基于解析-遺傳算法的永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩優(yōu)化

周曉燕，王德鵬，徐志凱

(青島理工大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院，青島 266520)

0 引 言

在用有限元法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中，為了降低永磁電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩，需要對電機(jī)重新建模、剖分、計(jì)算，過程復(fù)雜，耗時(shí)長。而解析算法無需剖分，建模過程簡單，能夠方便地和優(yōu)化算法結(jié)合對參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。傳統(tǒng)的有限元算法并不能聯(lián)合優(yōu)化算法對齒槽轉(zhuǎn)矩進(jìn)行電機(jī)參數(shù)的優(yōu)化計(jì)算，解析法一般應(yīng)用于比較特殊(求解域比較規(guī)則)的邊界條件下，能夠獲得精確的磁場解析解并根據(jù)電機(jī)的性能要求進(jìn)行相關(guān)參數(shù)的分析優(yōu)化。同時(shí)，解析算法可以聯(lián)合遺傳優(yōu)化算法對電機(jī)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，得到電機(jī)設(shè)計(jì)參數(shù)最優(yōu)解。

目前，國內(nèi)外學(xué)者對齒槽轉(zhuǎn)矩做了很多的研究，取得了很多成果。文獻(xiàn)[1]采用全局最優(yōu)法和有限元分析法相結(jié)合，研究了極弧系數(shù)組合優(yōu)化對齒槽轉(zhuǎn)矩的影響；文獻(xiàn)[2]研究了改變定子齒槽參數(shù)對異步起動永磁同步電動機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響；文獻(xiàn)[3]研究了通過優(yōu)化設(shè)計(jì)氣隙磁密的特定次諧波，來實(shí)現(xiàn)削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的目的；文獻(xiàn)[4]研究了通過永磁體不對稱放置來削弱內(nèi)置式永磁體同步電動機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩；文獻(xiàn)[5]提出了一種基于粒子群算法來優(yōu)化永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的方法。

本文研究了一種基于解析算法的遺傳優(yōu)化算法對永磁電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩進(jìn)行優(yōu)化。根據(jù)文獻(xiàn)[6]建立內(nèi)轉(zhuǎn)子表貼式永磁無刷電機(jī)直接解析模型的基本思路，建立了齒槽轉(zhuǎn)矩的解析表達(dá)式并編寫程序，以齒槽轉(zhuǎn)矩的幅值為目標(biāo)函數(shù)，選取電機(jī)定子槽口寬度以及極弧系數(shù)作為優(yōu)化參數(shù)，結(jié)合MATLAB中的遺傳算法工具箱進(jìn)行優(yōu)化，得出最優(yōu)參數(shù)組合。將最優(yōu)參數(shù)組合作為輸入進(jìn)行仿真驗(yàn)證，電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩削弱效果明顯。

1 永磁電機(jī)直接解析法

為便于數(shù)學(xué)建模，設(shè)定電機(jī)計(jì)算場域?yàn)槎S磁場，根據(jù)文獻(xiàn)[7]經(jīng)過合理假設(shè)后，表貼式永磁無刷電機(jī)在二維極坐標(biāo)下的剖面圖如圖1所示，并將電機(jī)內(nèi)的磁場區(qū)域劃分為氣隙區(qū)域、永磁體區(qū)域以及槽區(qū)域。

圖1 二維極坐標(biāo)下表貼式永磁電機(jī)剖面圖

圖1中，Rr為轉(zhuǎn)子外徑；Rm為永磁體外經(jīng)；Rs為定子內(nèi)徑；Rsy為電機(jī)槽深；Q為槽數(shù)；β為槽寬；θ0為永磁體與初始設(shè)定的基準(zhǔn)位置間偏移角度；θi為第i槽距離初始設(shè)定的角度。

電機(jī)徑向充磁，永磁體磁化強(qiáng)度M可以表示為r和θ的函數(shù)[7]：

(1)

(2)

式中：v為永磁體磁場的諧波次數(shù)；p為電機(jī)的極對數(shù)；αp為極弧系數(shù)。

假定初始時(shí)刻電機(jī)轉(zhuǎn)子的S磁極正對槽口的中心線，則θi=-β/2+2iπ/Q，本文模型中為θ0為0。

在極坐標(biāo)系下，氣隙區(qū)域、永磁體區(qū)域的矢量磁位分別滿足如下方程：

氣隙區(qū)域AⅠ：

(3)

永磁體區(qū)域AⅡ：

-uru0×M

(4)

式中：

(5)

空載時(shí)第i槽區(qū)域矢量磁位Asi：

(6)

Rs≤r≤Rsy

θi≤θ≤θi+β

(7)

1.1 電機(jī)空載氣隙磁場的計(jì)算

首先,建立空載情況下的表貼式永磁電機(jī)解析數(shù)學(xué)模型，建立氣隙區(qū)域、永磁體區(qū)域、槽區(qū)域的矢量磁位方程以及電機(jī)的邊界條件方程。

其次,編寫相應(yīng)的MATLAB計(jì)算仿真程序，所編寫的程序能夠計(jì)算氣隙區(qū)域、永磁體區(qū)域和槽區(qū)域矢量磁位，并由此計(jì)算氣隙區(qū)域的磁密[7]。圖2為解析法與有限元法計(jì)算樣機(jī)氣隙磁密結(jié)果的對比。

圖2 氣隙磁密波形

1.2 齒槽轉(zhuǎn)矩的解析表達(dá)式

永磁電機(jī)中的齒槽轉(zhuǎn)矩主要是電機(jī)空載運(yùn)行時(shí)，永磁體和鐵心之間的相互作用而產(chǎn)生的。目前，計(jì)算齒槽轉(zhuǎn)矩的方法主要有解析法和數(shù)值法，解析法能夠直觀地反映齒槽轉(zhuǎn)矩和各個(gè)物理量之間的關(guān)系，適用于采用優(yōu)化算法來進(jìn)行優(yōu)化。本文采用解析法計(jì)算齒槽轉(zhuǎn)矩。

解析法主要有能量法和麥克斯韋應(yīng)力張量法，結(jié)合前面計(jì)算氣隙磁場所采用的直接解析法的特點(diǎn)，選用麥克斯韋應(yīng)力張量法[9]計(jì)算齒槽轉(zhuǎn)矩?？梢钥闯?，在前面已經(jīng)求得氣隙磁場矢量磁位系數(shù)的前提下，編寫相應(yīng)的MATLAB計(jì)算程序，即可求得齒槽轉(zhuǎn)矩[7]。圖3為解析法與有限元法計(jì)算樣機(jī)結(jié)果的對比。

圖3 齒槽轉(zhuǎn)矩波形

將計(jì)算結(jié)果與有限元法仿真波形結(jié)果進(jìn)行比較，可以看出，采用解析算法與采用有限元算法進(jìn)行仿真得到的實(shí)驗(yàn)波形吻合程度還是很高的，從而證明了本文選用解析算法進(jìn)行電機(jī)氣隙磁密及齒槽轉(zhuǎn)矩求解的正確性和有效性。

2 基于解析-遺傳算法的齒槽轉(zhuǎn)矩優(yōu)化

2.1 遺傳算法

遺傳算法是模擬生物界中的進(jìn)化規(guī)律而提出的一種用于求解函數(shù)最小值的、具有隨機(jī)搜索能力的全局優(yōu)化算法[10-11]。遺傳算法的基本原理是：遺傳算法是一類借鑒生物界的進(jìn)化規(guī)律(適者生存，優(yōu)勝劣汰遺傳機(jī)制)演化而來的隨機(jī)化搜索方法，其主要特點(diǎn)是直接對結(jié)構(gòu)對象進(jìn)行操作，不存在求導(dǎo)和函數(shù)連續(xù)性的限定，具有內(nèi)在的隱并行性和更好的全局尋優(yōu)能力，采用概率化的尋優(yōu)方法，能自動獲取和指導(dǎo)優(yōu)化的搜索空間，自適應(yīng)地調(diào)整搜索方向，不需要確定規(guī)則。其具有全局性、并行性、高效性、魯棒性、普適性、簡明性等特點(diǎn)[12]。

遺傳算法能夠?qū)Y(jié)構(gòu)對象直接進(jìn)行操作，并且具有潛在的并行性，可以進(jìn)行多個(gè)個(gè)體的同時(shí)比較，使用條件也容易滿足。目前，已被廣泛地應(yīng)用各個(gè)領(lǐng)域中，是現(xiàn)代智能計(jì)算中的關(guān)鍵技術(shù)。

結(jié)合遺傳算法的特點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)，遺傳算法可以很好地處理優(yōu)化齒槽轉(zhuǎn)矩這項(xiàng)復(fù)雜的問題。它首先根據(jù)實(shí)際要解決的問題，對函數(shù)要求解的解空間進(jìn)行編碼，然后從中隨機(jī)生成若干個(gè)個(gè)體組成算法迭代的初始種群，然后在選擇、交叉、變異的操作下通過迭代去逐步尋找最優(yōu)的參數(shù)組合[13-14]。遺傳算法的基本流程如圖4所示。

圖4 遺傳算法的基本流程圖

2.2 齒槽轉(zhuǎn)矩的優(yōu)化實(shí)現(xiàn)

函數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)也即目標(biāo)函數(shù)在各種約束條件下，使得目標(biāo)函數(shù)的值達(dá)到最優(yōu)。目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化體現(xiàn)了設(shè)計(jì)者的愿望，是工程設(shè)計(jì)中重要的決策之一。在調(diào)用遺傳算法優(yōu)化的過程中，必須很好地將目標(biāo)函數(shù)和遺傳算法結(jié)合。

根據(jù)已經(jīng)編寫的基于解析算法的齒槽轉(zhuǎn)矩計(jì)算程序，調(diào)用MATLAB中的遺傳算法工具箱，選取了對齒槽轉(zhuǎn)矩影響較大的極弧系數(shù)和定子槽口寬度作為優(yōu)化變量，在其他變量保持不變的情況下，設(shè)置極弧系數(shù)和齒槽轉(zhuǎn)矩在合理的范圍內(nèi)，以齒槽轉(zhuǎn)矩的幅值為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)。

此外，在調(diào)用遺傳算法的過程中，還需要處理好遺傳算法的參數(shù)問題。在這些參數(shù)中，種群的規(guī)模，交叉算子和交叉概率，變異算子和變異概率以及迭代次數(shù)等對算法的性能都有著重大的影響。因此，必須將這些參數(shù)和需要優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)之間進(jìn)行很好的結(jié)合，以期達(dá)到采用遺傳算法實(shí)現(xiàn)全局優(yōu)化的目的。

3 計(jì)算實(shí)例

以一臺4極18槽內(nèi)轉(zhuǎn)子表貼式永磁發(fā)電機(jī)為例，采用遺傳算法對齒槽轉(zhuǎn)矩進(jìn)行優(yōu)化。電機(jī)原模型基本參數(shù)如表1所示，在優(yōu)化的過程中定子槽口寬度β應(yīng)滿足如下關(guān)系:

表1 電機(jī)原模型基本參數(shù)

定子槽口寬度β范圍即[0.075rad,0.349rad]，極弧系數(shù)αp的取值范圍根據(jù)經(jīng)驗(yàn)值設(shè)為[0.7,0.9]，遺傳算法的基本參數(shù)設(shè)置如表2所示。

表2 遺傳算法的基本參數(shù)設(shè)置

根據(jù)齒槽轉(zhuǎn)矩的解析表達(dá)式，采用MATLAB對其進(jìn)行編程，并利用MATLAB中的GA工具箱對齒槽轉(zhuǎn)矩進(jìn)行優(yōu)化，得出的目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化過程如圖5所示，圖6為原電機(jī)模型在β=0.13 rad，αp=0.8處的齒槽轉(zhuǎn)矩波形，圖7為優(yōu)化后電機(jī)在β=0.105 rad，αp=0.803處的齒槽轉(zhuǎn)矩波形。比較優(yōu)化前后的齒槽轉(zhuǎn)矩幅值,可以發(fā)現(xiàn)，原電機(jī)模型的齒槽轉(zhuǎn)矩的幅值為0.009 N·m，優(yōu)化后的齒槽轉(zhuǎn)矩的幅值為0.000 6 N·m, 優(yōu)化后的齒槽轉(zhuǎn)矩幅值相對于原電機(jī)模型削弱效果顯著。電機(jī)優(yōu)化后模型基本參數(shù)如表3所示。

圖5 基于目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化過程

圖6 原電機(jī)模型齒槽轉(zhuǎn)矩波形

圖7 電機(jī)優(yōu)化后齒槽轉(zhuǎn)矩波形

對樣機(jī)優(yōu)化前后氣隙磁密進(jìn)行傅里葉諧波分析，圖8為電機(jī)優(yōu)化前后徑向氣隙磁密諧波。

(a) 優(yōu)化前

根據(jù)本文所選用的樣機(jī)參數(shù)可知，對齒槽轉(zhuǎn)矩起主導(dǎo)作用的是電機(jī)空載氣隙磁通密度中的9次諧波，經(jīng)過對電機(jī)空載氣隙磁通密度的傅里葉分解，比較優(yōu)化前后的氣隙磁密可以發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化后電機(jī)徑向氣隙磁密的9次諧波相對于優(yōu)化前電機(jī)模型9次諧波有一定的削弱效果，從而進(jìn)一步驗(yàn)證了采用遺傳優(yōu)化算法進(jìn)行電機(jī)優(yōu)化的正確性和有效性。

4 結(jié) 語

本文針對永磁電機(jī)固有的齒槽轉(zhuǎn)矩問題，研究了一種基于解析-遺傳算法的優(yōu)化方法，在利用直接解析法計(jì)算電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的基礎(chǔ)上，采用遺傳算法對電機(jī)極弧系數(shù)和定子槽口寬度進(jìn)行綜合優(yōu)化求得最優(yōu)解，結(jié)果表明在最優(yōu)解下電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩得到明顯的削弱。

此方法相較于有限元算法，不需要進(jìn)行復(fù)雜的有限元剖分，在保證解析求解正確的基礎(chǔ)上可以簡便快捷地求解電機(jī)內(nèi)部磁場的解析解，并為探究電機(jī)尺寸參數(shù)等物理量與電機(jī)磁場之間的相互關(guān)系提供了條件。另外，此方法可以靈活地選取永磁電機(jī)的參數(shù)作為優(yōu)化變量，既能夠?qū)﹄姍C(jī)某一參數(shù)進(jìn)行定量優(yōu)化得到理論最優(yōu)解，又能夠?qū)Χ鄠€(gè)電機(jī)參數(shù)同時(shí)進(jìn)行定量優(yōu)化得到最優(yōu)組合解。不僅適合分?jǐn)?shù)槽電機(jī)，同樣適合整數(shù)槽電機(jī)，具有普適性。