聚焦直線方程與圓的方程中的數(shù)學(xué)思想

■吳 函

直線與圓是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在直線與圓的解題中蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想，如函數(shù)與方程思想、分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等。下面例析直線與圓中的數(shù)學(xué)思想的具體應(yīng)用。

一、函數(shù)與方程思想

例1過點(diǎn)P(2，1)作直線l，分別交x軸、y軸的正半軸于點(diǎn)A、B，當(dāng)PA·PB取得最小值時(shí)，求直線l的方程。

解：顯然直線的斜率存在且k＜0，設(shè)直線l的方程為y-1=k(x-2)(k＜0)。令y=0，得。令x=0，得B(0，1-2k)。所以PA·PB==當(dāng)且僅當(dāng)k=-1時(shí)取等號(hào)。所以直線l的方程為x+y-3=0。

點(diǎn)評(píng)：先根據(jù)條件設(shè)出直線的方程，再根據(jù)題目條件建立PA·PB的目標(biāo)函數(shù)，最后利用二次函數(shù)求出該函數(shù)的最小值，從而解決問題。

二、分類討論思想

例2討論直線l：3x+4y+m=0與圓C：x2+y2-2x=O的位置關(guān)系。

解：先求得圓C的圓心為C(1，0)和半徑r=1，再求得圓心C到直線l的距離d=，最后按d＜r，d=r，d＞r三種情況討論直線與圓相交、相切、相離時(shí)m的取值范圍。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)含有參數(shù)的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解時(shí)，要注意運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，分類要正確、嚴(yán)密，做到不重、不漏。

三、轉(zhuǎn)化與化歸思想

例3已知m∈R，直線l：mx-(m2+1)y=4m和圓C：x2+y2-8x+4y+16=0。

(1)求直線l斜率的取值范圍。

(2)直線l能否將圓C分割成弧長(zhǎng)的比值為的兩段圓弧? 為什么?

解：(1)直線l的方程可化為(x-4)，斜率，即km2-m+k=0。當(dāng)k=0 時(shí)，m=0；當(dāng)k≠0 時(shí)，由Δ≥0，得1-4k2≥0，即。

綜上可得k的取值范圍是。

(2)不能。由(1)知l的方程為y=k(x-4)，其中。圓C的圓心為C(4，-2)，半徑r=2，圓心C到直線l的距離，由，得1，故。 從而，若l與圓C相交，則圓C截直線l所得的弦對(duì)應(yīng)的圓心角小于120°，所以l不能將圓C分割成弧長(zhǎng)的比值為的兩段弧。

點(diǎn)評(píng)：本題中利用圓的幾何性質(zhì)，把弧的長(zhǎng)度比轉(zhuǎn)化為角度的范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想。