Babbage 方程解的進(jìn)一步討論

劉 娜， 李 松， 余志恒

（1.成都工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院通識教育學(xué)院，四川成都611731； 2.西南交通大學(xué)茅以升學(xué)院，四川成都611756；3.西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都611756）

早在百年以前，Babbage［1-2］、Abel［3］等就開始了迭代根的研究.隨著動力系統(tǒng)理論的深入發(fā)展，多年來這一課題一直被人們廣泛關(guān)注.設(shè)φ：E→E是集合X到自身的一個映射，稱φ是一個已知映射F：E→E的n次迭代根，如果φ和F滿足函數(shù)方程

例如，φ（x）：＝x2+2 是 F（x）：＝ x4+4x2+6 的二次迭代根.

廣義的說，迭代根事實上是一種特殊的迭代，即分?jǐn)?shù)次迭代.由于它涉及到嵌入流問題，映射迭代根的研究更加引人入勝.1950 年，Isaacs［4］完成了一個奠基性的工作，即給出了抽象集上自映射的迭代根存在的充分必要條件.關(guān)于復(fù)函數(shù)，在Koenigs［5］局部結(jié)果的基礎(chǔ)上，1950年，Kneser［6］做出了整函數(shù)ez的二次迭代根的全局結(jié)果，之后Rice等［7］對復(fù)函數(shù)做了進(jìn)一步的結(jié)果.關(guān)于實函數(shù)，1968年及1990年，Kuczma等出版了他的專著［8 -9］，系統(tǒng)的介紹了單變量函數(shù)方程，其中不僅研究了滿足某些特殊方程的函數(shù)類，還對區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)函數(shù)的迭代根給出了一些很好的結(jié)果.關(guān)于迭代根的更多進(jìn)展，可以參考文獻(xiàn)［10-15］.

特別的，如果F：＝id，（1）式被稱作Babbage方程［1］，是由 Babbage 在 1815 年第一次提出來的，他告訴我們對于Babbage 方程的任意解φ，存在可逆函數(shù)h，使得與φ拓?fù)涔曹椀暮瘮?shù)h-1οφοh亦為方程（1）的解.1916 年，Ritt［16］討論了 Babbage 方程的一類實連續(xù)解，并對其進(jìn)行了分類.1980 年，McCarthy［17］得出了Babbage方程在迭代次數(shù)為奇數(shù)時無非平凡的連續(xù)解，而迭代次數(shù)為偶數(shù)時，其連續(xù)解必定是迭代次數(shù)為2 時方程的連續(xù)解的結(jié)論，此外，他還舉例討論了Babbage 方程的不連續(xù)解.更多針對一維Babbage 方程可微解、解析解的問題，可以參考文獻(xiàn)［18 -20］.

本文在 McCarthy［17］工作的基礎(chǔ)上，利用多項式代數(shù)理論并借助多項式代數(shù)系統(tǒng)Singular軟件［21］進(jìn)一步討論了一維Babbage 方程的一類不連續(xù)解.此外，本文的主要部分研究了平面Babbage 方程的多項式解.將首先給出平面二次Babbage 方程的二次多項式解，并進(jìn)一步證明該二次多項式解亦為n次Babbage 方程的解.最后，舉例驗證文中主要結(jié)果的正確性.

1 預(yù)備知識

本文主要討論的是一維Babbage 方程的一類不連續(xù)解以及平面Babbage 方程多項式解的存在性問題.最終將其轉(zhuǎn)化為考慮其所對應(yīng)的代數(shù)簇是否非空的問題，即由一維Babbage 方程和平面Babbage方程所導(dǎo)出的多項式代數(shù)系統(tǒng)是否有解的問題，并且如果有解，有多少解，又如何求出并表示它的所有解.下面介紹代數(shù)簇和不可約分解的基本理論.

通俗地講，代數(shù)幾何學(xué)上的代數(shù)簇是多項式集合的公共零點解的集合.代數(shù)簇是經(jīng)典（某種程度上也是現(xiàn)代）代數(shù)幾何的中心研究對象.

定義 1［22-24］設(shè) K 是一個域并且 f1，f2，…，f s是環(huán) K［x1，x2，…，xn］中的有限多個多項式.由多項式f1，f2，…，fs所定義的仿射代數(shù)簇（簡稱為代數(shù)簇）是如下集合

由以上定義可知，一個代數(shù)簇即為Kn的一個子集V，并且這個集合滿足：存在有限個多項式，使得 V ＝ V（f1，f2，…，fs）.換句話說，代數(shù)簇 V（f1，f2，…，fs）?Kn就是Kn

中的包含有限個多項式方程的系統(tǒng)

的解的集合.當(dāng)然，這個集合依賴于域Kn，例如，如果取 K ＝R，那么 V（x2+y2+1）＝?，但是取 K ＝C則不然.另外，不論取K為什么數(shù)域，V（x2+y2+1，x，y）＝?.

令 F：＝ ｛f1，f2，…，fs｝，并將系統(tǒng)（2）簡記為F ＝0.易知 V（F）＝ V（〈F〉）.設(shè)理想〈F〉的 Gr?bner基［22-24］為 G，由文獻(xiàn)［23］定理 1 知道〈F〉＝ 〈G〉，進(jìn)一步，有 V（〈F〉）＝V（〈G〉）.因此，F(xiàn) ＝0 的解集由多項式集合F所生成的理想唯一確定，它的研究可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)理想的 Gr?bner 基的研究.根據(jù)Hilbert 弱零點定理（參見文獻(xiàn)［23］的定理1.3.10），F(xiàn) ＝0 無解當(dāng)且僅當(dāng) 1∈〈F〉.可以通過計算 F ＝0 的約化 Gr?bner 基來判斷 1∈〈F〉是否成立，并進(jìn)一步判斷F ＝0 是否有解.事實上，通過計算約化Gr?bner基，總可以判定一個多項式代數(shù)系統(tǒng)是否有有限個解，并在解的個數(shù)有限的情況下將其全部表示出來.這就需要進(jìn)一步考慮代數(shù)簇的不可約分解.

在介紹代數(shù)簇分解的相關(guān)理論之前，首先討論這樣一個例子.考慮理想 I ＝ 〈x3y3，x2y2〉，顯然，它的代數(shù)簇V：＝V（I）是另外2 個代數(shù)簇的并集，即V ＝ V1∪V2，其中，V1是平面 x ＝ 0，V2是直線｛（x，y，z）：y ＝0，z ＝0｝.從幾何的角度，可以清楚的看到V1和V2不能再分解為更小的代數(shù)簇的并，這里把V ＝V1∪V2稱作不可約代數(shù)簇.

定義2［22-24］非空代數(shù)簇V?Kn被稱作是不可約的，如果對于另外兩個代數(shù)簇 V1和 V2，V ＝V1∪V2，僅當(dāng) V1＝ V 或 V2＝ V 時成立.

如前文所述任意理想〈xpyq，xrys〉，p，q，r，s∈N的代數(shù)簇是一個平面和一條直線的并集.一個自然的問題是：是否每一個代數(shù)簇都可以分解為一些不可約代數(shù)簇的并集？下面的引理給出了肯定的答案.

引理 1［23］令 V?Kn是一個代數(shù)簇.則 V 是有限多個不可約代數(shù)簇的并集.

由引理1，對任意代數(shù)簇V?Kn，存在有限個不可約代數(shù)簇 V1，V2，…，Vm?Kn，使得 V ＝ V1∪V2∪…∪Vm.特別地，若對任意 i≠j 都有 Vi?Vj，則稱V1∪V2∪…∪Vm為V的極小不可約分解.

引理 2［22，25］每個代數(shù)簇 V?Kn都有一個極小不可約分解

若不計Vj的次序，這個分解是唯一的.

對于域 K 的特征為 0 時，1988 年，Gianni等［26］給出了第一個關(guān)于代數(shù)簇極小不可約分解的有效的可執(zhí)行算法.1996 年，Shimoyama 等［27］提出了一種由Gr?bner基理論實現(xiàn)的算法.這些算法均可在計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Maple和Singular中實現(xiàn).

2 一維情形

文獻(xiàn)［17］對一維Babbage 方程的連續(xù)解給出了完整的討論，并在文章的最后舉例說明一維Babbage方程存在不連續(xù)解.本節(jié)將討論Babbage 方程的一類不連續(xù)解，即有理函數(shù)解.從分式線性函數(shù)開始，經(jīng)過簡單的計算有如下結(jié)果：

定理 1設(shè)其中 a，b，c，d∈C，a2+b2≠0，c2+d2≠0，a2+c2≠0，b2+d2≠0，b2+c2≠0，（ax+b，cx+d）＝1，則

（i）f2＝ id 當(dāng)且僅當(dāng) a ＝d ＝0，bc≠0；

（ii）f3＝ id 當(dāng)且僅當(dāng) a2+bc +ad +d2＝ 0，bc（bc-ad）≠0；

（iii）f4＝ id 當(dāng)且僅當(dāng) a2+ 2bc + d2＝ 0，bc（bc-ad）≠0 或 a ＝ -d，bc-ad≠0.

證明經(jīng)過簡單的計算易得結(jié)論（i）.關(guān)于結(jié)論（ii），計算 f3可得

令 f3（x）＝x，得出代數(shù)系統(tǒng) F：＝｛f1，f2，f3｝，其中

運(yùn)用Singular的庫primdec.lib中的命令minAssGTZ計算F 的代數(shù)簇的極小不可約分解，并由此獲得Babbage方程f3＝id存在分式線性函數(shù)解的條件：

1）b ＝ c ＝ a-d ＝ 0；

2）a2+bc+ad+d2＝0.

由條件 1）可得 f（x）＝ x 與 b2+c2≠0 矛盾，故f3＝id 當(dāng)且僅當(dāng) a2+bc +ad +d2＝0，bc（bc -ad）≠0.同理易證結(jié)論（iii）.定理證畢.

注1定理1 的證明方法可推廣到Babbage方程迭代次數(shù)n≥5 的情形.此外，還可運(yùn)用上述方法找出Babbage方程的一般有理函數(shù)解，即形如

的解，其中

即所有正整數(shù)的集合，并且 ai，bi∈C，i ＝ 0，1，…，m，使得以及（Am（x），Bm（x））＝1.以 m ＝2 為例，運(yùn)用定理 1 的證明方法，可得如下結(jié)論.

定理2Babbage方程f2＝id存在形如

的解，并且滿足（4）式中系數(shù)條件要求，當(dāng)且僅當(dāng)下述條件之一成立：

事實上，定理1 的證明方法可以找出Babbage 方程中迭代次數(shù)≥3 的情形其有理函數(shù)解.

3 二維情形

對于平面線性多項式映射

以及平面二次多項式映射

的解.針對方程（5），尋找其形如φβ的解實際上就是找出ai和bi最簡代數(shù)關(guān)系，使得φβ的n次迭代恰好等于F.實際上，為了找尋ai和bi最簡代數(shù)關(guān)系，利用多項式代數(shù)理論［21，24］，有如下算法：

輸入：平面多項式映射φβ和F.

輸出：關(guān)于多項式φβ系數(shù)ai和bi的最簡代數(shù)條件，使得（5）式成立.

過程如下：

步驟 2 設(shè)定項序為分次字典序，變元序為ai＞ bi，計算 PS 的 Gr?bner 基 G，若 G ＝ ｛1｝，則輸出：函數(shù)方程（5）無平面二次多項式解；否則，轉(zhuǎn)步驟3.

步驟 3 設(shè)定項序為分次字典序，變元序為ai＞bi，計算 PS 的 Gr?bner基 G，若 G ＝ ｛0｝，由 Hilbert弱零點定理［21，28］，運(yùn)用 Singular 的庫 primdec.lib中的命令minAssGTZ 計算PS′的代數(shù)簇的極小不可約分解，并由此獲得函數(shù)方程（5）有多項式解關(guān)于多項式φβ系數(shù)ai和bi的最簡代數(shù)條件.

步驟4 將步驟3 中獲得的條件重新帶入函數(shù)方程（5），并判定由這些條件所確定的φβ是否為Babbage方程的解，以確定是否由增根，最終找出平面Babbage方程的平面二次多項式解.

作為上述算法的應(yīng)用，我們討論當(dāng)n ＝2 時，Babbage方程（5）的平面二次多項式解有：

定理 3當(dāng)n ＝2 時，方程（5）存在平面二次多項式解，當(dāng)且僅當(dāng)下列條件之一成立：

證明運(yùn)用上述算法的步驟1，設(shè)φβ是方程（5）的一個二次迭代根，計算的二次迭代并令＝ F，比較和F 的系數(shù)，得到如下代數(shù)系統(tǒng)（記為 APS）：

考慮到φβ是平面二次多項式，并結(jié)合T5和T16的形式，將代數(shù)系統(tǒng)APS分為如下3 個半代數(shù)系統(tǒng)

其中，3 個半代數(shù)系統(tǒng)中的每個多項式均為有理數(shù)域Q中的不可約多項式.為了避免冗余，僅針對半代數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行討論，其他2 種情形可類似證明.

根據(jù)算法的步驟2 和3，設(shè)定項序為分次字典序，變元序為v ＞w ＞ai＞bi，計算出的Gr?bner 基G：＝｛g1，…，g70｝，其中，

通過簡單的計算可知，G ＝｛0｝.進(jìn)一步，運(yùn)用多項式代數(shù)系統(tǒng)Singular 中的命令eliminate 消去變元v、w 并得到一個僅含 ai和 bi的代數(shù)系統(tǒng)，記作APSG：＝｛h1＝0，…，h29＝0｝，其中

根據(jù)算法步驟3，運(yùn)用Singular 的庫primdec. lib 中的命令minAssGTZ 計算APSG 的代數(shù)簇的極小不可約分解，并由此獲得函數(shù)方程（5）的二次平面二次多項式解，即定理中的Ξ5和Ξ6.最后，運(yùn)用算法步驟4，對上述解進(jìn)行驗根并最終獲得條件Ξ5和Ξ6的正確性.定理證畢.

定理3 給出了當(dāng)?shù)螖?shù) n ＝2 時Babbage 方程（5）平面二次多項式解，實際上，根據(jù)文獻(xiàn)［29］中定理3.1，當(dāng)?shù)螖?shù)n ＞2 時，上述結(jié)論仍成立.

推論 1對任意 n≥2，n∈N，方程（5）存在平面二次多項式解，當(dāng)且僅當(dāng)條件Ξ1，Ξ2，…，Ξ6之一成立.

注2實際上，在電腦內(nèi)存允許的情況下，算法可推廣到計算Babbage方程（5）的平面高次多項式解.

4 應(yīng)用舉例

由條件Ξ6可得

經(jīng)過簡單的計算易得

同理可計算出其余幾個條件所對應(yīng)的φβ，且均滿足上式.

致謝成都市工匠文化研究中心項目（2020ZC17）對本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.