淺談數(shù)學(xué)中的哲學(xué)問題

李江寧

（武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北武漢 430070）

0 引言

數(shù)學(xué)在高校的學(xué)習(xí)生涯中占有重要地位，其內(nèi)在的哲學(xué)思想凝結(jié)了人類智慧的結(jié)晶，不同觀點間具對立又統(tǒng)一關(guān)系，為人類實際問題解決提供了正確的方向。從某個角度而言，數(shù)學(xué)與哲學(xué)的關(guān)系源遠流長，十分密切，從哲學(xué)的角度探討數(shù)學(xué)中的辯證思維，在數(shù)學(xué)教學(xué)中自覺地滲透哲學(xué)思想，有助于提高教學(xué)的效果，有益于培養(yǎng)學(xué)生的哲學(xué)素養(yǎng)。

1 哲學(xué)與數(shù)學(xué)相互對立與統(tǒng)一

對于高等數(shù)學(xué)的定義，我們通常將其看做是初等數(shù)學(xué)的提升。高等數(shù)學(xué)的對象，和它所采用的解題方法，較初等數(shù)學(xué)更為復(fù)雜。有部分中學(xué)為了提升學(xué)生的邏輯思維能力，將較為高深的哲學(xué)思想，融入到中學(xué)數(shù)學(xué)當中，并將其作為中學(xué)和大學(xué)的過渡階段。這就要求我們以發(fā)展的眼光看問題，初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)換，也是學(xué)生自身素養(yǎng)螺旋式上升的過程。

微積分是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，要想學(xué)好這一部分，重在理解——對于概念的理解、定理的理解，都決定了對高數(shù)的理解深度和廣度。對于微積分的學(xué)習(xí)方法，可以從極限衍生出來的幾個定理開始，要求達到合上書自己能推導(dǎo)的程度，然后認真研習(xí)證明題和計算題。等到全部掌握極限理論之后，再去學(xué)后面的知識就非常簡單了。如萊布尼次對微積分基本定量證明時，同時也表明微分與積分之間互為擬運算，具矛盾概念性質(zhì)，即呈對立狀，又較為統(tǒng)一。大區(qū)間不可求的量，可分割成多個小房間，對量的微元求出，再對微元的累積和求出，即積分，對量的宏觀值獲取，充分對同一問題中微分與積分的思想綜合作用予以了體現(xiàn)。微積分基本定理對微積分所研究內(nèi)容的定點予以了構(gòu)成，在微分與積分屬開展高等數(shù)學(xué)課程重要矛盾點的觀點下，對其進行求取，并非看作小問題來解決，而是需用相對統(tǒng)一的方案，來自微分中的定量，經(jīng)分析，在積分中也可有相應(yīng)定量推導(dǎo)出，反之相同。二者表現(xiàn)為雖相互對應(yīng)，同時又統(tǒng)一的關(guān)系，屬相同事物呈現(xiàn)出的兩個方面[1]。

2 哲學(xué)與數(shù)學(xué)相互照應(yīng)與促進

在哲學(xué)思想中，只有一定的量變才能引起質(zhì)變。高等數(shù)學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)的三大巨頭之一，在大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中占有十分重要的地位。就高等數(shù)學(xué)而言，這是一眾學(xué)生在本科學(xué)習(xí)階段的基礎(chǔ)科目，為日后對各種科目的學(xué)習(xí)，以及對各種理論的推導(dǎo)，提供了邏輯思維和解題方法。在對高等數(shù)學(xué)相關(guān)運算進行求解的過程中，從本質(zhì)而言，是實現(xiàn)了事物自一個特殊數(shù)量層次，至另一特殊數(shù)量層次之間的質(zhì)變，此種質(zhì)量在無限量變后才可出現(xiàn)。較多無法求取的量，如變力、體積、面積做的功，在變化壓強作用下物理所受的壓力，變速直線運動中的位移情況，均可向微元的相關(guān)無限累積和轉(zhuǎn)化，上述均是哲學(xué)思想中量變至質(zhì)變的典型體現(xiàn)。在生活中，因能力相對局限，針對事物展開研究時，較難對其全部特征掌握。而從事物局部產(chǎn)生具體規(guī)律性的認識，符合哲學(xué)上的歸納法，數(shù)學(xué)中叫積分，由此可由點至線，再到面、體的呈現(xiàn)，自量變引發(fā)質(zhì)變，表現(xiàn)數(shù)學(xué)與哲學(xué)存在相互照應(yīng)與促進的關(guān)系，哲學(xué)可指導(dǎo)高數(shù)的學(xué)習(xí)，在高數(shù)的學(xué)習(xí)中，也可體現(xiàn)哲學(xué)思想。

3 哲學(xué)與數(shù)學(xué)有限與無限轉(zhuǎn)化

對于一些較為重要的數(shù)學(xué)概念，例如像函數(shù)極限、無窮大與無窮小、函數(shù)的連續(xù)等，關(guān)于這些知識點，我們應(yīng)該將其作為重點內(nèi)容去理解。解題中。運用到的公式我們必須熟記并牢背，這對于之后的解題，會起到一個舉一反三的效果和作用。有限與無限，在哲學(xué)中，相互轉(zhuǎn)化，相互依存，可以在某種特定的情況下實現(xiàn)對立統(tǒng)一，也可在高等數(shù)學(xué)中，有從有限至無限的更為深入的認識。

在哲學(xué)的有限和無限思想中，我們要領(lǐng)悟極限和連續(xù)的含義。對于高數(shù)而言，極限問題會讓人一個頭兩個大，甚至產(chǎn)生很多疑問，例如為什么要對這些字母或者數(shù)字進行如此“無厘頭”的運算呢？這些看似十分奇怪的問題，其實都是可以找到緣由的。例如，在不規(guī)則運動中。如果我們想要求出一個小球的運動軌跡。那么我們首先會對他進行一個所謂的“正交分解”，然后在坐標軸上建模，進行推導(dǎo)函數(shù)的過程。我們要考慮到眾多的參數(shù)對這個函數(shù)影響程度。這時，函數(shù)的復(fù)雜性、多元性的特點再次被展現(xiàn)得淋漓盡致。

函數(shù)的有限與無限之所以難，是因為其表達式的多樣性和復(fù)雜性。我們可以利用等價無窮小和函數(shù)的定義去解題。在運用這些方法時，我們不能僅僅將其簡單帶入，因為函數(shù)的表現(xiàn)形式非常多樣，運用這些解題方法同時，我們還要學(xué)會化繁為簡。函數(shù)的化簡過程，需要我們掌握一定的基礎(chǔ)知識，要及時地預(yù)估其發(fā)展方向，這就需要我們平時多多練題，總結(jié)其中的出題規(guī)律和特色。在解決極限問題時，我們要以全局的眼光看待問題，不要過分執(zhí)著于較少的那一部分，而是需要整體把握，這就充分運用到了哲學(xué)理念和知識。在求幾個重要的極限，或者等價無窮大（?。r，我們要用上整體的概念，盡管會運用到一些復(fù)雜的代數(shù)形式，但只要符合解題要求，就能正確將其解出。除此之外，對于連續(xù)性的證明，最快捷方便的當屬利用定義，即根據(jù)函數(shù)某處的極限求解函數(shù)值，這樣一來，我們不僅能知道函數(shù)的連續(xù)性，還能極大地方便函數(shù)的使用[2]。

4 對稱性原理

大學(xué)數(shù)學(xué)原理很講究對稱，注重邏輯思維和定理準則上的對稱性，其也為哲學(xué)的重要思想。我們可以根據(jù)這個特點，從對稱性的角度來解讀數(shù)學(xué)。所謂的結(jié)構(gòu)對稱剖析，就是將數(shù)學(xué)分成多個結(jié)構(gòu)層次進行剖析。這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最為重要和關(guān)鍵的一步，也是對于學(xué)生來說最為枯燥的一步。

由于數(shù)學(xué)中普遍存在對稱現(xiàn)象，對稱性就成了大學(xué)數(shù)學(xué)的鮮明特征之一。了解大學(xué)數(shù)學(xué)的對稱性特征后，對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有許多好處。在求解積分的過程中，我們要特別注意利用積分的對稱性。例如，可以利用分段積分的特點，將其兩邊的絕對值去除，后將積分求解出來。值得注意的是，二重積分的計算，以及后續(xù)的曲面積分，是高等數(shù)學(xué)考察的重點內(nèi)容。除此之外，我們還需要融會貫通地掌握微分方程中，有關(guān)齊次和非齊次微分方程的求解方法，對于這些方程，我們要做到能夠熟練的判斷出方程類型，利用對應(yīng)的求解方法去解題。

在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過程中，老師要積極引導(dǎo)學(xué)生，將所學(xué)知識進行內(nèi)化。通過學(xué)生的自主思考和探究，納入到自己的知識儲備中去。老師可以通過積極引導(dǎo)學(xué)生探究和思考，制作一個知識腳本，將不懂知識摘錄進去。這樣一來，在之后的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生就可以做到舉一反三，事半功倍。不僅節(jié)省了學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的時間，還能更好地提高學(xué)習(xí)水平。

5 辯證的思想

作為一門大學(xué)的基礎(chǔ)性學(xué)科，高等數(shù)學(xué)以其高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性為特點。要想學(xué)好高等數(shù)學(xué)，我們就要用辯證的思想去看待它，做到抽象和具體的統(tǒng)一。

辯證思想在大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中廣泛存在，并且被很多同學(xué)熟練運用。舉個簡單的例子，函數(shù)與方程這兩個數(shù)學(xué)概念，它們密切聯(lián)系，相互結(jié)合，相互滲透。從某種角度而言，許多方程的推導(dǎo)和求解都需要用到函數(shù)知識，許多函數(shù)的問題同時也需要利用方程的定義去求解。這一來一去，就形成了有關(guān)函數(shù)與方程之間的辯證關(guān)系，后形成了一個較為完整的函數(shù)方程思想體系。

除此之外，數(shù)學(xué)的辯證性還體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的邏輯性當中。這是指在數(shù)學(xué)理論的歸納和整理中，無論是概念還是表述問題，無論是判斷還是推理過程，都需要運用邏輯思維和哲學(xué)理念，遵循人類思維的規(guī)律。所以說，數(shù)學(xué)是一種思想方法，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就是思維訓(xùn)練的過程。只有這樣，我們才能深入了解和揭示其本質(zhì)及發(fā)展規(guī)律，才能使它在其他領(lǐng)域得到更加廣泛的應(yīng)用。

6 結(jié)語

數(shù)學(xué)是從現(xiàn)實世界中抽象出來形成的科學(xué)，具有廣泛的哲學(xué)特征。依據(jù)華羅庚學(xué)者的觀點——宇宙之大、地球之變等，均可用數(shù)學(xué)來進行描述。數(shù)學(xué)需對辯證法進行遵循，掌握其規(guī)律和運動，以及相關(guān)變化和發(fā)展，均在哲學(xué)思想中有跡可尋，為重要的內(nèi)容。

大學(xué)教學(xué)的本質(zhì)，不僅僅是去學(xué)習(xí)一些基礎(chǔ)知識，重要的是引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)深入理解，引發(fā)學(xué)生積極思考，領(lǐng)會其中的邏輯思維，如同哲學(xué)，在對整個世界進行研究時，得出普遍規(guī)律，可方便量解，為解決問題提供了科學(xué)、正確的方法類，對思維發(fā)展具啟迪作用。數(shù)學(xué)中的哲學(xué)問題，需要在微分與積分、量變與質(zhì)變、有限與無限等問題求解中去總結(jié)，在具體教學(xué)中，老師一定要找準數(shù)學(xué)教學(xué)體現(xiàn)哲學(xué)思想的定位，真正引領(lǐng)學(xué)生明確數(shù)學(xué)內(nèi)涵、體會到哲學(xué)深度，進而為自身綜合素養(yǎng)的增強提供保障。