磁軸承飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)研究

劉朝濤，王卓雅

（重慶交通大學(xué)機(jī)電與車輛工程學(xué)院，重慶 400074）

1 引言

隨著新材料、新技術(shù)的迅猛發(fā)展，超導(dǎo)磁儲(chǔ)能、飛輪儲(chǔ)能、超級(jí)電容器、壓縮空氣儲(chǔ)能等各種儲(chǔ)能技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生，并受到國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-2]，其中飛輪儲(chǔ)能以其功率密度高、循環(huán)壽命長(zhǎng)、清潔環(huán)保無(wú)污染等[3-4]優(yōu)良特性廣泛應(yīng)用于重載機(jī)車、電網(wǎng)系統(tǒng)、軌道車輛、電動(dòng)汽車、衛(wèi)星調(diào)姿等眾多領(lǐng)域[5-7]。

飛輪轉(zhuǎn)子在啟停、外界激勵(lì)作用下會(huì)產(chǎn)生不平衡力，使整機(jī)系統(tǒng)發(fā)生受迫振動(dòng)，嚴(yán)重影響飛輪儲(chǔ)能裝置高速平穩(wěn)運(yùn)行[8]。文獻(xiàn)[9]建立了基于軸向摩擦力矩與間隙變化剛度的雙質(zhì)量飛輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型，分析飛輪設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)非線性特性的影響；文獻(xiàn)[10]采用改進(jìn)型拉格朗日動(dòng)力學(xué)方法建立了衛(wèi)星飛輪系統(tǒng)的非線性機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)模型，并基于力學(xué)模型對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行分析；文獻(xiàn)[11]建立了飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)徑向非線性動(dòng)力學(xué)方程，分析轉(zhuǎn)子偏心條件下飛輪轉(zhuǎn)速、磁軸承剛度對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。然而，基于電動(dòng)機(jī)啟停瞬間輸入端激勵(lì)擾動(dòng)下，磁軸承飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)徑向與軸向的非線性動(dòng)力學(xué)特性還鮮有研究。

基于Lagrange-Maxwell 動(dòng)力學(xué)理論，建立磁軸承飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)微分方程，考慮電動(dòng)機(jī)輸入端激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，對(duì)磁軸承飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行分析，探討輸入端激勵(lì)擾動(dòng)與儲(chǔ)能系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的映射關(guān)系；采用Runge-Kutta 法對(duì)飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)進(jìn)行數(shù)值仿真，通過(guò)時(shí)間響應(yīng)歷程曲線、相軌跡圖、龐加萊圖和幅值譜圖綜合分析激勵(lì)振幅與頻率對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響規(guī)律，仿真結(jié)果為磁軸承飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的參數(shù)優(yōu)化匹配提供理論設(shè)計(jì)基礎(chǔ)。

2 轉(zhuǎn)子-磁軸承軸向運(yùn)動(dòng)受力分析

研究的飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)主要包括飛輪、電動(dòng)機(jī)、轉(zhuǎn)子、軸向磁軸承和徑向磁軸承，軸向、徑向磁軸承分別用于平衡系統(tǒng)軸向和徑向的不平衡力，維持系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。儲(chǔ)能系統(tǒng)轉(zhuǎn)子由推力盤和轉(zhuǎn)軸構(gòu)成，推力盤一側(cè)為軸向磁軸承，軸向磁軸承采用有偏置電流的差動(dòng)控制方式，推力盤與磁軸承通過(guò)電磁力調(diào)節(jié)兩者之間的相對(duì)位置，保證整個(gè)飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)軸向偏移量在安全范圍內(nèi)，避免偏移量過(guò)大對(duì)整機(jī)系統(tǒng)穩(wěn)定性造成不利影響。

當(dāng)系統(tǒng)處于平衡位置時(shí)，推力盤和磁軸承間的氣隙磁感應(yīng)強(qiáng)度為：

式中：B1—左側(cè)磁軸承氣隙磁感應(yīng)強(qiáng)度；B2—右側(cè)磁軸承氣隙磁感應(yīng)強(qiáng)度；μ0—真空磁導(dǎo)率；N—線圈匝數(shù)；I—線圈偏置電流；δ0—平衡位置時(shí)磁軸承與推力盤間的氣隙長(zhǎng)度。

左右磁軸承產(chǎn)生的電磁力為：

式中：As—軸向磁軸承的磁極面積，在無(wú)軸向偏移量情況下，左右兩側(cè)磁軸承軸向電磁力相等，飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)整機(jī)處于平衡位置；當(dāng)在外界擾動(dòng)變量影響下，推力盤會(huì)偏離平衡位置，向左或者向右運(yùn)動(dòng)，從而使得推力盤左右兩側(cè)氣隙長(zhǎng)度發(fā)生變化。以推力盤向右運(yùn)動(dòng)為例，軸向位移偏移量為Δx，控制電流為i，左右磁軸承電磁力分別為：

此時(shí)，飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)在左右兩側(cè)軸向磁軸承電磁力作用下向左運(yùn)動(dòng)回到平衡位置，左右軸向磁軸承產(chǎn)生的回復(fù)力F 為：

將左右磁軸承電磁力F1、F2進(jìn)行泰勒展開(kāi)取其前三階，忽略高階小量，飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)磁軸承電磁合力為：

3 飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)整機(jī)動(dòng)力學(xué)模型

飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)在無(wú)充放電工況下整機(jī)系統(tǒng)處于高速平穩(wěn)運(yùn)行狀態(tài)，當(dāng)存在外界激勵(lì)擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定性被破壞，考慮飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)在電動(dòng)機(jī)輸出端激勵(lì)作用下繞某一徑向軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如圖1 所示。

圖1 繞y 軸轉(zhuǎn)動(dòng)飛輪受力分析圖Fig.1 Force Analysis Diagram of Flywheel Rotating Around Y-Axis

式中：L—上下磁極面的中心距；D—轉(zhuǎn)子內(nèi)徑。

在電動(dòng)機(jī)輸入端激勵(lì)下，飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)偏移平衡狀態(tài)，產(chǎn)生軸向偏移量Δx、徑向偏移量Δz，為了探究電動(dòng)機(jī)輸入端激勵(lì)與磁懸浮飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性的映射關(guān)系，將整機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化，等效為二質(zhì)體機(jī)電耦合模型，如圖2 所示。建模時(shí)做如下簡(jiǎn)化假設(shè)：忽略飛輪、轉(zhuǎn)子質(zhì)量分布不均勻的影響，其質(zhì)心為幾何中心；系統(tǒng)無(wú)充放電作業(yè)時(shí)，飛輪儲(chǔ)能裝置整機(jī)處于平穩(wěn)狀態(tài)，無(wú)徑向、軸向偏移；磁懸浮軸承氣隙磁場(chǎng)對(duì)稱分布；忽略漏磁影響。

圖2 飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型Fig.2 Dynamic Simplified Model of Flywheel Energy Storage System

飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)的動(dòng)能主要由轉(zhuǎn)子、飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與轉(zhuǎn)子、飛輪偏移引起的平動(dòng)動(dòng)能兩部分組成：

式中：Ta—飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)機(jī)構(gòu)平動(dòng)動(dòng)能；Tb—飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能；Mi—系統(tǒng)各機(jī)構(gòu)質(zhì)量；vi—系統(tǒng)各機(jī)構(gòu)平動(dòng)速度；Ji—系統(tǒng)各機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ω—系統(tǒng)各機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度；下標(biāo)1—飛輪參數(shù)；下標(biāo) 2—電機(jī)轉(zhuǎn)子參數(shù)—飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)軸向位移偏移速度—飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)徑向位移偏移速度。

飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)的體系勢(shì)能：

由泰勒級(jí)數(shù)可知，飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)等效時(shí)變剛度系數(shù)k（t）在平衡位置δ 附近可以表示為：

飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)在軸向運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，轉(zhuǎn)子和飛輪的軸向偏移會(huì)造成系統(tǒng)體系的能量消耗，其耗散函數(shù)為：

式中：cx—飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)軸向運(yùn)動(dòng)等效阻尼系數(shù)；cz—徑向運(yùn)動(dòng)等效阻尼系數(shù)；cm—電磁阻尼系數(shù)。

根據(jù)Lagrange-Maxwell 方程建立飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)方程，假設(shè)系統(tǒng)有N 個(gè)自由度，則系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程為：

式中：L—Lagrange-Maxwell 函數(shù)；T—系統(tǒng)總動(dòng)能；V—系統(tǒng)總勢(shì)能；Z—系統(tǒng)的耗散函數(shù)；W—電機(jī)氣隙磁場(chǎng)能；Qi—系統(tǒng)廣義坐標(biāo)的廣義力。

將式（7）、式（8）、式（11）帶入式（13）求得系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)方程：

式中：Te—電動(dòng)機(jī)輸入扭矩；r—軸徑；FA（t）—電動(dòng)機(jī)輸入端激勵(lì)。

將式（15）帶入式（14），進(jìn)行歸一化處理，則飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)方程可轉(zhuǎn)換為無(wú)量綱的形式：

其中，相關(guān)參數(shù)如下：

4 數(shù)值仿真

為了探究電動(dòng)機(jī)輸入端激勵(lì)對(duì)飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)特征的影響規(guī)律，采用Runge-Kutta 法對(duì)飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真，計(jì)算得到時(shí)間響應(yīng)歷程曲線、相軌跡圖、龐加萊圖和幅值譜并進(jìn)行分析，系統(tǒng)機(jī)械和電磁主要參數(shù)，如表 1 所示。ξ=0.81，τ=0.3，η=1，ξ=0，υ=0.6，λ=1.2，F(xiàn)a=0.058，以 f 為控制參數(shù)的飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)振動(dòng)系統(tǒng)分岔圖，如圖3 所示。如圖所示，以f 為控制參數(shù)時(shí)，飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)表現(xiàn)出復(fù)雜的非線性振動(dòng)現(xiàn)象，當(dāng)激勵(lì) f 為（0.4～1.11）時(shí)，系統(tǒng)為單周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng) f 增大到（1.11～1.1.68）區(qū)間，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)入兩倍周期與四倍周期交替狀態(tài)；當(dāng)f 大于1.738 時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

表1 系統(tǒng)機(jī)械和電磁主要參數(shù)表Tab.1 System Mechanical and Electromagnetic Main Parameters Table

圖3 控制參數(shù)的系統(tǒng)分岔圖Fig.3 Bifurcation Diagram Using as Control Paemeter

為了更加直觀地分析電動(dòng)機(jī)輸入端激勵(lì)幅值對(duì)飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)穩(wěn)定性影響規(guī)律，采用三組數(shù)值分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，控制參數(shù)分別為f=0.8，f=1.3 和f=1.8，三種不同工況下的時(shí)間響應(yīng)歷程曲線、相軌跡圖、龐加萊圖和幅值譜，如圖4～圖6 所示。圖4 數(shù)值計(jì)算結(jié)果可以看出，當(dāng)f=0.8 時(shí)（激勵(lì)振幅為78N），其時(shí)間歷程曲線為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為單周期運(yùn)動(dòng)；從圖5 數(shù)值計(jì)算結(jié)果可以看出，當(dāng)f=1.3 時(shí)（激勵(lì)振幅為126N），系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為4周期運(yùn)動(dòng)，整機(jī)系統(tǒng)發(fā)生了倍周期分岔，還未發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)；從圖6 數(shù)值計(jì)算結(jié)果可以看出，當(dāng)時(shí)f=1.8（激勵(lì)振幅為175N），進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)域，時(shí)間歷程不具備周期性，相軌跡為一系列的交叉環(huán)形圈，幅值譜圖出現(xiàn)能量集中區(qū)域，龐加萊圖具有多個(gè)孤立點(diǎn)存在，系統(tǒng)進(jìn)入了混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖4 f=0.8 系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)形態(tài)Fig.4 System Chaotic Response for f=0.8

圖5 f=1.3 系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)形態(tài)Fig.5 System Chaotic Response for f=1.3

圖6 f=1.8 系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)形態(tài)Fig.6 System Chaotic Response for f=1.8

ξ=0.81，τ=0.3，η=1，ξ=0，υ=0.6，f=2，F(xiàn)a=0.058，以 λ 為控制參數(shù)的飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)振動(dòng)系統(tǒng)分岔圖，如圖7 所示。如圖所示，以λ為控制參數(shù)時(shí)，飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)表現(xiàn)出復(fù)雜的非線性振動(dòng)現(xiàn)象，當(dāng)激勵(lì) λ 為（0.4～0.686）時(shí)，系統(tǒng)為多周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng) λ 增大到（0.686～1.148）區(qū)間，系統(tǒng)為單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)λ 繼續(xù)增大在（1.148～1.9）區(qū)間，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)進(jìn)入混沌和多周期交替狀態(tài)。同理，為了分析電動(dòng)機(jī)輸入端激勵(lì)頻率對(duì)飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)穩(wěn)定性影響規(guī)律，控制參數(shù)分別為λ=1，λ=1.25 和λ=1.7，得到三種不同工況下的時(shí)間響應(yīng)歷程曲線、相軌跡圖、龐加萊圖和幅值譜。當(dāng)λ=1 時(shí)（激勵(lì)頻率為71.8rad/s），其時(shí)間歷程曲線為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為單周期運(yùn)動(dòng)，未進(jìn)入混沌狀態(tài)，隨著激勵(lì)頻率增大，系統(tǒng)開(kāi)始失去穩(wěn)定性，可能發(fā)生混沌狀態(tài)；當(dāng)λ=1.25 時(shí)（激勵(lì)頻率為89.75rad/s），系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)從混沌狀態(tài)進(jìn)入3 周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，整機(jī)系統(tǒng)發(fā)生了倍周期分岔，隨著激勵(lì)頻率增大再次進(jìn)入混沌狀態(tài)，然后由混沌狀態(tài)進(jìn)入2 周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)λ=1.7 時(shí)（激勵(lì)頻率為122.06rad/s），系統(tǒng)由2 周期運(yùn)動(dòng)區(qū)域進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)域，時(shí)間歷程不具備周期性，相軌跡為一系列的交叉環(huán)形圈，幅值譜圖出現(xiàn)能量集中區(qū)域，龐加萊圖具有多個(gè)孤立點(diǎn)存在，系統(tǒng)發(fā)生了混沌運(yùn)動(dòng)。

圖7 控制參數(shù)的系統(tǒng)分岔圖Fig.7 Bifurcation Diagram Using as Control Paemeter

5 結(jié)論

基于Lagrange-Maxwell 理論建立了飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)方程，采用Runge-Kutta 法探究飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)在電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)瞬間輸入端激勵(lì)作用下的非線性耦合特性，仿真結(jié)果表明：（1）磁軸承飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)中存在豐富的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，輸入端激勵(lì)的幅值與頻率對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有較大影響，在外部激勵(lì)作用下，飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)存在單周期運(yùn)動(dòng)、倍周期運(yùn)動(dòng)以及混沌運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，具有明顯的非線性特性。（2）當(dāng)電動(dòng)機(jī)輸入端激勵(lì)幅值較小時(shí)，飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)為單周期運(yùn)動(dòng)，整機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)穩(wěn)定，隨著電機(jī)輸入端幅值的持續(xù)增大，飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)由單周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)入倍周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)幅值大于1.738 時(shí)（激勵(lì)振幅f 大于169.46N），系統(tǒng)開(kāi)始失去穩(wěn)定性，進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。（3）隨著電動(dòng)機(jī)輸入端激勵(lì)頻率的增大，飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)（單周期運(yùn)動(dòng)和倍周期運(yùn)動(dòng)）與混沌運(yùn)動(dòng)交替出現(xiàn)，在此范圍內(nèi)，增大或減小激勵(lì)頻率均有可能破壞非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性，造成飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)失穩(wěn)，因此，系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)應(yīng)盡量避開(kāi)失穩(wěn)區(qū)域，保證系統(tǒng)穩(wěn)定性。