jìn)行了多次測量更具有可行性。

（5）將國內(nèi)外的疫情情況相結(jié)合，使得防疫指標(biāo)更具有普遍性。

7.2 模型的缺點(diǎn)

（1）模型一的評估結(jié)果，主要是以我國為中心，而沒有特別注重其他國家之間的相互的影響。

（2）模型二的參數(shù)考慮涉及不全面，數(shù)據(jù)不是特別準(zhǔn)確。

（3）模型三僅僅是從理論進(jìn)行分析，沒有進(jìn)行仿真實(shí)驗，結(jié)果與實(shí)際可能存在偶然性誤差。

（4）關(guān)于潛伏期患者和無癥狀患者的數(shù)據(jù)難以獲得，因此模型具有一定的局限性。

7.3 模型的改進(jìn)

（1）對各問題的模型進(jìn)行優(yōu)化，使得擬合精度更高。

（2）對于模型二多考慮一些參數(shù)。

（3）對模型三進(jìn)行Matlab 仿真，使得結(jié)論更加準(zhǔn)確。

（4）整合各個國家?guī)讉€月以來的人口流動，多去查閱國外的疫情數(shù)據(jù)以及國家間的人群流動數(shù)據(jù)再與國內(nèi)疫情展趨勢相聯(lián)系，使得評估指標(biāo)適用性更強(qiáng)。