常用數(shù)學(xué)思維在地理學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

陜西 解鵬輝

“調(diào)動(dòng)和運(yùn)用地理知識(shí)”是《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明》(以下簡稱《考試說明》)關(guān)于地理學(xué)科的考核目標(biāo)和要求之一，《考試說明》明確規(guī)定，除調(diào)動(dòng)和運(yùn)用所學(xué)地理知識(shí)、自主學(xué)習(xí)過程中獲得的知識(shí)外，還要求學(xué)生能夠選擇和運(yùn)用中學(xué)其他相關(guān)學(xué)科的基本技能解決地理問題，一些簡單的數(shù)學(xué)運(yùn)算和一些數(shù)學(xué)方法，常常能夠使復(fù)雜問題簡單化，從而達(dá)到快速解決地理問題的目的。

一、數(shù)學(xué)運(yùn)算在解決地理問題中的應(yīng)用

地理是一門生活化的科學(xué)，它與生活實(shí)踐密切結(jié)合，地理問題即現(xiàn)實(shí)生活中的問題，因此這些問題的產(chǎn)生是多方面綜合作用的結(jié)果。受不同因素的影響，影響的程度不同，就會(huì)出現(xiàn)不同的結(jié)果。

靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)運(yùn)算，有助于理清各因素是否對(duì)某地理事物產(chǎn)生影響、影響的程度大小、影響結(jié)果的走向，有助于快速、準(zhǔn)確的解決地理問題。

(一)運(yùn)用加減法可解決的地理問題

數(shù)學(xué)中的加減法運(yùn)用在地理事物受兩個(gè)或兩個(gè)以上因素影響，這些因素之間通過加減關(guān)系共同影響地理事物的最終結(jié)果，在這些因素的影響下，地理事物呈現(xiàn)增加(上升)或減少(下降)的發(fā)展趨勢，最終結(jié)果取決于這些因素之間的加減關(guān)系。

具有加減關(guān)系的試題，應(yīng)用范圍廣，不管是考查自然地理中的知識(shí)點(diǎn)還是人文地理中的知識(shí)點(diǎn)，都屢見不鮮。下面以2016年全國卷Ⅱ第9～11題為例進(jìn)行說明。

【真題重現(xiàn)】某河流位于浙江東部，下游河床受徑流與潮汐共同影響：枯水期，以潮流帶來的泥沙淤積為主；汛期，上游下泄的徑流沖刷河床。如圖示意該河下游某地1962年兩個(gè)時(shí)期河床斷面形態(tài)，其中，甲是河床最低時(shí)期的斷面。1964年在該河上游建成水庫；2000年，在該河河口建成大型水閘。據(jù)此完成下題。

9.河床斷面形態(tài)從甲至乙的變化過程發(fā)生在

( )

A.1—3月 B.3—6月

C.6—9月 D.9—12月

【地理基礎(chǔ)知識(shí)】河床斷面形態(tài)與泥沙的淤積和徑流對(duì)河床的沖刷有關(guān)。潮流帶來的泥沙淤積，河床變平、升高；下泄徑流沖刷，河床降低、變窄。

【加減關(guān)系梳理】可簡單歸納為①河床形態(tài)=泥沙淤積量-沖刷量；②值大于0，河床升高；小于0，河床降低。

【答案整理】結(jié)合材料“甲是河床最低時(shí)期的河床斷面”，因此由甲到乙的過程其實(shí)就是由以沖刷為主的時(shí)期向以淤積為主的時(shí)期過渡。

結(jié)合材料“枯水期，以潮流帶來的泥沙淤積為主……”可知，該河流位于浙江東部，汛期大約9月份結(jié)束，因此答案選擇D選項(xiàng)。

(二)運(yùn)用乘除法解決地理問題

乘除法中地理事物的最終結(jié)果也受兩個(gè)或兩個(gè)以上因素的影響，這些因素之間通過乘除關(guān)系共同影響地理事物的最終結(jié)果，在這些因素的影響下，地理事物呈現(xiàn)增加(上升)或減少(下降)的發(fā)展趨勢。例如城市化水平的高低、人口撫養(yǎng)比的大小、正午太陽高度與影長的關(guān)系、遮陽棚的安裝、比例尺的變化等，都可以運(yùn)用此類方法。下面以2018年江蘇卷第28題第(2)問為例進(jìn)行說明。

【真題重現(xiàn)】閱讀材料,回答下列問題。

材料一中國是世界第一大鐵礦石進(jìn)口國和第一大粗鋼生產(chǎn)國,2015年粗鋼產(chǎn)量約占全球產(chǎn)量的50%,但高端鋼材生產(chǎn)不足。圖1為“2015年世界鐵礦石主要流向及流量略圖。

圖1

材料二有研究顯示,一個(gè)國家或地區(qū)的人均粗鋼需求增幅與人均GDP有一定的相關(guān)性2015年、2017年中國人均GDP分別為7 990美元和8 836美元。圖2為“人均粗鋼需求增幅與人均GDP”關(guān)系示意圖。

圖2

材料三產(chǎn)能利用率是指行業(yè)發(fā)揮生產(chǎn)能力的程度,是實(shí)際產(chǎn)量與設(shè)計(jì)產(chǎn)能的比率。一般認(rèn)為,鋼鐵行業(yè)產(chǎn)能利用率處于78%～83%時(shí)較為合理,低于75%則為產(chǎn)能嚴(yán)重過剩。圖3為“我國2010年～2015年粗鋼產(chǎn)能和產(chǎn)能利用率統(tǒng)計(jì)圖”。

圖3

(2)推測我國未來粗鋼需求量將出現(xiàn)的變化及其根本原因。

【乘除關(guān)系梳理】產(chǎn)能利用率=實(shí)際產(chǎn)量/設(shè)計(jì)產(chǎn)能

【答案整理】在2010到2015年期間，我國的粗鋼產(chǎn)能(實(shí)際產(chǎn)能)不斷上升。從圖中來看，從2010到2012年產(chǎn)能利用率不斷提高，說明隨著我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，對(duì)粗鋼需求量不斷變大；從2012到2015年產(chǎn)能利用率低，說明實(shí)際產(chǎn)量小于設(shè)計(jì)產(chǎn)能，雖然經(jīng)濟(jì)進(jìn)一步發(fā)展，對(duì)粗鋼的需求量大，但隨著產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)的調(diào)整、升級(jí)，粗鋼供過于求，導(dǎo)致產(chǎn)能過剩。

本題答案為“先升后降；經(jīng)濟(jì)水平提高、產(chǎn)業(yè)升級(jí)轉(zhuǎn)型”。

二、數(shù)學(xué)思想在解決地理問題中的應(yīng)用

常用的數(shù)學(xué)思想有數(shù)形結(jié)合思想、方程與函數(shù)思想、建模思想、分類討論思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想等。這些數(shù)學(xué)思想方法主要來源于觀察與實(shí)驗(yàn)、概括與抽象、類比，歸納和演繹等，因此，很多的數(shù)學(xué)思想對(duì)解決地理問題有著舉足輕重的作用。

(一)數(shù)形結(jié)合思想在解決地理問題中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思想方法，其應(yīng)用大致可分為兩種情形，借助于“數(shù)”的精確性來闡明“形”的某些屬性；借助“形”的幾何直觀性來闡明“數(shù)”之間某種關(guān)系。

其在地理上的應(yīng)用表現(xiàn)在以下方面，通過對(duì)不同時(shí)空、不同條件下觀測、實(shí)驗(yàn)等方法收集到的數(shù)據(jù)作圖，得出這些條件在不同時(shí)空、不同條件下對(duì)同一地理事物產(chǎn)生的影響，以及影響的大小，并通過圖形的發(fā)展趨勢，預(yù)測未來或者地理?xiàng)l件發(fā)生變化的情況下，地理事物的發(fā)展情況，為人們的生產(chǎn)、生活的一些決策提供依據(jù)。可以說，數(shù)形結(jié)合思想的靈活應(yīng)用，是地理實(shí)踐力的體現(xiàn)。

地理上最常用的就是把數(shù)字或者文字轉(zhuǎn)化成圖形，來揭示地理現(xiàn)象或地理規(guī)律。下面以2017年全國卷Ⅰ第37題(1)(2)小問具體說明。

【真題重現(xiàn)】閱讀圖文資料，完成下列要求。

山地垂直帶內(nèi)部的分異規(guī)律，日益為地理學(xué)研究所重視。在山地苔原帶，植物多樣性存在隨海拔升高呈單峰變化的規(guī)律：在山地苔原帶下部，少數(shù)植物種類通過種間競爭獲得優(yōu)勢，植物多樣性較低；隨著海拔升高，環(huán)境壓力變大，種間競爭減弱，植物多樣性升高；在更高海拔區(qū)域，適宜生存的植物種類減少。地理科考隊(duì)調(diào)查某山峰的苔原帶(海拔2 000～2 600米)時(shí)發(fā)現(xiàn)，該苔原帶部分地區(qū)存在干擾，導(dǎo)致優(yōu)勢植物數(shù)量減少，植物多樣性異常；陰、陽坡降水量與坡度差別不大，但植物多樣性差異顯著(如圖)。

(1)確定該苔原帶遭受干擾的坡向和部位，以及干擾強(qiáng)度的垂直分布特征。

(2)判斷在未遭受干擾時(shí)，陰坡與陽坡苔原帶植物多樣性的差異，并說明判斷依據(jù)。

【數(shù)形結(jié)合】根據(jù)材料中“在山地苔原帶……呈單峰變化的規(guī)律”，“在山地苔原帶下部……多樣性較低；隨海拔升高，多樣性升高；在更高海拔區(qū)域，適宜生存的植物種類減少”可知，不呈單峰變化的陽坡就是遭受干擾的坡向，陰坡植物多樣性的最高點(diǎn)也是陽坡植物多樣性的最高點(diǎn)，以該最高點(diǎn)為頂點(diǎn)，在2 000到2 300米之間做陰坡植物多樣性的平行線(如下圖)。

【答案整理】該線與圖中虛線相比，從2 000米到2 300米，間距不斷縮小，說明干擾強(qiáng)度在此海拔范圍內(nèi)隨海拔升高而不斷減小。兩條單峰線相比，陰坡高陽坡低，說明未受干擾時(shí)，陰坡植物多樣性高。

(1)遭受干擾的坡向和部位：陽坡，苔原帶的下部(中下部，2 000～2 300米左右)。干擾強(qiáng)度分布特征：隨海拔升高而降低(海拔越低，干擾越強(qiáng)烈)。

(2)(未遭受干擾時(shí))陰坡較陽坡植物多樣性高。依據(jù)：(按單峰變化規(guī)律)陽坡苔原帶植物多樣性最高值應(yīng)在中部(2 300米左右)，低于陰坡最高值。

【思考】本題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，把文字轉(zhuǎn)化成圖形，使復(fù)雜的地理問題迎刃而解，同時(shí)也使學(xué)生意識(shí)到，人類活動(dòng)對(duì)地理環(huán)境有一定程度的影響。

三、數(shù)學(xué)方法在解決地理問題中的應(yīng)用

為了對(duì)地理事物有深刻的認(rèn)識(shí)和深入的研究，應(yīng)用、判讀出自然地理環(huán)境和人文地理環(huán)境各事物之間的關(guān)系，這就需要借助于數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)方法多種多樣，有邏輯學(xué)中的方法、如反證法，數(shù)學(xué)中的一般方法、如圖像法，數(shù)學(xué)中的特殊方法、如公式法，這些方法在地理問題的解決上常能收到事半功倍的效果。

地理學(xué)習(xí)和解題中應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)方法是比較法。下面以比較法為例，談?wù)劚容^法在地理分析中的應(yīng)用。

比較法，就是根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)，把彼此有某種聯(lián)系的事物加以對(duì)照，從而確定其相同與相異之點(diǎn)，便可以對(duì)事物作初步的分類。

在地理問題的研究中，比較法可以從多個(gè)角度，對(duì)兩個(gè)或多個(gè)地理事物進(jìn)行同一時(shí)間異同的比較、還可按照時(shí)間對(duì)同一地理事物在不同階段的形成過程進(jìn)行比較，既可以進(jìn)行定性分析，又可以進(jìn)行定量比較。如果要解答的問題材料沒有明確給出相關(guān)信息，那么就對(duì)已有信息進(jìn)行分析，求同存異，然后再對(duì)地理事物的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)展開比較，最終找到解決問題的思路。下面以2018年江蘇卷第3題為例進(jìn)行說明。

【真題展示】下圖為“某地二分二至日太陽視運(yùn)動(dòng)示意圖”。讀圖回答下題。

3.線①所示太陽視運(yùn)動(dòng)軌跡出現(xiàn)時(shí)的節(jié)氣為

( )

A.春分 B.夏至 C.秋分 D.冬至

【比較分析】相同點(diǎn)：

已知信息：都是太陽高度最大時(shí)刻即正午時(shí)，太陽位于南方天空。

結(jié)論：判斷該地位于北回歸線以北。

不同點(diǎn)：

已知信息:3條線中，①線正午太陽高度最小。

結(jié)論：北回歸線以北地區(qū)正午太陽高度最小時(shí)，太陽直射南回歸線，①線代表冬至日。答案選擇D選項(xiàng)。

數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，它是其他一切學(xué)科的基礎(chǔ)，地理也不例外。中學(xué)生在地理問題的研究和解決上，如果能夠把數(shù)學(xué)上已經(jīng)學(xué)到的基本運(yùn)算、基本思想和基本方法，熟練、靈活地運(yùn)用到地理問題的解答中來，那么對(duì)于廣大的學(xué)生而言，學(xué)好地理將不再是一件難事。