不同邊界條件下管翅式換熱器流動(dòng)與傳熱性能的POD分析

王燁，孫振東，王瑞君，魯紅鈺，常悅

（1 蘭州交通大學(xué)環(huán)境與市政工程學(xué)院，甘肅蘭州730070； 2 鐵道車輛熱工教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅蘭州730070）

引 言

對(duì)換熱器流動(dòng)傳熱規(guī)律的研究中，通常有實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算兩種方法[1-4]。傳統(tǒng)的數(shù)值方法計(jì)算量大、耗時(shí)長(zhǎng)，難以適應(yīng)實(shí)際研發(fā)的需要。本征正交分解(POD)低階模型作為一種快速算法，近年來得到了廣泛關(guān)注，也越來越多地被用于各種工程計(jì)算中，如翼型優(yōu)化設(shè)計(jì)[5]、湍流減阻流動(dòng)[6]、油氣儲(chǔ)運(yùn)[7-10]、氣體流動(dòng)[11-13]、黏彈性問題[14]、拋物形方程的降階[15]、原油加熱管道熱模擬[16-18]、海上風(fēng)力發(fā)電塔風(fēng)速模擬研究[19]、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型模擬[20-22]、速度場(chǎng)與風(fēng)壓場(chǎng)預(yù)測(cè)[23-27]等。在工業(yè)工程中，對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)的流動(dòng)與傳熱過程，在不同的操作條件下會(huì)對(duì)應(yīng)不同的邊界條件。對(duì)不同邊界條件下的流動(dòng)與傳熱機(jī)理分析，必然存在最適宜的計(jì)算方法。扁管管翅式換熱器結(jié)構(gòu)參數(shù)多、流動(dòng)與傳熱過程復(fù)雜，POD技術(shù)是否能準(zhǔn)確捕捉到等壁溫及等熱流邊界條件下的速度場(chǎng)及溫度場(chǎng)詳細(xì)信息，邊界條件的改變對(duì)POD 計(jì)算結(jié)果的影響程度如何，均是值得探索的問題。另外，在數(shù)值設(shè)計(jì)中為了盡可能地使邊界條件設(shè)置與工程實(shí)際接近，可以根據(jù)POD 對(duì)物理場(chǎng)的計(jì)算結(jié)果與有限容積法（FVM）結(jié)果間相對(duì)偏差獲得最小值時(shí)的邊界條件作為合理的邊界條件來設(shè)置。因此，本文將POD 技術(shù)用于分析扁管管翅式換熱器在等壁溫和等熱流兩種邊界條件下改變翅片間距、橫向管間距和空氣側(cè)Reynolds數(shù)時(shí)速度場(chǎng)與溫度場(chǎng)特征，并考核其計(jì)算精度和計(jì)算速度能否達(dá)到工程計(jì)算要求。

1 物理和數(shù)學(xué)模型

1.1 物理模型及計(jì)算區(qū)域

研究對(duì)象為扁管管翅式換熱器，圖1(a)為板芯結(jié)構(gòu)示意圖。扁管錯(cuò)排布置，扁管內(nèi)為熱水，冷空氣均勻分布并且平行于管外翅片表面進(jìn)入流道。如圖1(b)所示，扁管尺寸：a=2.5 mm，b=18.5 mm，縱向管間距S2=55.0 mm。計(jì)算中，橫向管間距S1取36.0、37.6、40、46 和44 mm，翅片間距Tp取4.0、5.0 和6.0 mm。扁管及翅片的材料均為銅，熱導(dǎo)率為λ=398 W/(m·K)?？紤]所研究管翅式換熱器板芯結(jié)構(gòu)周期性和排列對(duì)稱性的特點(diǎn)，選取3 個(gè)管排的最小換熱單元為計(jì)算區(qū)域[圖1(b)中實(shí)線部分]，如圖1(c)所示。

1.2 控制方程

本文計(jì)算中，對(duì)于流體屬性、流態(tài)等假設(shè)見文獻(xiàn)[28]。本文控制方程如下：

連續(xù)性方程

動(dòng)量方程

能量方程

1.3 邊界條件

對(duì)氣流通道內(nèi)計(jì)算區(qū)域設(shè)置邊界條件?？諝馊肟谒俣雀鶕?jù)給定Reynolds 數(shù)Rea確定，入口溫度Tin=40℃，出口流速設(shè)為局部單向化條件，出口斷面溫度按絕熱條件處理。所有氣固交界面均為速度無滑移條件[29]。等壁溫條件時(shí)，翅片和水管壁均為88℃；等熱流條件時(shí)，翅片的熱通量為20000 W/m2，水管壁的熱通量為21000 W/m2?？諝馔ǖ兰俺崞趛=0及y=S1/2斷面上均為絕熱邊界條件。

2 POD低階模型的構(gòu)建

2.1 樣本選擇

POD 樣本來源一般有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或數(shù)值模擬結(jié)果，本文樣本來自FVM 計(jì)算結(jié)果。本研究設(shè)置了兩種邊界條件：等壁溫邊界條件和等熱流邊界條件，對(duì)應(yīng)每種邊界條件的溫度場(chǎng)和速度場(chǎng)，選取單參數(shù)(Rea)、雙參數(shù)(Rea，Tp)以及三參數(shù)(Rea，Tp，S1)同時(shí)變化并分別形成6個(gè)樣本庫(kù)。樣本庫(kù)中具體參數(shù)取值如表1 所示。表中A={400, 500, 600, 700, 800, 900,1000, 1100, 1200, 1300, 1400, 1500, 1600, 1700,1800}，B={4.0,5.0,6.0}，C={36,37.6,40,42.4,44}。

表1 樣本參數(shù)Table 1 Sample parameters

2.2 基函數(shù)的提取

將2.1 節(jié)所得樣本導(dǎo)入MATLAB 程序，得到能代表基函數(shù)特性的特征值。為了確保所選基函數(shù)個(gè)數(shù)能完全反映物理場(chǎng)信息，需要以此特征值為基礎(chǔ)計(jì)算累積能量貢獻(xiàn)率，從而得到使該值占總能量99.99%以上的基函數(shù)最小個(gè)數(shù)[28]。等壁溫條件和等熱流條件計(jì)算過程相同，具體過程為：根據(jù)表1中不同樣本矩陣的樣本個(gè)數(shù)，單、雙、三參數(shù)變化的3個(gè)樣本矩陣分別得到15、45 和225 個(gè)基函數(shù)。根據(jù)累積能量貢獻(xiàn)率大小選取的基函數(shù)組數(shù)如表2所示。

表2 基函數(shù)組數(shù)的選取Table 2 Selection of the number of basis functions

2.3 譜系數(shù)計(jì)算

本文在等壁溫和等熱流兩種邊界條件下，單參數(shù)（Rea）變化時(shí)采用線性插值、Newton 插值、拉格朗日插值三種方法計(jì)算溫度場(chǎng)和速度場(chǎng)，并與FVM 計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比對(duì)，發(fā)現(xiàn)三種插值法計(jì)算精度幾乎沒有差別，但線性插值法速度最快，本文選擇線性插值法獲得單參數(shù)變化時(shí)的譜系數(shù)；雙參數(shù)（Rea及Tp）變化和三參數(shù)（Rea、Tp及S1）變化時(shí)均采用線性插值法計(jì)算譜系數(shù)并重構(gòu)溫度場(chǎng)和速度場(chǎng)，綜合分析計(jì)算精度和計(jì)算耗時(shí)，分析比較各參數(shù)變化時(shí)的溫度場(chǎng)和速度場(chǎng)，獲得精度最高的插值方法。與POD 有關(guān)的基礎(chǔ)理論及公式見文獻(xiàn)[30]。

2.4 POD低階模型計(jì)算精度考核

為了驗(yàn)證本文FVM 數(shù)值方法和所編程序的正確性，將Tp=5 mm、S1=40 mm、Rea=400～1800 時(shí)FVM 所得結(jié)果與文獻(xiàn)[31]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖2 所示?？梢钥闯?，空氣側(cè)平均Nusselt 數(shù)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果間的相對(duì)誤差隨Rea增大呈下降趨勢(shì)，等熱流條件下的相對(duì)誤差最大值為23.5%，相對(duì)誤差平均值為15.5%，等壁溫條件下的最大相對(duì)誤差為12.1%，平均誤差為10.4%?？烧J(rèn)為FVM 的計(jì)算結(jié)果是可信的。文獻(xiàn)[31]的實(shí)驗(yàn)擬合公式見式（4）、式（5）。

圖2 數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.2 Comparison of numerical results with experimental results

為了檢驗(yàn)網(wǎng)格數(shù)量對(duì)數(shù)值結(jié)果是否有影響，在Tp=5 mm，S1=40 mm，Rea=1150 條件下，選取3 套網(wǎng)格對(duì)氣流通道內(nèi)進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)，得到了翅片上表面翼展方向平均Nusselt 數(shù)----Nu 沿主流方向的變化趨勢(shì)，如圖3所示?？梢钥闯?，3套網(wǎng)格所得結(jié)果吻合得很好，可以認(rèn)為是網(wǎng)格獨(dú)立的，故本文選取空氣側(cè)網(wǎng)格為274×36×20。

為了檢驗(yàn)不同變量所構(gòu)建POD 低階模型能否準(zhǔn)確捕捉到速度場(chǎng)及溫度場(chǎng)的局部信息，采用POD線性插值法重構(gòu)出z=Tp/2 截面的溫度場(chǎng)和速度場(chǎng)，并與FVM 結(jié)果進(jìn)行比對(duì)，如圖4 和圖5 所示。兩種邊界條件下單參數(shù)變化選取的工況均為Tp=5 mm，S1=40 mm，Rea=1150，雙參數(shù)變化選取的工況均為Tp=5.5 mm，S1=40 mm，Rea=1550；等熱流邊界條件下三參數(shù)變化選取的工況為Tp=4.5 mm，S1=41.2 mm，Rea=1550，等壁溫邊界條件下三參數(shù)變化選取的工況為Tp=5.5 mm，S1=41.2 mm，Rea=1550。圖中實(shí)線為POD 結(jié)果，虛線為FVM 結(jié)果?？梢钥闯?，無論對(duì)于溫度場(chǎng)還是速度場(chǎng)，不同變量POD 低階模型所得結(jié)果均與FVM 所得結(jié)果吻合得很好，說明本文數(shù)值方法用于分析扁管管翅式換熱器的流動(dòng)與傳熱過程是可靠的。

3 結(jié)果分析

根據(jù)所提取的基函數(shù)和譜系數(shù)，可重構(gòu)等熱流及等壁溫邊界條件下不同參數(shù)變化的溫度場(chǎng)和速度場(chǎng)。

圖3 網(wǎng)格獨(dú)立性驗(yàn)證Fig.3 Grid independence verification

圖4 POD方法與FVM所得溫度場(chǎng)對(duì)比Fig.4 Temperature field comparison of POD and FVM

圖5 POD方法與FVM所得速度場(chǎng)對(duì)比Fig.5 Velocity field comparison of POD and FVM

3.1 單參數(shù)變化溫度場(chǎng)和速度場(chǎng)重構(gòu)

在Tp=5.0 mm，S1=40 mm 且Rea變化情況下重構(gòu)溫度場(chǎng)的部分結(jié)果如圖6所示。兩種邊界條件得到了較為一致的結(jié)果：隨著Reynolds數(shù)的增大，空氣入口處的低溫區(qū)沿主流方向逐漸延伸，氣體通道內(nèi)溫度整體下降，說明隨著空氣流速增大，空氣與翅片以及管壁之間的換熱反而越不充分。對(duì)速度場(chǎng)重構(gòu)的部分結(jié)果如圖7 所示。可以看出，沿主流方向流速逐漸增大，管子前端以及靠近管壁處速度梯度較大，管子尾部回流特征明顯。

3.2 雙參數(shù)變化溫度場(chǎng)和速度場(chǎng)重構(gòu)

在Tp和Rea同時(shí)變化情況下得到z= Tp/2 截面溫度場(chǎng)如圖8 所示，由圖可知，等熱流條件下，當(dāng)S1和Rea均變大時(shí)，沿主流方向低溫區(qū)域越大，氣流通道內(nèi)溫度整體水平降低，溫度梯度減小，這是因?yàn)槌崞g距增大導(dǎo)致熱邊界層厚度增大，使得空氣與翅片和管壁之間的熱阻增大，不利于熱交換。等壁溫條件下這一變化更顯著。兩種邊界條件下Tp和Rea同時(shí)變化對(duì)速度場(chǎng)的影響規(guī)律接近，如圖9所示。

圖6 不同Rea時(shí)z=Tp/2截面溫度場(chǎng)(Tp=5.0 mm，S1=40 mm)Fig.6 Temperature field in z=Tp/2 section at different Rea

圖7 不同Rea時(shí)z=Tp/2截面速度場(chǎng)(Tp=5.0 mm，S1=40 mm)Fig.7 Velocity field in z=Tp/2 section at different Rea

圖8 雙參數(shù)變化時(shí)z=Tp/2截面溫度場(chǎng)(S1=40 mm)Fig.8 Temperature field in z=Tp/2 section for two variables

圖9 雙參數(shù)變化時(shí)z=Tp/2截面速度場(chǎng)(S1=40 mm)Fig.9 Velocity field in z=Tp/2 section for two variables

3.3 三參數(shù)變化溫度場(chǎng)和速度場(chǎng)重構(gòu)

在Tp、S1和Rea同時(shí)變化得到的水平面上溫度場(chǎng)如圖10所示。兩種邊界條件下出現(xiàn)了類似的現(xiàn)象：同時(shí)增大Tp和S1時(shí)，第1 管排處低溫區(qū)域略有縮小，在第3 管排末尾處出現(xiàn)局部高溫區(qū)域，對(duì)照?qǐng)D11 可知，在第3管排末尾處的速度為負(fù)值，說明在此位置處出現(xiàn)回流區(qū)，不利于水管壁向空氣的傳熱。圖11為重構(gòu)的速度場(chǎng)結(jié)果。與雙變量重構(gòu)結(jié)果類似，兩種邊界條件下三個(gè)參數(shù)同時(shí)變化對(duì)速度場(chǎng)的影響差異很小。

3.4 POD結(jié)果與FVM結(jié)果對(duì)比

3.4.1 計(jì)算精度比較 對(duì)于不同結(jié)構(gòu)的換熱板芯，POD 低階模型的計(jì)算結(jié)果與FVM 計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比對(duì)，如圖12 和圖13 所示。由圖可知，兩種邊界條件下，單參數(shù)變化的溫度場(chǎng)及速度場(chǎng)均吻合得很好；對(duì)于雙參數(shù)及三參數(shù)變化情況下的溫度場(chǎng)結(jié)果，等熱流條件比等壁溫條件吻合得更好。邊界條件對(duì)速度場(chǎng)的影響均很微弱。

圖10 三參數(shù)變化時(shí)z=Tp/2截面溫度場(chǎng)Fig.10 Temperature field in z=Tp/2 section for three variables

圖11 三參數(shù)變化時(shí)z=Tp/2截面速度場(chǎng)Fig.11 Velocity field in z=Tp/2 section for three variables

圖12 POD方法與FVM所得溫度場(chǎng)對(duì)比(z=Tp/2)Fig.12 Comparison of temperature field between POD method and FVM

圖13 POD方法與FVM所得速度場(chǎng)對(duì)比(z=Tp/2)Fig.13 Comparison of velocity field between POD method and FVM

表3 POD與FVM結(jié)果相對(duì)偏差的平均值Table 3 Average value of relative deviation between POD and FVM results

表3 給出了各工況相對(duì)偏差的平均值?？傮w上，等壁溫條件時(shí)POD所得速度場(chǎng)與FVM間相對(duì)偏差最??；等熱流條件時(shí)POD所得溫度場(chǎng)與FVM間相對(duì)偏差最小。因此，如果工程問題中關(guān)注的是復(fù)雜結(jié)構(gòu)中的熱傳遞規(guī)律，采用POD 進(jìn)行數(shù)值分析時(shí)適合按照等熱流邊界條件設(shè)置，如果關(guān)注的是流動(dòng)特征，則按照等壁溫邊界條件設(shè)置較合適。

3.4.2 計(jì)算耗時(shí)比較 前已述及，POD 方法重構(gòu)的溫度場(chǎng)和速度場(chǎng)與FVM 方法計(jì)算得到的溫度場(chǎng)和速度場(chǎng)基本一致，而采用POD 方法計(jì)算時(shí)間比FVM要短得多。

表4 為FVM 算法與POD 方法對(duì)溫度場(chǎng)的計(jì)算耗時(shí)對(duì)比結(jié)果，可以看出，POD 比傳統(tǒng)數(shù)值方法最快能提高3093倍。

表4 不同計(jì)算方法耗時(shí)對(duì)比Table 4 Calculating time of different methods

4 結(jié) 論

在等熱流和等壁溫邊界條件下，以構(gòu)建的POD低階模型分析了扁管管翅式換熱器中流動(dòng)與傳熱過程，得到了以下主要結(jié)論。

（1）采用POD 方法重構(gòu)溫度場(chǎng)時(shí)，在等壁溫條件下相對(duì)偏差平均值的最大值為0.557%；在等熱流條件下相對(duì)偏差平均值的最大值為0.308%。采用POD 方法重構(gòu)速度場(chǎng)時(shí)，在等壁溫條件下相對(duì)偏差平均值的最大值為1.26%；在等熱流條件下相對(duì)偏差平均值的最大值為1.9%。因此，POD 低階模型在等熱流和等壁溫邊界條件下對(duì)扁管管翅式換熱器流動(dòng)與傳熱計(jì)算均是可行的。

（2）對(duì)于等壁溫和等熱流邊界條件，無論用POD 方法重構(gòu)溫度場(chǎng)還是速度場(chǎng)，均得到了符合原溫度場(chǎng)和速度場(chǎng)變化的重構(gòu)物理場(chǎng)，表明POD 方法從已知樣本的譜系數(shù)出發(fā)獲得待求譜系數(shù)能大大簡(jiǎn)化求解過程，而且保留了物理過程的真實(shí)信息。

（3）對(duì)于溫度場(chǎng)和速度場(chǎng)的計(jì)算過程中，通過增大樣本個(gè)數(shù)的方法比已有文獻(xiàn)報(bào)道大大提高了計(jì)算精度。POD 插值法的計(jì)算速度比傳統(tǒng)數(shù)值方法最快能提高3093倍。

符 號(hào) 說 明

cp——空氣的比定壓熱容，J/(kg·K)

Rea——空氣側(cè)Reynolds數(shù)

S1,S2——分別為橫向管間距、縱向管間距，mm

Tp——翅片間距，mm

ui,uk——空氣流動(dòng)速度，m/s

λ——翅片熱導(dǎo)率，W/(m·K)

ρ——空氣密度，kg/m3