基于四元數(shù)的三維坐標轉(zhuǎn)換在大型LNG鋼結(jié)構(gòu)工程建造測量中的應(yīng)用

葛仁磊，李家軍，楊現(xiàn)陽，張 健

(海洋石油工程股份有限公司，青島 266520)

0 引 言

在高精度大型工程測量中，建造坐標系往往基于自身的局部參考坐標系，與設(shè)計安裝坐標系不統(tǒng)一，會影響工程建造質(zhì)量和進度[1-2]，需要進行三維坐標轉(zhuǎn)換實現(xiàn)建造坐標系和安裝坐標系的統(tǒng)一。傳統(tǒng)的三維坐標轉(zhuǎn)換模型一般用歐拉角構(gòu)建旋轉(zhuǎn)矩陣，計算過程復(fù)雜[3-5]，四元數(shù)幾何意義明確，計算速度快，可表示所有旋轉(zhuǎn)，無奇異值[6]，非常適合空間大角度三維坐標轉(zhuǎn)換計算。本文基于單位四元數(shù)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣，引入最小二乘原則，實現(xiàn)了高精度大型LNG鋼結(jié)構(gòu)甲板片建造坐標系與安裝坐標系的統(tǒng)一。與傳統(tǒng)計算方法相比，該方法可快速實現(xiàn)三維坐標高精度轉(zhuǎn)換，提高工程建造速度和精度。

1 四元數(shù)基本介紹

三維空間的旋轉(zhuǎn)用四元數(shù)可表示為[7]

q=w+xi+yj+zk

(1)

其中：

(2)

四元數(shù)旋轉(zhuǎn)公式為

(3)

2 基于四元數(shù)的最小二乘坐標轉(zhuǎn)換

點Fi和Di的坐標關(guān)系可由旋轉(zhuǎn)矩陣R和位移矢量T表示：

(4)

利用四元數(shù)法可以方便地求解出旋轉(zhuǎn)矩陣R，根據(jù)式(3)，令

w2+x2+y2+z2=1

(5)

將式(5)代入式(3)并整理，得

(6)

w、x、y、z除了滿足限制條件式(5)外，將式(6)代入式(4)，得到誤差方程：

即

(7)

式(6)中共有w、x、y、z、Tx、Tx、Tx7個參數(shù)，且有一個限制條件：w2+x2+y2+z2=1，w≥0。本文使用基于最小二乘的條件平差進行解算，由于誤差方程(7)并不是線性函數(shù)模型，需要對函數(shù)模型進行線性化后迭代解算，初始值的先驗估計可使用任意三點進行。

3 實例應(yīng)用及分析

本文以海洋石油工程股份有限公司在建某大型高精度LNG鋼結(jié)構(gòu)甲板片建造為例，該甲板片結(jié)構(gòu)模型及設(shè)計坐標如圖1所示，尺寸為32 m×40 m，結(jié)構(gòu)軸線為4 m×5 m，共20個關(guān)鍵節(jié)點，各節(jié)點坐標公差要求為±5 mm。施工現(xiàn)場測量數(shù)據(jù)利用徠卡TS30全站儀，采用自由定向測量獲取，測量點分布如圖2所示，各點坐標值和對應(yīng)信息如表1所示。

表1 L1-1測量點及理論點坐標 (單位：mm)

圖2 測量點分布

圖1 甲板片結(jié)構(gòu)模型及設(shè)計坐標(單位:mm)

各理論點坐標為圖紙設(shè)計坐標，測量點坐標由于采取自由定向測量，導(dǎo)致理論點坐標與測量點坐標之間產(chǎn)生空間旋轉(zhuǎn)，但各測量點與理論點空間上保持一一對應(yīng)。

3.1 數(shù)據(jù)計算

3.1.1 傳統(tǒng)方法計算

傳統(tǒng)計算方法：先計算甲板片水平，再進行水平面投影，以甲板片四條邊的中心點為原點建立基于自身的局部參考坐標系，計算各節(jié)點偏移。該方法使用條件：需將甲板片水平調(diào)至公差范圍內(nèi)，否則會導(dǎo)致尺寸、偏移數(shù)據(jù)因投影計算而失真。

計算結(jié)果如圖3所示，甲板片水平值為-63～+62 mm。除C2和D1節(jié)點外，皆不符合公差要求，各節(jié)點偏移數(shù)據(jù)中有4個節(jié)點Y方向偏移值超出公差要求。按照此計算方法，該甲板片需要調(diào)整為水平狀態(tài)，重新采集數(shù)據(jù)進行計算，但甲板片尺寸巨大，噸位重，施工調(diào)整水平存在較大困難，須耗費大量時間和人力物力，易引起結(jié)構(gòu)變形等質(zhì)量問題和施工進度。

圖3 傳統(tǒng)方法甲板片計算結(jié)果(單位：mm)

3.1.2 基于四元數(shù)的最小二乘坐標轉(zhuǎn)換計算

首先，基于最小二乘原則進行七參數(shù)的迭代計算，可以按照如下步驟進行：

(1) 將誤差方程(7)線性化(具體方法見參考文獻[9])。

(2) 進行初始值估計(任意選擇三個點，在本例中使用1、2、3號點進行初始值估計)。

(3) 將初始值代入步驟(1)中線性化后的誤差方程，并求得七參數(shù)據(jù)的變化值Δ。

(4) 將初始值與Δ相加，求得最新初始值。

(5) 重復(fù)步驟(3)和(4)，直至Δ的值很小，達到旋轉(zhuǎn)精度。

計算結(jié)果如表2所示，由表2可知，經(jīng)過六次迭代計算后，各參數(shù)的精度可達到亞毫米級，已經(jīng)超過全站儀的測量精度，滿足計算要求。

表2 七參數(shù)計算結(jié)果

將得到的七參數(shù)進行甲板片各節(jié)點數(shù)據(jù)擬合計算，結(jié)果如圖4所示，可知各節(jié)點水平值為-3～+4 mm，滿足公差要求，各節(jié)點偏移值皆在5 mm以內(nèi)，滿足公差要求。

3.2 數(shù)據(jù)對比分析

將圖3和圖4的數(shù)據(jù)進行對比計算，如表3所示。

圖4 計算結(jié)果(單位：mm)

表3 傳統(tǒng)方法與四元數(shù)法精度對比

由表3可知，采用基于四元數(shù)最佳擬合后的數(shù)據(jù)皆符合公差要求，并且X方向、Y方向和水平值的平均值和均方根值皆大幅降低。原因是采用四元數(shù)方法計算時，能夠擬合最佳平面，避免了水平調(diào)整的巨大工作量，并且該方法以安裝坐標系為基準，將擬合誤差均勻分配至各點，克服了局部坐標系與甲板片安裝坐標系不一致問題，提高擬合計算精度。

為了充分驗證基于四元數(shù)最佳擬合算法的正確性，總裝階段針對實驗?zāi)K進行了充分的調(diào)整，最終結(jié)果如圖5所示，與四元數(shù)最佳擬合得到的結(jié)果(見圖4)高度一致，充分說明了該算法的正確性與可用性。

4 結(jié) 語

四元數(shù)法是一種非常簡潔有效的描述物體轉(zhuǎn)動的工具，幾何意義明確、計算簡單、擬合精度高，是高精度大型工程測量數(shù)據(jù)計算中最常用的擬合方法之一。本文基于四元數(shù)的最佳擬合法，實現(xiàn)了甲板片各節(jié)點施工坐標系和安裝坐標系之間的統(tǒng)一。與傳統(tǒng)計算方法相比，將誤差均勻分配至各擬合點，基于四元數(shù)的最佳擬合法可大大提高工程施工建造的進度和精度，提高工程測量數(shù)據(jù)處理的自動化程度，對提高數(shù)據(jù)的可靠性與規(guī)范性、最佳擬合法的編程實現(xiàn)及工程應(yīng)用都具有很好的指導(dǎo)意義。