淺談借助“數(shù)學(xué)畫”解決問題的教學(xué)策略

管安

解決問題通常都是結(jié)合生活情境，信息呈現(xiàn)方式繁多或者圖文并茂。學(xué)生在讀題過程中容易被文字信息繞住，但是在教學(xué)中加入“數(shù)學(xué)畫”模型建構(gòu)的過程，當(dāng)學(xué)生再遇到此類問題時(shí)，會(huì)主動(dòng)分析題目信息之間的聯(lián)系，再次回憶起數(shù)學(xué)模型的基本數(shù)量關(guān)系。

一、直觀想象作鋪墊：引兒童學(xué)數(shù)學(xué)

小學(xué)生的認(rèn)知處于由形象直觀思維為主向抽象邏輯思維發(fā)展過渡的階段，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)需要回歸兒童視角，緊貼兒童認(rèn)知發(fā)展水平進(jìn)行。先讓學(xué)生畫圖，利用“看得著”的圖形讓學(xué)生基于圖形展開空間想象：看著自己畫的圖形，學(xué)生會(huì)更容易回憶和體會(huì)相關(guān)知識(shí)，更便捷地知道怎樣可以使已知信息解決問題;如果不畫圖，學(xué)生憑空想象，要解決問題并非易事，而且很多學(xué)生甚至包括大部分成人還是要在腦海里完成直觀想象。

借助可視化的直觀圖形展開直觀想象，其實(shí)也暗含著對(duì)概念的直觀理解和對(duì)問題的合情推理，例如：長(zhǎng)方形圖應(yīng)用廣泛，長(zhǎng)方形圖可以表示長(zhǎng)×寬=面積這個(gè)數(shù)量關(guān)系，也可以單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)，速度×?xí)r間=路程諸如此類的數(shù)量關(guān)系建立聯(lián)系。借助長(zhǎng)方形圖，激發(fā)了學(xué)生對(duì)組合圖形的直觀理解，使學(xué)生對(duì)實(shí)際問題能不言自明，迎刃而解。所謂“有圖有真相”，作為數(shù)學(xué)學(xué)科研究對(duì)象的“數(shù)”與“形”在相互結(jié)合的同時(shí)又各具特色，形的直觀性和背后的“數(shù)的背景”使其具有一種“簡(jiǎn)單的深刻”，有利于小學(xué)生的概念理解和問題解決。以易于理解的圖形問題激發(fā)學(xué)生思考其中的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生既看到圖形的直觀性，更看到圖形的抽象性。

二、畫圖整理助探究：從畫題意到畫思路

問題解決領(lǐng)域的“數(shù)學(xué)畫”我們統(tǒng)稱“畫思路”，若細(xì)加考量還可以有“畫題意”和“畫思路”之分。所謂“畫題意”即畫圖表征題意，也是整理題目中的數(shù)量關(guān)系，先理清已知什么？求什么？

例題：梅山小學(xué)有一塊長(zhǎng)方形花圃，長(zhǎng)8米。在修建校園時(shí)，花圃的長(zhǎng)增加了3米，這樣花圃的面積就增加了18平方米。原來花圃的面積是多少平方米？引導(dǎo)學(xué)生的一系列畫圖，畫題意，細(xì)致到位，有助于學(xué)生理解題意和數(shù)量關(guān)系。文字與圖形互譯的過程就是幾何直觀把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象的過程，這有助于直觀理解數(shù)學(xué)，探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。一旦學(xué)生把問題表征清楚了，問題也就解決了一大半。

問題解決中的很多問題根源都出在“理解題意”上。培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀意識(shí)和能力對(duì)于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維顯得尤其重要。通過“數(shù)學(xué)畫”結(jié)合實(shí)際問題，學(xué)生逐步掌握用圖形描述和分析問題，并能逐步優(yōu)化出更為簡(jiǎn)潔的圖形表示，借助圖形使問題簡(jiǎn)明、形象，并敢于在獨(dú)立解決實(shí)際問題的過程中借助“數(shù)學(xué)畫”分析。幾何直觀基于“圖形與幾何”，又超越“圖形與幾何”。

畫好題意之后，有些學(xué)生會(huì)繼續(xù)將解決問題的思維過程清楚地畫出來，這就是“畫思路”，這方面最能體現(xiàn)學(xué)生思維的個(gè)性差異。讓不同解法的學(xué)生展示自己的圖，依圖說思路。畫圖解決，很清晰地畫出了解決問題的思考過程有助于鍛煉思維的有序性條理性和多樣性靈活性，有助于師生發(fā)現(xiàn)思維的疏漏之處便于更好地進(jìn)行“教”的引導(dǎo)和“學(xué)”的改進(jìn)，有助于學(xué)生想得“更清晰、更深入、更全面、更合理。

三、多方畫圖破難點(diǎn)：紙上畫和腦海畫

畫圖有三種水平，第一是在紙上畫，第二是在腦海畫，最高水平是在腦海畫后再在紙上畫加以驗(yàn)證。對(duì)于畫圖輔助問題解決來說，首先當(dāng)然是紙上畫圖，整理題意，理清數(shù)量關(guān)系，思維可視化，順利找到解決問題的方法;熟練了以后，可以不用紙上畫圖，直接在腦海想象，這也是空間想象力的發(fā)展;總有些問題比較復(fù)雜，僅憑腦海想象很容易出錯(cuò)，需要再回歸紙上畫圖驗(yàn)證和修正想象。

例如：“長(zhǎng)和寬各增加8米，面積增加了多少平方米？”這樣的問題，學(xué)生很容易錯(cuò)用40×8+50×8=720（平方米）的計(jì)算解答，僅憑“想當(dāng)然”的直觀想象難以準(zhǔn)確把握。當(dāng)學(xué)生在畫圖時(shí)出現(xiàn)偏差，就要請(qǐng)學(xué)生紙上畫圖看看“到底是不是”，回到問題的本源處追問：“一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬各增加8米后會(huì)是一個(gè)什么圖形？”引導(dǎo)學(xué)生重新審視所畫的圖，認(rèn)識(shí)到“少了一個(gè)角”，從而及時(shí)發(fā)現(xiàn)和修正問題。這樣的經(jīng)驗(yàn)緊接著就被學(xué)生遷移到“長(zhǎng)和寬各減少8米，面積減少了多少平方米？”等問題解決中去。而“有沒有可能長(zhǎng)增加和寬減少一定的米數(shù)，而面積不變呢？”成功地將學(xué)生的思考延伸到課后。

“數(shù)學(xué)畫”不僅是一種解決問題的策略和方法，也是學(xué)生內(nèi)隱性思維的一種外顯化，從而“暴露”學(xué)生思維中的偏差和錯(cuò)誤，促使學(xué)生和老師能夠清晰地看見偏差和錯(cuò)誤，進(jìn)而使得老師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”都有了支點(diǎn)，糾正“偏差”和修正“錯(cuò)誤”的過程就是學(xué)習(xí)真正發(fā)生的過程。