建模思想在中考數(shù)學復習中的應用實踐

現(xiàn)如今，建模的利用率越來越高，建模為初中教師的數(shù)學教學以及學生的學習帶來了很大的幫助，其不僅是一種解決問題的基本方法，更是學生解決問題時必不可少的根本思想。

一、方程(組)模型

簡單來講，這一模型是應用方程(組)模型，對生活中存在的數(shù)量關系進行分析。筆者意在通過一個例題，詳細描述建模思想在方程復習中的應用。

例1：現(xiàn)有一店鋪銷售一種合金，用A、B兩種金屬按一定的質(zhì)量比混合成合金。已知A、B兩種金屬每千克的價格比是3∶4。實際制造時，A金屬少用了20%，B金屬多用了20%，結(jié)果合金的價格與原計劃的價格相同。原來兩種金屬的質(zhì)量比是多少？

第一步：教師通過提問引導學生分析題意。師：“合金價格如何表示？”生：“A的單價×A的質(zhì)量+B的單價×B的質(zhì)量?！睅煟骸耙硎竞辖饘嶋H價格和原計劃的價格，我們需要知道什么？”生：“A、B的單價，A、B實際生產(chǎn)和原計劃的質(zhì)量?！睅煟骸澳銣蕚淙绾卧O數(shù)？”生：“A、B兩種金屬每千克的價格比是3∶4，設A金屬每千克的價格是3，則B金屬每千克的價格是4。”

第二步：學生自我嘗試，學生嘗試設數(shù)，發(fā)現(xiàn)結(jié)果兩邊不成立。師：“我們需要求兩種金屬的質(zhì)量比，不知道比的情況下，設數(shù)就會出現(xiàn)題干中的等量關系不存在，為了避免這個問題，我們可以通過設未知數(shù)來避免這個問題，但是利用未知數(shù)解題必須先建立方程的模型?！?/p>

第三步：建立模型：A金屬的單價×A金屬的質(zhì)量+B金屬的單價×B金屬的質(zhì)量=A金屬的單價×A金屬的質(zhì)量(1-20%)+B金屬的單價×B金屬的質(zhì)量(1+20%)。

第四步：模型求解：設A金屬的單價為3，B金屬的單價為4；原計劃中A金屬的質(zhì)量為x，B金屬的質(zhì)量為y。根據(jù)題意得3x+4y=3×(1-20%)x+4×(1+20%)y，3x+4y=2.4x+4.8y，0.6x=0.8y，x∶y=0.8∶0.6=4∶3，答：原來兩種金屬的質(zhì)量比是4∶3。需要注意的是，在選擇建模思想進行數(shù)學問題教學時，應保持難易適中的原則，并且將合理、創(chuàng)新、真實以及有效作為基礎，從學生實際出發(fā)，如此才能達到真正的效果。

二、不等式(組)模型

數(shù)量間的不等關系在日常生活中較為常見，筆者通過以下例題將建模思想在不等式組中的應用進行詳細說明。

例2：一工廠有50名員工，工廠想要添加幾條生產(chǎn)線，需要在這50 名員工中抽取，在抽取分工后，余下的員工要求每月人均增加40%的產(chǎn)值；而被抽取的員工每月人均產(chǎn)值需要變?yōu)橐酝?倍，若余下的員工每月生產(chǎn)的總產(chǎn)值不低于分工前總產(chǎn)值，同時抽取的員工每月生產(chǎn)的總產(chǎn)值又不低于分工前每月生產(chǎn)總產(chǎn)值的一半，那么想要滿足這一情況，抽取人數(shù)需在什么范圍？

1.教師通過提問引導學生分析題意。師：“同學們，你們從題目中得到了哪些信息？”師：“剛才有好多同學都回答了自己找到的信息，我們也能看出此題涉及的量多，并且未知的量也較多，面對這么多未知數(shù)，我們首先應該怎么處理題目呢？”2.學生整理題目數(shù)據(jù)并建立數(shù)學模型。生：“我們需要將題目中的數(shù)據(jù)和信息進行整理?！苯?jīng)過整理我們可以得到：分工后，留在原生產(chǎn)線上工作的員工每月的總產(chǎn)值是：留在原生產(chǎn)線上的人數(shù)×分工前員工每月的人均產(chǎn)值×(1+40%)≥50人×分工前員工每月的人均產(chǎn)值，到新生產(chǎn)線上工作的員工每月的總產(chǎn)值是：新生產(chǎn)線上的人數(shù)×新生產(chǎn)線上員工每月的人均產(chǎn)值≥50人×分工前員工每月的人均產(chǎn)值。3.模型求解。設被抽調(diào)到新生產(chǎn)線上的有x人，分工前員工每月的人均產(chǎn)值為y元。

利用數(shù)學建模思想解決初中數(shù)學不等式問題，重在抽象概括、分析量之間的關系。這種解題思想能夠很好地培養(yǎng)學生應用數(shù)學解決實際問題的意識和提高學生分析問題的能力。

三、幾何模型

在日常生活中的諸多方面都能涉及到幾何，如圖形設計、結(jié)構(gòu)設計、測量等，筆者將通過以下例題詳細描述如何利用建模思想構(gòu)建幾何模型。

例3：如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，且相交于點O。求證：AC=AE+CD。

第一步：教師通過提問引導學生分析題意。師：“通過仔細審題，題中只是告訴我們一些與角有關的條件，那么我們應怎樣求線段的和呢？”師：“截長法即在較長線段上截取一段等于兩條較短線段中的一條，再證剩下的一段等于另一條較短線段；所謂補短，即把兩條短線段補成一條線段，再證這條線段與長線段相等?！睅煟骸盎貞浟诉@種方法，那么對于這道題目，是采用截長還是補短呢？”

第二步：學生分組討論，提示學生可以參考思維導引。

第三步：建立模型。生1：“利用截長法來做，在AC上截取AF=AE，連接OF，證明CD=CF?！鄙?：“利用截長法來做，在AC上截取CD=CF，連接OF，證明AF=AE。”

第四步：總結(jié)建立構(gòu)造全等模型的常用方法——添加輔助線。(1)在求線段的和差關系時，會采用“截長補短法”。(2)倍長中線：①已知三角形中線時，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形；②有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。

倍長中線造“8”字形，出全等有平行。

(3)遇見角平分線經(jīng)常做輔助線的方法。

根據(jù)對稱的思想，構(gòu)造全等三角形。

四、函數(shù)模型

通過函數(shù)能夠展現(xiàn)出事物間存在的關聯(lián)，其能夠很好地將現(xiàn)實存在的運動規(guī)律及數(shù)量關系體現(xiàn)出來。筆者通過以下例題將建模思想在二次函數(shù)中的應用進行詳細說明。

例4：藥店一瓶酒精(大瓶)的進價為40 元，經(jīng)過藥店老板的調(diào)查，該酒精一周的銷售量y瓶與銷售單價x(x≥50)元/件，其存在以下關系：銷售單價x(元/瓶)為55、60、70、75；對應一周的銷售量y(瓶)為：450、400、300、250。

(1)T表示一周所得到的銷售利潤，列出T與x兩者間存在的關系式，同時確定銷售單價在哪一范圍內(nèi)變化時，銷售單價增大銷售利潤也會隨之增大？

(2)武漢新冠肺炎事件得到億萬人民的關注，該藥店決定向武漢寄出商品一周所獲取到的銷售利潤，低于一萬元的酒精貸款下，計算出會有多少的捐款數(shù)額？

第一步：建立模型。(1)由銷售量×(售價-進價)=利潤，進而得到函數(shù)關系式，最終確定出銷售單價的合理范圍；(2)通過得知酒精貸款在一萬元以下，得出實際進貨量，最終通過計算出最大銷售額。

第二步：進行模型求解。首先，設y=kx+b，由題得：55k+b=450以及60k+b=400，解得：k=-10，b=1000；則y=-10x+1000；由題得S=(x-40)(-10x+1000)=-10(x-70)2+9000，因此可以得到：此函數(shù)圖形對稱軸為70，并且開口向下。這表示，當50≤x≤70時，銷售單價增大時，銷售利潤也會增大。其次，通過40(-10x+1000)≤10000 式子得出，在x≥75時，也就是x為75時，利潤為8750元，此時利潤最大。

總之，在初中數(shù)學教學環(huán)節(jié)中，教師應與實際問題相結(jié)合，逐漸引導學生通過二次函數(shù)知識組建數(shù)學模型，從而輕松愉快地解決數(shù)學問題。