基于3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的越野救護(hù)車車載平衡裝置運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

徐鴻佳，牛 福，孟令帥，孫景工

（軍事科學(xué)院系統(tǒng)工程研究院，北京 100166）

0 引言

越野救護(hù)車輛在復(fù)雜惡劣的環(huán)境下行駛時(shí)外界環(huán)境的激勵(lì)會(huì)通過(guò)輪胎、汽車懸架傳至車廂，車廂內(nèi)的醫(yī)療物資和儀器設(shè)備會(huì)受到嚴(yán)重影響，發(fā)生振動(dòng)、偏轉(zhuǎn)失去穩(wěn)定，在使用時(shí)難以保證其安全性和可靠性[1-2]。儀器設(shè)備多以電子設(shè)備為主，而在設(shè)備失效原因的分析中，有27%的故障是由振動(dòng)和沖擊引起的[3]。最初的控制方法有降低輪胎氣壓或調(diào)整車輛懸架系統(tǒng)剛度等，但設(shè)計(jì)難度大、成本高，對(duì)車輛的性能有一定影響[4]。而在車廂內(nèi)設(shè)計(jì)平衡裝置則可以在保證汽車其他性能的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)振動(dòng)和平衡的有效控制，此方法成本低、周期短、設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)緊湊、承載能力大、運(yùn)動(dòng)精度高[5-6]，可有效控制振動(dòng)和平衡，是設(shè)計(jì)平衡裝置的常用結(jié)構(gòu)。典型的并聯(lián)機(jī)構(gòu)Stewart平臺(tái)可以對(duì)6個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行有效控制，常用于運(yùn)動(dòng)模擬器和微操作器等領(lǐng)域[7-8]。與之相比，少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具備支鏈少、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、靈巧度高、控制易實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)，可以根據(jù)實(shí)際控制需求來(lái)選擇合適的運(yùn)動(dòng)副和支鏈數(shù)，是今后并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究的焦點(diǎn)[9]。Hunt于1983年提出了3-RPS少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，由動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)和3根移動(dòng)副桿件（P）組成，定平臺(tái)與桿件以轉(zhuǎn)動(dòng)副（R）連接，動(dòng)平臺(tái)與桿件以球面副（S）連接，可實(shí)現(xiàn)2轉(zhuǎn)動(dòng)1平動(dòng)的三自由度運(yùn)動(dòng)輸出，具有結(jié)構(gòu)緊湊、對(duì)稱性好、可控性好等優(yōu)點(diǎn)[10]。燕碧娟等[11]對(duì) PRR+2-PSS、3-SPS+PU 與3-RPS 3種具有“一平兩轉(zhuǎn)”自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了比較，分析出3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有支鏈數(shù)、獨(dú)立方程數(shù)、耦合度較少，結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)。賈俊國(guó)等[12]將3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用于電動(dòng)汽車自動(dòng)充電系統(tǒng)中充電弓的姿態(tài)自調(diào)整，為本文提供了借鑒意義。

考慮到醫(yī)療物資和儀器設(shè)備在車輛行進(jìn)時(shí)主要受到豎直方向位移激勵(lì)以及前進(jìn)方向上的俯仰和側(cè)傾旋轉(zhuǎn)激勵(lì)，可以3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)平衡裝置對(duì)所受激勵(lì)進(jìn)行控制。本文以某輕型越野救護(hù)車為應(yīng)用背景，對(duì)平衡裝置進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，通過(guò)歐拉角數(shù)值法求平衡裝置的位置反解，運(yùn)用矢量構(gòu)造法構(gòu)建動(dòng)平臺(tái)位姿參數(shù)與驅(qū)動(dòng)桿輸入之間映射關(guān)系的雅可比矩陣，最后以雅可比矩陣為基礎(chǔ)分析裝置的靈巧度和奇異性。

1 3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度分析

根據(jù)裝置構(gòu)件與運(yùn)動(dòng)副的相關(guān)參數(shù)，由改進(jìn)的K-G公式計(jì)算出3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)F=3。設(shè)定3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)皆為圓形，轉(zhuǎn)動(dòng)副到定平臺(tái)中心的距離和球面副到動(dòng)平臺(tái)中心的距離分別為d、r，在定平臺(tái)中心建立世界固定坐標(biāo)系O-XYZ，在動(dòng)平臺(tái)中心建立局部動(dòng)坐標(biāo)系Q-xyz，如圖1所示。

圖1 基于3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的車載平衡裝置

定義旋轉(zhuǎn)副在固定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)和球面副在動(dòng)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別為（R1，R2，R3）、（S1，S2，S3），將動(dòng)平臺(tái)中心Q點(diǎn)在世界固定坐標(biāo)系O-XYZ中的坐標(biāo)記為Q（XQ，YQ，ZQ）。采用z-y-x歐拉角變換，將固定坐標(biāo)系繞Z軸旋轉(zhuǎn)α、繞Y軸旋轉(zhuǎn)β、繞X軸旋轉(zhuǎn)γ，再將原點(diǎn)平移到Q點(diǎn)，得到局部動(dòng)坐標(biāo)上的點(diǎn)到定平臺(tái)世界固定坐標(biāo)系的位姿變換矩陣T：

根據(jù)位姿變換矩陣將動(dòng)坐標(biāo)系下球面副的中心Si的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為固定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)QSi，具體如下：

由于轉(zhuǎn)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)限制，驅(qū)動(dòng)桿只能在轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線的法平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)平臺(tái)球面副的中心Si的運(yùn)動(dòng)軌跡分別在個(gè)平面內(nèi)，將球面副中心坐標(biāo)QSi分別帶入對(duì)應(yīng)的軌跡約束方程化簡(jiǎn)消元得

可知?jiǎng)悠脚_(tái)的6個(gè)位姿參數(shù)中，XQ、YQ、α參數(shù)不獨(dú)立，3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)擁有的3個(gè)自由度分別為ZQ、β、γ，即Z軸方向上的移動(dòng)、繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)和繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)，可以滿足對(duì)于醫(yī)療物資和儀器設(shè)備在車輛行進(jìn)時(shí)受到豎直方向位移激勵(lì)以及前進(jìn)方向上的俯仰和側(cè)傾旋轉(zhuǎn)激勵(lì)的控制要求。

2 裝置機(jī)構(gòu)位置反解

采用歐拉角數(shù)值法求3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置反解[13]。對(duì)于給定的動(dòng)平臺(tái)位姿，驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)可等效為定平臺(tái)上的轉(zhuǎn)動(dòng)副中心與對(duì)應(yīng)球面副中心的距離。由球面副歐拉角變換后在固定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)可知，桿長(zhǎng)Li為

式中，QSix、QSiy、QSiz、Rix、Riy、Riz分別表示球面副中心Si和轉(zhuǎn)動(dòng)副中心Ri在固定坐標(biāo)系下的X、Y、Z坐標(biāo)。則3個(gè)移動(dòng)副驅(qū)動(dòng)桿的長(zhǎng)度可表示為

式中，lix、liy、liz分別為第i根桿桿長(zhǎng)在X、Y、Z軸的分量。因此給定動(dòng)平臺(tái)位姿參數(shù)，即可求得桿長(zhǎng)。

3 裝置雅可比矩陣的構(gòu)建

由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)本身精度與機(jī)構(gòu)傳動(dòng)效率的關(guān)系，驅(qū)動(dòng)桿件的輸入速度與末端動(dòng)平臺(tái)的輸出速度之間存在一定的偏差，它們之間的映射關(guān)系即為雅可比矩陣[14]。并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解困難，而位置反解形式簡(jiǎn)單，故以反解矩陣方程為基礎(chǔ)獲取從動(dòng)平臺(tái)位姿參數(shù)到驅(qū)動(dòng)桿速度的映射關(guān)系更容易。根據(jù)矢量構(gòu)造法原理，各移動(dòng)副驅(qū)動(dòng)桿Pi的輸入速度vi為球面副中心的速度VS在驅(qū)動(dòng)桿方向上的分量，VS包括動(dòng)平臺(tái)的中心移動(dòng)速度V和角速度ω，則輸入速度vi為

式中，r為球面副到動(dòng)平臺(tái)中心的距離；為移動(dòng)副P(pán)i的方向向量。記即動(dòng)平臺(tái)輸出位姿參數(shù)到驅(qū)動(dòng)桿輸入?yún)?shù)間的雅可比矩陣，也就是傳統(tǒng)意義雅可比矩陣的逆矩陣?？紤]到3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)只有ZQ、β和γ，雅可比矩陣中只保留對(duì)應(yīng)的3列即可：

4 裝置靈巧度與奇異性分析

靈巧度和奇異性可以反映動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)性能以及裝置在受外界激勵(lì)時(shí)的調(diào)控能力。其中，靈巧度可以反映輸入與輸出的映射關(guān)系，判斷機(jī)構(gòu)的失真情況，為控制輸入?yún)?shù)提供參考；奇異性則反映裝置在移動(dòng)副桿長(zhǎng)發(fā)生變化時(shí)動(dòng)平臺(tái)是否可以連續(xù)穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)。較高的靈巧度和較低的奇異性可以使裝置后續(xù)的控制研究中獲得更精確的力學(xué)模型和誤差與補(bǔ)償模型，提高隔振平衡效果。

4.1 裝置靈巧度分析

由雅可比矩陣的基本形式可知輸入、輸出速度相對(duì)偏差的范數(shù)關(guān)系式為

式中，ΔV與Δv分別為輸出與輸入的速度偏差。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靈巧度能夠反映機(jī)構(gòu)在某一位姿下的力與運(yùn)動(dòng)的傳遞能力，以F范數(shù)的雅可比矩陣條件數(shù)作為靈巧度的評(píng)價(jià)指標(biāo)，計(jì)算式為

根據(jù)條件數(shù)的計(jì)算式，分別分析裝置的3個(gè)自由度ZQ、β和γ對(duì)于條件數(shù)的影響。設(shè)定定平臺(tái)半徑d=20 cm、動(dòng)平臺(tái)半徑r=40 cm，移動(dòng)副驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)變化為35 cm≤Li≤60 cm，球面副的擺角范圍φ≤40°。首先分析ZQ對(duì)于靈巧度的影響：取γ、β在±15°內(nèi)變化，選取不同的ZQ，以桿長(zhǎng)和球面副擺角約束位姿，得到C（J）的分布規(guī)律曲面如圖2所示。

由圖2曲面的分布規(guī)律可知，隨著ZQ值增大，雅可比矩陣條件數(shù)逐漸減小，機(jī)構(gòu)的靈巧度逐步提高，條件數(shù)數(shù)值整體在14～21；在邊界條件附近條件數(shù)變化更劇烈，而在平衡位置附近變化平緩，在±5°范圍內(nèi)條件數(shù)基本穩(wěn)定；在高度為40和45 cm時(shí)，最小條件數(shù)出現(xiàn)在平衡位置附近，而當(dāng)高度為50 cm時(shí)，條件數(shù)曲面呈馬鞍型，變化不夠穩(wěn)定?？傮w上機(jī)構(gòu)的條件數(shù)數(shù)值都比較低，靈巧度較高。

其次分析β與靈巧度分布的關(guān)系：取γ=0°，ZQ的變化范圍為40 cm≤ZQ≤50 cm，β分別取值-10°、-5°、0°、5°、10°，仿真結(jié)果如圖 3 所示。

最后分析γ與靈巧度分布的關(guān)系：取β=0°，ZQ的變化范圍為40 cm≤ZQ≤50 cm，繞X軸轉(zhuǎn)角γ分別取值-10°、-5°、0°、5°、10°，仿真結(jié)果如圖 4 所示。

從圖3、4可以看出，隨著動(dòng)平臺(tái)豎直坐標(biāo)ZQ的增大，雅可比矩陣條件數(shù)近似線性減小，機(jī)構(gòu)的靈巧度逐漸增大；γ和β對(duì)于條件數(shù)的影響效果近似相同；隨著轉(zhuǎn)角的減小，條件數(shù)也逐漸減小，在0°時(shí)達(dá)到最小值。綜合3個(gè)變量對(duì)于動(dòng)平臺(tái)雅可比矩陣條件數(shù)的影響，動(dòng)平臺(tái)在邊界限制條件附近靈巧度變化更劇烈；隨著動(dòng)平臺(tái)高度ZQ的升高，整體的條件數(shù)逐漸變小。

圖2 不同Z值的靈巧度分布規(guī)律

圖3 不同β值的靈巧度分布規(guī)律

4.2 裝置奇異性分析

當(dāng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有奇異性時(shí)，輸入、輸出的傳遞關(guān)系失真，機(jī)構(gòu)處于死點(diǎn)，失去穩(wěn)定，根據(jù)雅可比矩陣法分析裝置的奇異性，當(dāng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣行列式det（J）=0時(shí)，裝置處于奇異位置[15]。

依據(jù)矢量構(gòu)造法獲得的3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)雅可比逆矩陣，用軟件分析計(jì)算矩陣的行列式det（J），編程解析后發(fā)現(xiàn)其取不到0或者無(wú)窮大的值，對(duì)于動(dòng)平臺(tái)的某一特定位姿，通過(guò)機(jī)構(gòu)位置反解方程可以解出唯一解，且當(dāng)3個(gè)移動(dòng)副的桿長(zhǎng)發(fā)生變化時(shí)，動(dòng)平臺(tái)能夠連續(xù)穩(wěn)定地運(yùn)動(dòng)。對(duì)于本文設(shè)計(jì)的裝置可以認(rèn)為在動(dòng)平臺(tái)偏轉(zhuǎn)角度較小時(shí)，機(jī)構(gòu)幾乎不會(huì)處于奇異位置，裝置運(yùn)行安全可靠。但在實(shí)際設(shè)計(jì)和應(yīng)用中，需要根據(jù)安裝條件和尺寸情況進(jìn)行進(jìn)一步分析。

圖4 不同γ值的靈巧度分布規(guī)律

5 結(jié)語(yǔ)

本文基于某輕型越野救護(hù)車車載醫(yī)療物資和儀器設(shè)備在運(yùn)輸過(guò)程中主要受到的豎直方向位移激勵(lì)以及前進(jìn)方向上的俯仰和側(cè)傾旋轉(zhuǎn)激勵(lì)，提出以3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為平衡裝置，分析出動(dòng)平臺(tái)擁有ZQ、β、γ 3個(gè)自由度，即Z軸方向上的移動(dòng)、繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)和繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)，符合控制需求。同時(shí)依據(jù)裝置的位置反解方程構(gòu)建雅可比矩陣，分析了裝置的靈巧度和奇異性。當(dāng)45 cm≤ZQ≤50 cm、γ和β在±5°內(nèi)變化時(shí)，雅可比矩陣條件數(shù)小，3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)在Z軸方向上的位移和繞X、Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)有良好的輸出能力，結(jié)構(gòu)靈巧度高，在理論上沒(méi)有奇異性，可以作為車載醫(yī)療物資和儀器設(shè)備的平衡裝置。

本研究為后續(xù)3個(gè)自由度隔振平衡的控制研究提供了理論基礎(chǔ)，應(yīng)用場(chǎng)景可以延伸到人體在船舶、飛機(jī)等環(huán)境下的平衡控制研究。由于本文對(duì)于仿真的參數(shù)設(shè)置和步長(zhǎng)劃分不夠細(xì)致，也未涉及到裝置的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)與安裝方式等因素對(duì)于靈巧度和奇異性的影響，研究結(jié)果仍具有一定局限性，后續(xù)可在這些方面深入研究。