不等式熱點(diǎn)題型解讀

■徐東輝

不等式的性質(zhì)運(yùn)算作為解答不等式問題的重要工具，其考查方式往往滲透于不等式問題的解答過程中，一般不會單獨(dú)考查。所以，不等式考查的熱點(diǎn)就集中于基本不等式(均值不等式)與二次不等式及其應(yīng)用，因此同學(xué)們對這兩個內(nèi)容應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)認(rèn)知與掌握。

一、不等式的性質(zhì)運(yùn)算

例1若a＜b＜0，則下列不等式成立的是( )。

A.b+＜a+

B.a2＞b2

C.|a|+|b|＞|a+b|

D.ln -a( )+ln -b( )＞0

解：由a＜b＜0可得，所以b+，A 項(xiàng)錯誤。由-a＞-b＞0可得-a( )2＞ -b( )2，即a2＞b2，B 項(xiàng)正確。因?yàn)閍＜b＜0，所以|a|+|b|=-a-b=|a+b|，C 項(xiàng)錯誤。因?yàn)閍＜b＜0，所以ab＞0，又ln -a()+ln -b()=lnab，而lnab∈R，D 項(xiàng)錯誤。答案為B。

二、基本不等式(均值不等式)求最值

例2已知函數(shù)有最大值，當(dāng)x為何值時，函數(shù)f x( )有最大值并求其最大值?

解：f(x) == (x-1)+，因?yàn)?2＜x＜，所以x-1＜0，1-x＞0。所以f x( )=-(1-x)+≤，當(dāng)且僅當(dāng)x-1=，即x=時等號成立。所以當(dāng)x=時，函 數(shù)f x( )有最大值，其最大值為。

三、二次不等式的應(yīng)用

例3已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，函數(shù)F(x)=f(x)-x的兩個零點(diǎn)為m，n(m＜n)，則：

(1)若b=-2，c=6a，且f(x)＜0的解集是{x|x＜-3或x＞-2}，求a的值。

(2)若m=-1，n=2，求不等式F(x)＞0的解集。

(3)若a=1，b=-2λ，c=λ-1(λ∈R)，對于任意的x∈[0，2]，不等式f x( )≤λ恒成立，求λ的取值范圍。

解：(1)若b=-2，c=6a，則f x( ) =ax2-2x+6a。因?yàn)椴坏仁絝 x( )＜0 的解集是{x|x＜-3 或x＞-2}，所以-3，-2是方程ax2-2x+6a=0 的兩根。因此，解得。

(2)F x( )=f x( )-x=a(x-m)(xn)，當(dāng)m=-1，n=2 時，不等式F x( )＞0，即a(x+1)(x-2)＞0。當(dāng)a＞0時，不等式F x( )＞0的解集為{x|x＜-1或x＞2}；當(dāng)a＜0 時，不等式F x( ) ＞0 的解集為{x|-1＜x＜2}。

(3)因?yàn)閍=1，b=-2λ，c=λ-1，所以f x( )=x2-2λx-1+λ，于是f x( )-λ=x2-2λx-1。要 使“?x∈[0，2]，不 等 式f x( )≤λ恒成立”，則只需“x2-2λx-1≤0在[0，2]上恒成立”。設(shè)g x( )=x2-2λx-1，于是問題轉(zhuǎn)化為只要g x( )≤0在[0，2]上恒 成 立 即 可， 所 以即解得，故λ的取值范圍為。