C++中的浮點(diǎn)數(shù)在機(jī)器中的存儲(chǔ)精度問題

智愛娟 劉雅琴 侯鳳云

摘 要： 浮點(diǎn)數(shù)是C++中最基本的數(shù)據(jù)類型，本文討論了浮點(diǎn)數(shù)在機(jī)器內(nèi)存中的存儲(chǔ)情況、浮點(diǎn)數(shù)的顯示以及C++語言編程中使用浮點(diǎn)數(shù)需要注意的幾個(gè)問題。

關(guān)鍵詞： C++;浮點(diǎn)數(shù);存儲(chǔ);顯示;精度

【中圖分類號(hào)】TP31 ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ? ? 【DOI】10.12215/j.issn.1674-3733.2020.37.135

1 引言

C++語言中的浮點(diǎn)數(shù)有float、double和long double三種類型，在使用C++語言編寫程序的過程中，使用最多的是float和double類型的浮點(diǎn)數(shù)。本文以float和double類型的浮點(diǎn)數(shù)為例，說明浮點(diǎn)數(shù)在機(jī)器內(nèi)存中的存儲(chǔ)精度以及在C++語言編程中使用浮點(diǎn)數(shù)時(shí)需要注意的幾個(gè)問題。

2 浮點(diǎn)數(shù)在機(jī)器內(nèi)存中的存儲(chǔ)

C++語言中的float和double類型的浮點(diǎn)數(shù)在機(jī)器內(nèi)存中存儲(chǔ)時(shí)分別按照IEEE754標(biāo)準(zhǔn)中的單精度浮點(diǎn)格式和雙精度浮點(diǎn)格式進(jìn)行的，而long double類型的浮點(diǎn)數(shù)在機(jī)器中存儲(chǔ)時(shí)的格式和長(zhǎng)度則與機(jī)器所采用的微處理器類型有關(guān)。比如，在IA-32和X86-64系統(tǒng)中l(wèi)ong double是按照IEEE754標(biāo)準(zhǔn)中的80位擴(kuò)展雙精度格式進(jìn)行存儲(chǔ)的。

IEEE754標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，單精度浮點(diǎn)數(shù)在機(jī)器中采用32位二進(jìn)制表示，其中1位符號(hào)位，8位階碼，23位尾數(shù)，階碼采用移碼表示（偏置常數(shù)位127），尾數(shù)采用原碼表示（規(guī)格化形式，數(shù)值最高位的“1”隱含，不表示）;雙精度浮點(diǎn)數(shù)在機(jī)器中采用64位表示，其中1位符號(hào)位，11位階碼，52位尾數(shù)，階碼采用移碼表示（偏置常數(shù)位1023），尾數(shù)采用原碼表示（規(guī)格化形式，數(shù)值最高位的“1”隱含，不表示）。

任意浮點(diǎn)數(shù)N均可表示成規(guī)格化形式為：±1.M×2e，對(duì)應(yīng)IEEE754格式如下（小數(shù)點(diǎn)前總是“1”，故可隱含表示）：

如果浮點(diǎn)數(shù)N為正數(shù)，則符號(hào)位S為0;N為負(fù)數(shù)，則符號(hào)位S=1。單精度浮點(diǎn)格式中，階碼E=e+127;雙精度浮點(diǎn)格式中，階碼E=e+1023。

例如，將十進(jìn)制數(shù)1234567890分別賦值給float型變量a和double型變量b，變量a和b的機(jī)器數(shù)分別是多少呢？

十進(jìn)制數(shù)1234567890轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制為：10010011001

01100000001011010010B=1.0010011001011000000010110

10010*230

因?yàn)槭钦龜?shù)，S=0;指數(shù)e=30。

對(duì)于變量a，階碼E=e+127=30+127=157=10011101B;M取小數(shù)點(diǎn)后23位，第24位采用“0舍1入”進(jìn)行舍入處理，M=001 0011 0010 1100 0000 0110。變量a的機(jī)器數(shù)是：0100 1110 1001 0011 0010 1100 0000 0110，用十六進(jìn)制表示為：4E932C06。

對(duì)于變量b，階碼E=e+1023=30+1023=1053=10000011101B;M取52位，M=0010 0110 0101 1000 0000 1010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000。變量b的機(jī)器數(shù)是：0100 0001 1101 0010 0110 0101 1000 0000 1010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000，用十六進(jìn)制表示為：41D26580A0000000。

3 浮點(diǎn)數(shù)的顯示

由于IEEE754單精度浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)M為23位二進(jìn)制表示，雙精度浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)為52位二進(jìn)制表示，再加上1位隱含位“1”，因此單精度浮點(diǎn)數(shù)的都有效二進(jìn)制位為24位，雙精度為53位。而107<224<108，1017<253<1018，故float型浮點(diǎn)數(shù)在機(jī)器上顯示時(shí)最多可顯示8位有效數(shù)字，其中7位為精確值，double型浮點(diǎn)數(shù)則能顯示18位有效數(shù)字，其中17位為精確值。IEEE754浮點(diǎn)數(shù)可以用下式轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)：（-1）S*1.M*2e。

例如，將變量a的機(jī)器數(shù)4E932C06H轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制為：（-1）0*1.001 0011 0010 1100 0000 0110*230=1001001100

101100000001100000000，即十進(jìn)制的1234567936，這個(gè)值比實(shí)際值大46。但是，采用同樣的方法將變量b的機(jī)器數(shù)41D26580A0000000H轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制為1234567890，結(jié)果和實(shí)際值相同。由此可見，double型浮點(diǎn)數(shù)的精度比float型浮點(diǎn)數(shù)的精度高。

4 在C++語言中使用浮點(diǎn)數(shù)應(yīng)該注意的幾個(gè)問題

（1）設(shè)計(jì)浮點(diǎn)數(shù)類型的目的是為了實(shí)現(xiàn)工程計(jì)算和科學(xué)計(jì)算，在工程計(jì)算和科學(xué)計(jì)算中往往沒有完全精確的計(jì)算結(jié)果，需要的是近似值。因此，在要求精確計(jì)算結(jié)果的場(chǎng)合（尤其是應(yīng)用程序中），比如，對(duì)貨幣計(jì)算時(shí)一般不要使用浮點(diǎn)型數(shù)據(jù)，否則，將會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果。

例如：假設(shè)想用十元錢去買價(jià)格不等的游戲幣，游戲幣的標(biāo)價(jià)分別是1元、2元、3元，一直到10元不等。購(gòu)買時(shí)，打算從標(biāo)價(jià)為1元游戲幣開始按照價(jià)格從低到高的順序依次購(gòu)買，每種購(gòu)買一個(gè)，直到所剩的錢不夠支付任何一種游戲幣為止，最后，共可以購(gòu)買多少個(gè)游戲幣呢？還會(huì)剩余多少零錢呢？

采用浮點(diǎn)數(shù)表示錢數(shù)和游戲幣的價(jià)格，用C++語言編寫程序如下：

#include

#include

using namespace std;

int main（ ）

{

int itemsBought = 0;//購(gòu)買游戲幣個(gè)數(shù)

double Price;//游戲幣價(jià)格

double Funds = 10.00;//總錢數(shù)

for （Price =1.00; Funds >= Price; Price +=10.00）

{

Funds -= Price;

itemsBought++;

}

cout< ? ? cout<<"剩余錢數(shù)： "< ? ? }

編譯運(yùn)行程序，得到結(jié)果為：“3個(gè)游戲幣”，“剩余錢數(shù)：4.00元”。很明顯，程序運(yùn)行得到的結(jié)果是錯(cuò)誤的。

解決這個(gè)問題的正確辦法是：在編寫C++程序時(shí)，浮點(diǎn)數(shù)表示錢數(shù)和游戲幣的價(jià)格。

使用int類型代替double類型修改上面的程序如下：

#include

using namespace std;

int main（ ）

{

int itemsBought = 0;//購(gòu)買游戲幣個(gè)數(shù)

int Price;//游戲幣價(jià)格

int Funds = 100;//總錢數(shù)

for （Price = 10; Funds >= Price; Price += 10）

{

Funds -= Price;

itemsBought++;

}

cout< ? ? cout<<"剩余錢數(shù)："< ? ? }

重新編譯運(yùn)行程序，輸出結(jié)果：“4個(gè)游戲幣”和“剩余錢數(shù)：0元”。顯然，程序執(zhí)行結(jié)果正確。

（2）在程序中不要用浮點(diǎn)型數(shù)據(jù)作為循環(huán)變量

例如，編寫程序：從0開始按照逐次遞增0.2輸出一直到10。在程序中用float型作為循環(huán)變量，用C++編程如下：

#include

using namespace std;

main（int argc，char *argv）

{

float i;

for（i=0;i<10;i+=.2）

printf（"%10f"，i）;

return 0;

}

編譯運(yùn)行程序，得到的輸出結(jié)果如下：

顯然，程序輸出結(jié)果是錯(cuò)誤的。

解決問題的方法是：先將數(shù)據(jù)起始值、終止值和遞增量都擴(kuò)大10倍變成整數(shù)，輸出前將結(jié)果再縮小10倍。重新編寫程序如下：

#include

using namespace std;

main（int argc，char *argv）

{

int i，a，b;

for（i=0;i<=50;i=i+2）

{

a=i/10;

b=i%10;

cout< ? ? }

return 0;

}

重新編譯運(yùn)行程序，結(jié)果如下：

顯然，程序輸出是正確的。

（3）不要在程序中判斷浮點(diǎn)數(shù)是否相等

例如，判斷數(shù)據(jù)99.6345489和99.6345481的大小，編程如下：

#include

using namespace std;

int main（void）

{

float m = 99.6345489;

float n = 99.6345481;

if（m ? ? cout<<"m ? ? else if（m==n）

cout<<"m==n"< ? ? else

cout<<"m>n"< ? ? return 0;

}

閱讀分析上述程序，程序結(jié)果應(yīng)該“m>n”，但是程序執(zhí)行結(jié)果卻是“m ==n”。結(jié)果出錯(cuò)的原因就是浮點(diǎn)數(shù)無法表示非常精確的結(jié)果。如程序中的float型變量m和n只能有8位有效數(shù)字，是無法區(qū)分出末位的9和1。在內(nèi)存中，m和n的二進(jìn)制數(shù)都是0x419F0329。

5 結(jié)束語

本文對(duì)C++程序中浮點(diǎn)數(shù)的使用作了簡(jiǎn)單探討，為了編寫出安全、有效的代碼，建議在用高級(jí)語言編寫實(shí)際應(yīng)用項(xiàng)目程序時(shí)盡量避免使用浮點(diǎn)型數(shù)據(jù)。

參考文獻(xiàn)

[1] 丁展.C/C++程序設(shè)計(jì)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2018.

[2] 比雅尼.C++程序設(shè)計(jì)語言[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2002.

[3] 袁春風(fēng).計(jì)算機(jī)系統(tǒng)基礎(chǔ)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2014.

[4] 唐朔飛.計(jì)算機(jī)組成原理[M].北京：高等教育出版社，2008.

[5] 李繼燦.新編16/32位微型計(jì)算機(jī)原理及應(yīng)用.北京：清華大學(xué)出版社，2018.